押成都卷第17-18题（圆的综合问题、反比例函数与一次函数综合压轴）（解析版）-备战2024年中考数学

押成都卷第17-18题押题方向一：圆的综合问题3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第17题圆周角、相似、正切从近年成都中考来看，圆的综合问题从2022年起就和反比例函数互换了位置，试题难度明显降低，试题以解答题形式呈现，整体难度中上；预计2024年成都卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数）的考查。2022年成都卷第17题圆周角、相似、勾股定理、余弦1．（2023·四川成都·中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求和的长．

【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：设，是的直径，，，，即，根据（1）中的结论，可得，根据勾股定理，可得，即，解得，（舍去），，,根据勾股定理，可得；解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，

，，，，即，，，，，，，设，则，，可得方程，解得，，，根据勾股定理，可得．解法二：如图，连接,

，，，，又，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．【答案】(1)见解析(2)BF=5，【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．【详解】（1）解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．如图，为的直径，，是上的两点，延长交的切线于点．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】本题考查圆的综合问题，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理：（1）根据直径得到，根据切线得到，即可得到，即可得到证明；（2）根据三角函数得到，证明得到，即可得到答案；【详解】（1）证明：连接，

为的直径，，是的切线，，，即，，，；（2）解：，，，，又，，，，，，，．2．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．（1）连接、、，根据切线的判定即可证明；（2）过点作，交于点，由于，，从而可得：，，根据勾股定理以及平行四边形的性质即可求出的长度．【详解】（1）解：连接、、，平分，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）过点作，交于点，的边为直径的恰为的外接圆，，，，，由勾股定理可知：，，，，四边形是平行四边形，，，，，在中，由勾股定理可知：，．3．如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．(1)求证：；(2)若，，求半径的长．

【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（）根据垂径定理得到，求得，由，，得，从而求得，于是得出结论；（）连接，再由三角函数即可求解；本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵是的中点，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：连接，∵是的直径，∴，

∵是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴．4．如图，是的直径，弦交直径于点E，过点A作的切线交弦的延长线于点F，点D为的中点．(1)求证：．(2)作半径，若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据与相切得出，再根据点D为的中点，得出，再根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证明；（2）过点D作于点G，根据，运用等腰三角形的性质可得，再根据，用勾股定理求出，再运用勾股定理即可求出，即可求解；【详解】（1）证明：与相切于点A，∴，∴，∵点D为的中点，∴，∴∵，∴∴；（2）解：过点D作于点G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度．5．已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，平分．(1)求证：直线l与相切；(2)若，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质：（1）如图1，连接，，由平分，可知，进而得到，可得，由，可证，进而结论得证；（2）如图1，连接，，，在中，，设，则，由勾股定理得，计算求解的值，进而可得半径长．【详解】（1）证明：如图1，连接，∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，∴．又∵是半径∴直线l与相切．（2）解：如图1，连接．∵是的直径，∴．∵平分，∴．∴在中，．同理：在中，．设，则．由勾股定理得：，即．解得或（不合题意，舍去）．∴的半径，∴的半径为．6．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)详见解析(2)．【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线；（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，，如图，为直径，，即，又，，∴，，，即，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，是的直径，是的切线，是的切线；，，，解得．7．如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交边于点．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径．

【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）连接，则，由切线的性质得，可证明，则，所以，即平分；（）连接，由，可得，即得，可得，得到，根据，即可求得的长，从而求得的半径；此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：如图，连接，则，∴，

