《高等数学下册 第2版》-蒋国强 习题及答案 第8章习题答案

PAGEPAGE40习题解答习题8.1已知，试求，和．解，2．设，求．解设，则，，所以，从而．3．求下列各函数的定义域：（1）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（2）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（3）（）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（4）．解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为4．求下列函数极限：（1）；解由连续性，原式＝＝．（2）；解由连续性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证（1）因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在．（2）因为当沿直线趋于时，，当沿直线趋于时，，由于，所以极限不存在．习题8.21．求下列函数的偏导数：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．计算下列各题：（1）设，求和；解＝，＝，将点（1，2）代入上面结果，得，（2）设，求；解取对数得,上式两边对y求导得，所以，将点（1，1）代入上面结果，得。（3）设，求；解∵，∴＝（4）设，求及．解，，∴．3．设，证明：．证明：，，。4．设，其中可导，证明：．解即。5．曲线在点（，1，）处的切线对轴的倾角是多少？解设该切线与轴的倾角为，∴由偏导数的几何意义得，从而．6．求下列函数的二阶偏导数，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．设，求，，．解，，，从而，，．8．设，试证：．证明：，，，由对称性得，，∴。原式得证。习题8.31．求下列函数的全微分：（1）；解因为，，所以。（2）；解因为，，所以（3）；解因为，，所以。（4）；解因为，，所以。（5）；解因为，，，所以=．（6）．解因为，，，所以=．2．计算下列函数在给定点处的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函数当的全微分和全增量．解，，全增量。*4．计算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．设有边长为m与m的矩形，当边增加5cm而边减少10cm，求此矩形对角线增量的近似值．解设矩形对角线长为z，则有．把，，代入，得．即此矩形对角线增量的近似值约为-5cm．习题8.41．设，而，求全导数．解．2．设，而，求全导数．解．3．设，而，求全导数．解．4．设，而，求和．解；．5．设，而，求和．解；．6．设，求和．解令则，；．7．求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．设，其中可导，求．解令，，则可看成由，复合而成，所以，，从而．10．设，其中为可导函数，证明：．解令，则，，所以．11．求下列函数的，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。12．设，具有二阶连续偏导数，求．解由得，所以注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。习题8.5设，求．解令，则，所以，2．设，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所确定的隐函数的偏导数和：（1）；（2）．解（1）令，则，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．设，求．解令，则，，，所以，，所以。5．设，求全微分．解令，则，，，所以，，因此。6．设，证明：．解令，则，，，所以。7．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．解令，则，，，所以8．设函数由方程确定，求、．解令，则，，，所以，,注意到z是x、y的函数，将再对x求偏导，得.注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得9．设函数由方程确定，求．解令，则，，，所以，,将x=0,y=0代入得z=2，点（0，0，2）处，注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得将x=0,y=0，z=2及代入得。习题8.61．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程（1）曲线，点；（2）曲线，对应于的点．解（1）因为点对应参数，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（2）参数对应曲线上的切点为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．2．求曲线上的点，使该点的切线平行于平面．解设所求的切点为P，该点对应的参数为，则，，，故点P处切线的方向向量为，平面的法向量为，由切线平行于平面得T；即，故所求的切点为。3．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：（1），点；（2），点．解（1）令，则，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．（2）令，得，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．4．在曲面上求一点，使该点的切平面平行于平面．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．5．求曲面上平行于平面的切平面方程．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，因此所求切平面为，即，亦即，所求切平面为。6．在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解令，设所求点为，则该点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．7．证明：曲面上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为常数．证由题意知，令，则点处切平面的法向量为，所求切平面为，即，此平面在三条坐标轴上的截距分别为截距之积习题8-71．求函数的极值．解解方程组得驻点为，．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．2．求函数的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．在点处，，，，因为，所以不是极值．3．求函数的极值．解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极小值．4．求函数（）的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．在点处，，，，因为，所以不是极值．5．求函数在约束条件下的极大值．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴极大值．6．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小．解设所求点为,距离平方之和为，则，即，令得，由实际意义知，所求点为。7．要造一个容积为常数的长方体无盖水池，问如何安排水池的尺寸时，才能使它的表面积最小．解设箱子的长、宽分别为，容量为，则箱子的高为．箱子的表面积为这是x、y的二元函数．令解上述方程组，得根据题意可知，表面积A的最小值一定存在，现在只有唯一驻点，因此当长、宽均为，高为时，表面积A最小．8．求内接于半径为的半圆且有最大面积的矩形．解设矩形的长为、高为，则．问题归结为求面积在条件下的极值．作拉格朗日函数，，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的驻点取得，因此当矩形两边分别为时，可得最大面积的矩形．总习题81.选择题（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴选D.（2）函数在点（0，0）处（）．A．连续但不存在偏导数B．存在偏导数但不连续C．既不连续又不存在偏导数D．既连续又存在偏导数解因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在，从而在（0，0）处不连续。又=，=，∴选B.（3）函数满足，且，则（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴选B.（4），是函数在点处取得极值的（）．A．必要条件，但非充分条件B．充分条件，但非必要条件C．充分必要条件D．既非充分条件，又非必要条件解由多元函数极值的必要条件知，，只是函数在点处取得极值的必要条件，但非充分条件，∴选A。.2.填空题（1）设函数，则．解因为，，所以。（2）设函数，则．解，∴。（3）空间曲线上点处的切线方程为．解曲线即为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；（4）若函数在点处取得极值，则常数．解由题意得3.设求．解当（x,y）=(0,0)时，=，当（x,y）≠(0,0)时，,4.设，其中可微，求．解，．5.设，其中具有二阶连续偏导数，求．解，