地下水动力学

地下水动力学安徽建筑工业学院汪东林第一章

渗流理论基础§1-1概述一、渗流与渗流力学渗流：流体在多孔介质中的流动。流体：能流动的物体（气体和液体）。多孔介质：孔隙、裂隙和孔隙-裂隙介质。

渗流力学：研究流体在多孔介质中运动规律及其应用的科学。渗流力学的基本理论-渗流理论。

本课程所涉及的是地下水及其溶质的运移问题，研究地下水在多孔介质中运动规律及其应用的科学-地下水动力学。这里所讲的渗流理论是以地下水渗流问题为重点的渗流理论，是研究地下水在多孔介质中运动规律的基本理论。二、渗流理论的特点

渗流理论这门学科具有鲜明的数学-物理色彩，这要求对渗流规律的分析与概括既需要可靠的物理分析，又需要精细的数学概括。三、渗流理论的发展历史

渗流理论的发展，许多学者都作出过重大贡献，从一些学者的研究成果就可看出渗流理论的发展过程。Henry-Darcy(1856):

Darcylaw.J.Dupuit(1860’s):

Steady-statewellflow

P.Farchheimer(1880’s):

Steady-stateflow

J.Boussinesq(1904):Differentialequationforunsteadyflowinphreaticaquifer

C.V.Theis(1935):Unsteady-statewellflowJ.Bear(1970’s):Groundwaterflowinporousmedia§1-2多孔介质与连续介质一、多孔介质

多孔介质很难给出其精确定义，一般来说，具有以下特点的物质就称为多孔介质。（1）该物体为多相体：固体相-骨架，流体相-空隙；（2）固体相的分布遍及整个多相体所占据的区域；（3）空隙空间具有连通性。二、渗流的特征

（1）运动途径复杂多变；（2）状态函数非连续；（3）只有平均性质的渗透规律，研究地下水质点的运动特征比较困难。uuVuuV=u*n三、连续介质假说1流体连续介质：流体是由连续分布的流体质点组成的。从研究尺度上讲，流体可以从分子规模和流体质点规模来研究。分子规模-非连续性质点规模-连续介质p2多孔连续介质--为数学点P处多孔介质的表征体积元（简称为表征体元-REV），将其所包含的所有流体质点与固体颗粒的总体称为多孔介质质点。将其所包含的所有流体质点称为多孔介质流体质点。多孔介质由连续分布的多孔介质质点组成—多孔连续介质。多孔介质中的流体由多孔介质流体质点构成--多孔流体连续介质。

p第二章饱和渗流理论基础§2-1渗流的Darcy定律一、多孔介质的渗透特征分类

均质多孔介质按多孔介质的渗透性能是否随空间位置的变化而变化

非均质多孔介质

各向同性多孔介质按多孔介质的渗透性能是否随空间方向的变化而变化

各向异性多孔介质

均质各向同性多孔介质均质各向异性多孔介质非均质各向同性多孔介质非均质各向异性多孔介质二、Darcy实验定律及其适用条件1856年法国水利工程师Henry-Darcy通过在直立均质各向同性中的渗透实验总结出了著名的Darcy定律：Darcy定律反映了渗流的能量守恒规律，其应用条件为：（1）均质等温不可压缩流体（=常数）在均质各向同性介质中的渗流；（2）低雷偌()条件下的层流;(3)在细粒土中，存在一个起始水能力坡度，此时有：三、各向同性介质中Darcy实验定律的推广在各向同性介质中，标量形式Darcy实验定律的推广式为：是沿流动方向上的方向导数。矢量形式Darcy实验定律的推广式为：是水头梯度矢量、、三个矢量的关系见右图。矢量在各坐标轴上的投影分别为：

流线四、各向异性介质中Darcy实验定律的推广（一）各向异性介质中渗流的基本特点各向异性介质中渗流的基本特点是：和不共线。xy（二）各向异性介质中Darcy实验定律的推广将沿X、Y、Z分解三个矢量、、，则，，于是有：

