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第四节函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法1.定义:(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点；极大值与极小值机动目录上页下页返回结束统称为极值。2.极值必要条件机动目录上页下页返回结束定理1设x0

是f(x)的极值点，则注（1）：定理的逆不成立，即驻点和不可导点不一定是极值点；（2）：极值的嫌疑点为“驻点”和“不可导点”。定理1

(极值第一判别法)机动目录上页下页返回结束3.极值充分条件（1）如在x0左侧附近（2）如在x0左侧附近（3）如在x0左右两侧附近例1.求的极值.解:1)求导数2)求极值嫌疑点：驻点为3)列表判别是极小值点，其极小值为注：驻点不一定是极值点。定理2(极值第二判别法)设则是极大值;则是极小值.则不能确定是否为极值（改用一阶导数列表法。）存在，定理2(极值第二判别法)则在点取极大值;证:(1)存在由第一判别法知例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束（不记录）例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别。函数的极小值为：试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为例3求出该极值,并指出它是极大。二、最大值与最小值问题1.闭区间[a,b]上连续函数

f(x)的最大值与最小值求函数最值的方法:(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算：(3)比较上述各数的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。分析：最值点在端点在内必为极值点必为极值嫌疑点例4.求在[-1,3]上的最大、最小值.(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算：(3)比较上述各数的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。解:令（舍去）2.只有唯一极值点函数的最值【理论】任何区间（开、闭、半开闭、有限、无穷）上的连续函数如果只有一个极值点x0，则（1）若x0是极小值点，则x0是函数在该区间上的最小值点；（2）若x0是极大值点，则x0是函数在该区间上的最大值点；例5.求函数在何处取得最小值。3.实际应用问题中的最值例6.设有盖圆柱体容积V是常数，应如何安排圆柱体的高和底面半径，才能使表面积最小？h、r，则设高、底半径为解：表面积r令h例7.从半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成漏斗，解:问留下扇形的中心角取多大，做成的漏斗的容积最大？RR设漏斗底圆半径为，高为h

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