∵与相切于点，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴平分；（2）解：如图，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的半径．押题方向二：反比例函数与一次函数综合压轴3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第18题求函数解析式、交点坐标、面积、位似的性质等。从近年成都中考来看，反比例与一次函数综合压轴主要考查待定系数法求解析式、交点坐标、比大小、与几何图形综合等，是成都卷的命题热点，试题以解答题形式呈现，属于A卷的压轴题，其融合了几何最值、特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、等角（倍角）的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。预计2024年成都卷还将重视反比例与一次函数综合压轴的考查。2022年成都卷第18题求函数解析式、距离公式、新定义图形、相似的性质与判定等。1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，将点代入得：解得：∴将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，又∵，∴∵，∴又∵直线l是的垂线即，，∴，∴设直线l的解析式是：，将点，点代入得：解得：∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是∵，(分别代表点B与点C的横坐标)解得：或6，当时，；当时，，∴点C的坐标为或（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴画出图形如下：

又∵∴∴∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：将点代入得：解得：∴直线的解析式是：∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴设直线的解析式是：将点，代入得：解得：∴直线的解析式是：，又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：∴点P的坐标为∴∴【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)，【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．【详解】（1）解：把点A的坐标代入，得，解得a=1，故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为，，得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得，解得，故点D的坐标为，，，如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为(-2,-2)，，如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为，，综上，BC的长为或；（3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图∵设，，则又即解得或（舍去）则点设直线的解析式为，将点，解得直线的解析式为设，根据题意，的中点在直线上，则∵则解得或（在直线上，舍去）．综上所述，．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．反比例函数与相似（位似）、全等问题，一般字母未对齐，故存在分类讨论的情形，纵然这类题型，放在以函数为背景的题型中，与反比例函数结合，相似三角形分类讨论的解题技巧，仍没有发生变化，故掌握了解题方法或解题技巧，受益的不只是一道题，而是一类型题的解决。反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）的综合题解题步骤：一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。1．如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点．(1)若，求反比例函数解析式；(2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点作，交于点（如图②，点为直线上的一个动点，连接，．是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在，满足条件的点的坐标为，或，或，或，【分析】（1）先过点作，根据，，求出和的值，从而得出点坐标，再把它代入反比例函数中，求出的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设，过点作轴于，根据，得出，，求出的值，根据，求出平行四边形的面积，根据为的中点，求出，根据，，得出，，再根据点，都在的图象上，，求出，最后根据，得出，即可求出点的坐标；（3）分别根据当时，在的两侧各有一点，得出，；当时，求出；当时，求出即可．【详解】（1）解：过点作于，，，，，点坐标为，根据题意得：，可得：，反比例函数解析式：；（2）设，过点作轴于，过点作轴于点，由平行四边形性质可证得，，，，，，，为的中点，，，，，，，，点，都在的图象上，，，，，，，，，，，；（3）由（2）可知，，，，．存在三种情况：当时，在的两侧各有一点，如图，设交于点，则，此时，，，，，，当时，如图，过点作于点，交于点．由，可得，，当时，同理可得，．综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，或，．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．2．如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，．(1)求k的值；(2)若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；(3)若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)或或【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R在x轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当平分，时，当平分，时，当平分，时，分别结合图形求解.【详解】（1）解：，即，，，，，，；（2）①如图，当时，，，，，，，设直线为，把，代入，得，解得，直线为，②如图，当时，，，，，，，设直线为，把，代入，得，解得，直线为，综上所述，直线的表达式为或；（3）解：①当平分，时，，，即垂直平分，，，，，，②当平分，时，同理，得，，，作于M，，，，，，，即，，联立①，②，解得或(舍），，③当平分，时，同理

，得，同理，得∴是等边三角形，，，综上所述，P、Q的坐标为或或.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键．3．如图①，已知点，，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．(1)求k的值；(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图③），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

【答案】(1)(2)或或(3)，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标；（3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论．【详解】（1）解：∵，为中点且点E在y轴上，，设，，∵四边形是平行四边形，∴的中点坐标相同，∴，∴，∵C、D都在反比例函数的图象上，，，；（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，点在双曲线上，点在轴上，设，，①当为边时：如图1，若为平行四边形，则，解得，此时，；