又因为

上式写成矩阵形式为：--渗透系数张量各向异性介质中Darcy定律为：（三）各向异性介质的主方向与主渗透系数

如果存在三个坐标轴方向使渗透系数张量变为则这三个方向就是主渗透方向，简称主方向，各方向所对应的渗透系数就称为主渗透系数。张量分析理论已经证明：对于二阶对称张量，主方向是相互正交的。从物理意义上讲，主渗透方向是渗透性能最强或最弱的特征方向。

当主渗透方向与坐标轴方向一致时，主渗透系数满足：

Darcy定律为：课堂讨论讨论题目：1试概括总结一下连续介质方法的基本思想，并对这种方法加以评述。2何谓水力坡度？何谓水头梯度？两者有何区别和联系？3深入理解各向同性和各向异性介质中渗流特征的区别，在各向异性介质中，沿等水头线方向是否存在着渗流分速度？为什么？§2-2渗流连续性方程一、积分形式的连续性方程(一）基本方程式渗流场中，控制体（U）内流体总质量随时间的变化率，等于单位时间内从控制面（A）净流入控制体内流体质量（流入为正，流出为负）。UAVdAn(二）特例1、骨架不可压缩的含水层中的稳定渗流：此时n与t无关，又因是稳定流，故，从而有：由此可得上式表明：任意时刻通过控制面流入与流出控制体的流体质量是彼此相等的。

2、等温不可压缩流体在骨架不可压缩的含水层中的渗流：

这时不论是稳定流而是非稳定流，由于，且n与时间无关，从而有：于是有：这表明：在上述条件下，不论是稳定流而是非稳定流，任意时刻通过控制面流入与流出控制体的流体质量是彼此相等的。(三）实例分析例如下图所示，假设含水层骨架不可压缩，水为等温不可压缩的，且运动已达到稳定状态。(1)对控制体abcd（2）对控制体efgh

abcdwfeghq(四）以水头为变量的积分形式连续性方程已知若取坐标方向与各向异性主方向一致，有从而有：

xz

由于

yn以水头为变量的积分形式连续性方程二、微分形式的连续性方程（一）微分形式的连续性方程的一般形式（二）特例1骨架不可压缩的含水层，，有2骨架不可压缩的含水层，，有（三）以水头为变量的微分形式的连续性方程这里仅以特例2为基础给出以水头为变量的微分形式的连续性方程：由此可得：在各向同性含水层中有：

对于均质各向同性含水层，K=C，则有：对于平面二维流或剖面二维流，则有：

上述方程都是Lplace方程，在特例2的条件下，这些方程对稳定流与非稳定流都成立。（三）微分形式的连续性方程的物理意义流入流出净流入

zxy

同理，对X、Y方向的净流入分别为：在时间内总净流入为：

单位时间微元体内流体质量的变化率为根据净流入等于变化率就可得：由推导过程可知：上式表示的是一个单位微元体内流体质量的守恒规律。思考题：1、下列概念是否科学，试作出评述：（1）在稳定流中，沿流程各断面的流量总是相等的；（2）在非稳定流中，沿流程各断面的流量总是不相等的。2、当介质骨架和水都不可压缩时，连续性方程div(v)=0对稳定流和非稳定流都是适用的，你是如何理解的？§2-3流函数、势函数、流网一、流函数流线的微分方程为若存在一个标量函数，使得则函数就称为流函数。对非稳定流，流函数为

流函数的重要性质：1、同一流线上各点的流函数值为常数，即等流函数值线就是流线。2、两条流线间所通过的单宽流量，等于该两条流线的流函数值之差。dldydxabABnxy二、势函数（一）定义在渗流场中，若存在函数，使得则：为渗流场的势函数。

存在势函数的水流--势流/无旋流

不存在势函数的水流—涡流/有旋流（二）几种例题1、均质各向同性多孔介质中均质等温流体的渗流是势流。令，就有：2、非均质各向同性多孔介质中均质等温流体的渗流，除极个别情况外都是有旋流。令，这时有：

