（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义04 空间向量及其运算（教师版）

§1.1空间向量及其运算1．1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算学习目标1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量思考空间中的两个向量是不是共面向量？答案是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考1怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考2由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?答案不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．(×)4．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．(√)一、向量概念的应用例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同答案D解析A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.(2)(多选)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的加法满足结合律D．任一向量与它的相反向量不相等答案BC解析|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a≠b，则|a|≠|b|；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．答案①解析根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．二、空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量eq\o(AC′,\s\up6(→))用向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示．解在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).故eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.三、空间向量的线性运算例3在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解(1)因为G是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→))，又因为eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法则，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).从而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).反思感悟利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案A解析eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝b B．a＋b为实数0C．a与b方向相同 D．|a|＝3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))答案B4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．5．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案3a－2b1．知识清单：(1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是()A．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向，则eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))C．若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合答案AC解析A正确，模不为0的向量方向是确定的．B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．C正确，由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量．D错误，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))同向．但A与C，B与D不一定重合．2．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的结果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→)) B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up6(→))答案C解析eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，故选C.3．在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))答案C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(→))答案A解析在A选项中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.5．如果向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向 D.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向答案D6．设A，B，C，D为空间任意四点，则eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.答案eq\o(AD,\s\up6(→))解析eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))的结果是________．答案2eq\o(AC,\s\up6(→))解析eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→)).8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.答案29.如图所示的是平行六面体ABCD－A1B1C1D1，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．解eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).故所求向量为eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，如图所示．11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(BA,\s\up6(→))答案D解析方法一eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).方法二eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).12．在三棱锥A－BCD中，E是棱CD的中点，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析因为E是棱CD的中点，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________.答案－c－a＋b解析如图，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(B1A1,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))－(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.答案6解析在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，又eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))∴x＋y＋z＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.第2课时共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．知识点一共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．思考1对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?答案不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.思考2怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？答案只需证明向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))(不唯一)共线即可．知识点二共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.思考已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则点P与点A，B，C是否共面？答案共面.由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AP,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面，故点P与点A，B，C共面．1．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(×)2．若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(×)3．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×)4．若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).(×)一、向量共线的判定及应用例1如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).求证：四边形EFGH是梯形．证明∵E，H分别是AB，AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，∴eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))且|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up6(→))|≠|eq\o(FG,\s\up6(→))|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．反思感悟向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；跟踪训练1(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________.答案1解析由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1.(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，所以E，F，B三点共线．二、向量共面的判定例2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内．解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．反思感悟解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2(1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求证：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．证明因为M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：①E，F，G，H四点共面．②BD∥平面EFGH.证明如图，连接EG，BG.①因为eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件知向量eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))共面，即E，F，G，H四点共面．②因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.空间共线向量定理的应用典例如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.证明∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→)).∵点C不在MN上，∴CE∥MN.[素养提升]证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))中的λ的值．1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|答案C2．若空间中任意四点O，A，B，P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则()A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D．以上都不对答案A解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线．又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.3．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0答案C解析C选项中，eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴点M，A，B，C共面．4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为()A．1B．0C．3D.eq\f(1,3)答案D解析∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,3)，故选D.5．已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．答案±1解析若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1.))所以k＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D答案A解析因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量答案A3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起点的向量 B．等长向量C．共面向量 D．不共面向量答案C解析因为eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→)).又eq\o(D1A,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三个向量共面．4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案A解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PD,\s\up6(→)).又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴eq\f(3,2)－x－eq\f(1,6)＝1，解得x＝eq\f(1,3).5．(多选)下列命题中错误的是()A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件C．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CDD．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面答案BCD解析显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.答案eq\f(2,3)解析eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.答案1解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,k＝1，))故k的值为1.8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________.答案－1解析由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1eq\o(OB,\s\up6(→))＋y1eq\o(OC,\s\up6(→))＋z1eq\o(OD,\s\up6(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，判断eq\o(ME,\s\up6(→))与eq\o(NF,\s\up6(→))是否共线．解由题意，得eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\u