如图2，若为平行四边形，则，解得，此时，；②如图3，当为对角线时，则解得，，；综上所述，满足题意的Q的坐标为或或；（3）解：，其值不发生改变，证明如下：如图4，连、、，

∵M是的中点，，∴是线段的垂直平分线，，四边形是正方形，，在与中，，

，，，∵，，∵，∴，∴．，．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.4．已知在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．(1)求的值；(2)将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图所示，新函数记为函数．①如图，直线与函数的图象交于，两点，点横坐标为，点横坐标为，且，，点在轴上，连接，．当最小时．求点的坐标；②已知一次函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，直接写出的取值范围．【答案】(1)1(2)①；②且或【分析】（1）用待定系数法，将点代入求解即可；（2）①联立和并整理得，，则表示点、的坐标分别为，然后找到找关于轴的对称点，连接则与轴的交点为为所求；②一次函数和反比例函数联立方程，方程有两个不相等的实数根即可．【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上，，解得：，则；（2）①由（）知，反比例函数的表达式为：，则将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折，则翻折后函数的表达式为：，联立和并整理得：，则，即，解得：，则，即点、的坐标分别为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小，理由：为最小，设直线的表达式为：，则，解得：，则直线的表达式为：，当时，，即点，；②，则该一次函数过点，，当时，如图：：，直线和轴左侧函数有个交点时，必然和轴右侧的函数有一个交点，符合题设条件，联立和，整理得：，则，解得：或，，或；当时，直线虚线和轴右侧函数有个交点时，必然和轴左侧的函数有一个交点，符合题设条件，联立和，整理得：，则，解得：为任意实数，即；综上，且或．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合运用以及一元二次方程解的情况；理解函数图像的交点就是方程的解是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，点是双曲线上的动点，横坐标为，作轴交直线于点，连接、．(1)求a、b的值；(2)求的面积与的函数关系式，并求的最大值；(3)当四边形为平行四边形时，连接，并将直线向上平移个单位后与反比例函数的图象交于、两点，与直线交于点，设、、三点的横坐标分别为、、，是否存在正实数使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)，；(2)，有最大值；(3)存在，．【分析】（1）将代入，求出的值，将代入，求的值即可；（2）由题意可得，，可求，则当时，有最大值；（3）由四边形为平行四边形，求出，再由待定系数法求直线的解析式，则平移后的直线解析式为，联立方程组，根据根与系数的关系可得，再联立方程组，可求，则，由题意可得方程，求的值即可．【详解】（1）解：在直线上，，，将点代入，；（2）解：点横坐标为，，轴，，，，当时，有最大值；（3）解：存在正实数使得等式成立，理由如下：四边形为平行四边形，，令，则，，，，解得或，，，，设直线的解析式为，，解得，，平移后的直线解析式为，联立方程组，整理得，，，，，联立方程组，解得，，，，，解得或，是正实数，．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系．6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式：(2)点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．

【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为和(2)或(3)【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点；（3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．【详解】（1）解：一次函数的图像经过点，把代入中，得，，一次函数的表达式为，反比例函数的图像经过点，把代入中，得，，把代入反比例函数中，得，，反比例函数的表达式为，一次函数和反比例函数的表达式分别为和；（2），，，，，点满足在与直线距离为的直线上，如图，设直线与轴交于点，作作与点，

令，则，，①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：，②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：，点在或上，由，解得：，，是反比例函数图像在第一象限上的点，点的坐标为，由，解得：，，是反比例函数图像在第一象限上的点，点的坐标为，点的坐标为或；（3）一次函数和反比例函数的交点为，，由，解得：，，，，在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位，平移后的曲线为和，由，解得：，，点的坐标为，点的坐标为，．【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法，勾股定理，两点间距离，解答本题的关键是确定平移后的解析式．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，求点的横坐标；(3)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．

【答案】(1)(2)点的横坐标为或(3)点的坐标为【分析】将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；首先求出点的坐标，分情况讨论：在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，或在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，根据平行关系可得直线的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平