，对Y、Z方向类似。

3、各向异性多孔介质中的渗流是有旋流。4、非均质、非等温、可压缩的一般流体在多孔介质中的渗流是有旋流

（三）流函数与势函数的联系1、在平面{XOY}势流中，流函数满足Laplace方程。2、流函数与势函数的关系Laplace方程柯西—黎曼条件（Cauchy-Riemann)三、平面流网（一）定义流场中流线族与等水头线族交织成的网格，称为流网。（二）特性1、各向同性多孔介质中的渗流（1）流网为正交网。（2）在一定制网规则下，均质等温不可压缩流体在不可压缩均质多孔介质中渗流的流网，其每个网格的边长比为常数；在非均质多孔介质中则不为常数。2、各向异性多孔介质中，流网一般为斜交网。（三）流网的绘制方法1、解析法；2、实验法；3、徒手法。课堂讨论

1、有文献认为，当流网中各条相邻流线的流函数差值相同且每个网格的水头差值相同时，通过每个网格的流量相等。对此你有何评论？其中所说结论成立的根本条件为何？每个网格的水头差值不相同时，结论是否成立？2、流速势和水头这两个概念的区别与联系为何？3、若把流网定义为流线族与等势线族交织成的网格，你觉得是否全面？§2-4可压缩多孔介质中以水头为变量的渗流连续性方程一、渗流基本微分方程考察渗流连续性方程：

由于，且有又由于令，就有：二、渗流基本微分方程的推广1、各向同性介质2、均质各向同性介质3、二维流三、几点讨论1、关于的物理意义---水头下降（上升）一个单位时，由单位体积含水层内孔隙体积的压缩（扩大）而释放（储存）的水量（体积）。

---水头下降（上升）一个单位时，由单位体积含水层内水体积的膨胀（压缩）而释放（储存）的水量（体积）。2、方程

（1）稳定流；（2）不考虑弹性释放的非稳定流。

2、主渗透方向与坐标轴不一致时的微分方程3、关于源汇项（1）三维流

若存在抽水井，抽水流量为Q，进水长度为L，则W=-Q/L，假设抽水井的位置为，上式可表示为：（2）二维流3、积分形式的渗流方程思考题从物理意义上看，在三维流中，渗流的基本微分方程若采用如下形式是否妥当？四、Boussinesq方程1、假设条件（1）含水层骨架和水均不可压缩（2）2、Boussinesq方程净流入：变化率：XWh

由渗流的连续性方程可得Boussinesq方程4、Boussinesq方程应用条件（1）渗流的铅直分速度很小。（2）不适用铅直平面内的二维运动§2-5定解条件一、问题的提出描述地下水运动的基本微分方程普遍规律连续性方程（质量守恒）Darcy定律（能量守恒）定解条件边界条件初始条件特殊规律描述地下水运动的数学模型

二、初始条件初始时刻（t=0）渗流场中水头的分布状况--初始条件三、边界条件（一）、第一、二、三类边界条件1、第一类边界条件：已知（或给定）边界上水头分布情况的边界条件初始条件稳态非稳态

2、第二类边界条件：已知（或给定）边界上单宽流量分布情况的边界条件3、第三类边界条件：已知（或给定）边界上水头和其法线方向导数分布情况的边界条件xyn§2-6数学模型一、建立数学模型的若干要点1、分析渗流特征，确定渗流维数；2、合理确定研究区范围，圈定渗流区的边界；3、分析确定渗流边界的类型，正确给出相应的边界条件；4、给出渗流场的初始条件5、进行参数分区，定出各区适当的参数6、选出适当的渗流微分方程7、数学模型的完善与修正二、建立数学模型举例例1xLKW

例2QW§2-7叠加原理一、叠加原理1、算子：对地下水渗流问题，算子的表示为：对渗流问题，有故齐次算子非齐次算子2、叠加原理若为的解，则它们的线性组合也是的解。凡是满足叠加原理的系统即为线性系统。反之则为非线性系统。叠加原理二、齐次问题的叠加原理若考虑平面二维渗流问题：三、非齐次问题的叠加原理

