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第五节二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程四、两平面的夹角平面及其方程第七章一、平面的点法式方程机动

目录上页下页返回结束①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动

目录上页下页返回结束例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面

的方程机动

目录上页下页返回结束机动

目录上页下页返回结束此平面的方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:二、平面的一般式方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为式方程.机动

目录上页下页返回结束特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.机动

目录上页下页返回结束例2.求通过z轴和点(–3,1,–2)的平面方程.解:因平面通过

z轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动

目录上页下页返回结束机动

目录上页下页返回结束此式称为平面的截距式方程.三、平面的截距式方程设一个平面与x、y、z轴的三个交点依次是

、其中

求该平面的方程。设平面的方程为：

三点P、Q、R的坐标都满足上述方程，有

化简得：a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.

四、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角),称为两平面的夹角.机动

目录上页下页返回结束特别有下列结论：机动

目录上页下页返回结束因此有例3.一平面通过点且垂直于平面∏:解:

设所求平面的法向量为

得即和则所求平面故方程为,

求其方程.，的法向量n1机动

目录上页下页返回结束例4.求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得机动

目录上页下页返回结束外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动

目录上页下页返回结束内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式机动

目录上页下页返回结束2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动

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