四、叠加原理的应用举例例1如图所示，在一各矩形含水层中，有两条给定水头边界和两条给定流量边界。含水层为均质、等厚，且水平埋藏的承压含水层。其中稳定渗流服从Laplace方程。

描述地下水运动的数学模型为：

例2如图所示，含水层中，有两个给定流量的抽水井和，其抽水流量分别为A和B。含水层为均质、等厚，且水平埋藏的承压含水层。其中稳定渗流服从Laplace方程。

描述地下水运动的数学模型为：

例3非稳定流定解问题的叠加。

第三章水动力弥散理论3.1水动力弥散现象及其机理3.2对流—弥散方程及其定解条件3.1水动力弥散现象及其机理

随着近年来地下水遭到不同程度的污染，地下水溶质运移理论愈来愈引起人们发关注。它不仅可以可以用来模拟地下水中污染物的运移过程，预测地下水污染的发展趋势，控制地下水污染，还可以用于防止海水入侵及土壤盐碱化等方面。一、多孔介质从流体力学角度把多孔介质定义为：1.多孔介质是一多相物质，在其所占据的空间至少有一相不是固体，他们可以是气体相或液体相。2.孔隙空间在空间上接近均匀分布，并比较狭窄，固体骨架的比表面较大。3.至少构成孔隙空间的某些孔洞应相互连通，就多孔介质的流动来说，相互连通的孔隙为有效孔隙，不连通的孔隙可以视为固体骨架部分。二、水动力弥散现象先考察两个实例，通过他们大致了解水动力弥散现象。例1.将装满均质砂的圆柱形管用水饱和，并让水流不断地稳定均匀通过，在某一时刻(t=0)，开始注入含有示踪剂浓度为C0的保守性示踪剂溶液，在实验过程中保持C0和Q不变。在砂柱末端测量示踪剂浓度的变化C(t)。绘制示踪剂相对浓度对时间的曲线。

CC0L

Q

Qt1.00.50图1砂柱中的一维运动例2.在一口均匀的一维流场的井中连续注入一种保守性示踪剂溶液，然后在井周围观察到示踪物质逐渐散布开来，而且分布范围超出了按地下水平均流速所预计的区域。随着时t的延续示踪剂的分布范围沿水流方向(纵向)和垂直水流方向(横向)都在扩大，只是横向扩展会加大，如下图所示。污染源t1t4t2t3t5图2一维均匀流场示踪剂的扩展

上述事实说明，存在一种特殊的现象。因为如果不存在这种现现象，示踪剂应按水流的平均流速移动；含示踪剂和不含示踪剂的水的接触面应该是突变的；示踪剂也不该横向扩展开来。图1中，曲线应出现虚线所示的形式，即有一个以实际平均流速移动的直立锋面。以上事实说明，在两种成分不同的可以互相溶混的液体之间存在着一个不断加宽的过度带。这种现象称为水动力弥散。因此，所谓的水动力弥散就是在多孔介质中所观察到的两种成分不同的可溶混液体之间过度带的形成和演化过程。这是一个不可逆的过程。水动力弥散是由溶质在多孔介质中的机械弥散和分子扩散所引起的。三、机械弥散

在多孔介质中，无论液体运动速度的大小还是方向，都是很不均匀的。这种流速的不均匀性是由以下三方面的作用引起的：1.液体具有粘滞性以及结合水对重力水发摩擦阻力，使得最靠近孔隙部分的(重力)水流速度趋近于零，向轴部流速逐渐增大，至轴部最大；2.孔隙的大小不一，造成不同孔隙间轴部最大流速的差异；3.孔隙本身弯弯曲曲，水流方向也随之不断改变，因此对水流平均方向而言，具体流线的位置在空间是摆动的。这几种现象是同时发生的，由此造成开始时彼此靠近的示踪剂点群在流动过程中不是一律按平均流速运动，而是不断向周围扩展，超出按平均流速所预期的扩展范围。沿平均流速方向和垂直它的方向上，都可以看到这种现象。液体通过多孔介质流动时，由于速度不均一所找成的这种物质运移现象称为机械弥散。

溶质的机械弥散通量方程

式中：为机械弥散通量，即指由机械弥散造成的在单位时间内通过单位面积的溶质质量；是机械弥散系数。四、分子扩散

分子扩散是由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起的一种物质运移现象。浓度梯度使得物质从浓度高的地方向浓度低的地方运移，以求浓度均一。因此，即使是在静止液体中也会发生分子扩散，使示踪剂扩散到越来越大的范围。溶质的分子扩散通量方程式中：为分子扩散通量，即指由分子扩散造成的在单位时间内通过单位面积的溶质质量；是扩散系数；为该溶质在溶液中的浓度C沿方向X变化的浓度剃度。液体在多孔介质中流动时，机械弥散和分子扩散是同时出现的，事实上也不可分。当流速较大时，机械弥散是主要的；当流速较小时，分子扩散的作用就变得很明显。显然，机械弥散和分子扩散都会使溶质既沿平均流动方向扩展（纵向弥散）又沿垂直它的方向扩展（横向弥散）。

分子扩散过渡区机械弥散四、弥散系数在一般情况下，当液体在多孔介质中流动时，分子扩散和机械弥散是同时起作用的，因此：其中：为弥散系数。它是二秩张量。可表达为：因此，弥散通量的表达式为：在各坐标轴方向的分量为：3.2对流—弥散方程及其定解条件一、对流-弥散方程在含水层中，考察下图所示特征单元体的溶质的质量守恒关系。

X

ZdydxdzY溶质迁移(solutetransport)对流(advection)弥散(dispersion)机械弥散分子扩散

同理，可以写出沿Y轴方向和Z轴方向单元体内单位时间由水动力弥散和对流运动引起的溶质质量变化。若单位时间内单元体内溶质的浓度发生了的变化，单元体内的液体体积为，则由它所引起的该单元体中溶质质量的变化率为

如果没有由化学反应及其它原因所引起的溶质质量变化，则根据质量守恒定律，两者该相等，即：

当坐标轴与水平流速方向一致的时：故有：

上式称为对流-弥散方程(水动力弥散方程)。它右断后三项表示水流运动(习惯地把它喻为对流)所造成的溶质运移，前三项表示水动力弥散所造成的溶质运移。

对流(advection)弥散(dispersion)二、对流-弥散方程的源汇项上面所讨论的问题是在理想示踪剂的条件下的结论，对一般情况，溶质在迁移过程中还存在如下反应：去除作用吸附滞流衰变及降解考虑吸附滞流及衰变、降解水动力弥散方程三、对流-弥散方程的推广二维流一维流

活塞模型无去除作用水动力弥散模型有去除作用水动力弥散模型四、定解条件3.3对流—弥散方程的解法一、解析解（一）一维弥散问题的解析解1、定解问题定解问题对流—弥散方程定解条件边界条件初始条件X

2、解析公式上述问题的解为：其中：通常可简化为：2、解析公式的应用上式可写成：10.840.160.160.8410.5（二）二维弥散问题的解析解1、定解问题

如图所示：一维流场中保守示踪剂二维弥散瞬时注入条件下的数学模型为：XY2、解及其应用

Hibsch和Krett等人（1979）曾给出一维流场中示踪剂二维弥散瞬时注入条件下的数学模型的解析解。若忽略分子扩散，并以DL=αLu，DT=αTu代入该解析解中便可得到：其中：DL、DT为纵、横向弥散系数（L2/T）,u为地下水平均流速（L/T）,n为有效孔隙度，m为单位厚度含水层中注入示踪剂的质量（m/L）,t为时间（T），αL、αT为纵、横向弥散度（L）。

若以Cmax表示(x,y)处峰值浓度，且令CR=Ci/Cmax

；

tR=(ut)/αL

；

则其中:

经变换整