正交变换的应用及数学方法论意义1

正交变换的应用及数学方法论意义1聊城大学本科毕业论文（设计）指导教师:赵峰2012年原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名:日期指导教师签名:日期PAGEIIPAGE15引言随着近代数学的发展,数学的各学科间的相互渗透显得越来越重要,特别是代数的方法运用更为突出,在现行的数学分析教材中,某些内容也注意到代数的方法的运用,但还需进一步加强,将数学分析与代数方法结合,是解决问题的途径之一,更是培养学生数学能力的重要内容，有利于培养学生综合运用基础知识的能力。我们在大学中学习了许多数学变换，接触了数学中的正交变换、仿射变换、摄影变换等，它们在数学中的应用非常的广泛，正交变换在数学分析、高等代数等学科中的解题有着很重要的应用。本文重点讨论了正交变换化二次标准型的方法进行归纳整理，以及利用正交变换解决一类多元函数积分问题，给出了利用正交变换求积的一种简单方法。把正交变换巧妙的应用到多元函数的积分中去,解决了多元函数积分中的一些应用难题,找到了线性代数与微积分的新切点.使得积分解题变得简单和灵巧。正交变换的定义正交变换是欧式空间中一类重要的线性变换——保持向量的内积不变的变换。定义设AEndR(V)是欧几里得空间的线性变换，A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变，也就是说对任意的，都有（因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的，由定义不难看出正交变换实际就是一个欧式空间到它自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。如果A是正交矩阵，那么有AA-1=E,可知|A2|=1，或者|A|=1.因此，正交变换的行列式等于+1或者等于-1.行列式等于+1的正交变换通常称为旋转或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的。在三维空间中，detA=1的幺正矩阵把左手坐标系变换到右手坐标系；detA=-1的幺正矩阵则把右手坐标系变换到左手坐标系。2、正交变换的性质2.1欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V中任意向量，，(),()=<,>.2.2设V是一个n维欧氏向量空间，σ是V的一个线性变换。如果σ是正交变换，那么σ把V的任意一个标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基。反过来，如果σ把V的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么σ是V的一个正交变换。2.3设是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：（1）是正交变换（2）保持向量长度不变，即;（3）保持向量间的距离不变，即,（4）若是标准正交基，那么也是标准正交基，在任意标准正交基下的矩阵是正交矩阵。2.4正交变换不改变向量的夹角，即方向不改变。2.5若为正交矩阵，则且仍为正交矩阵，正交变换的逆变换仍为正交变换。2.6正交变换的雅克比矩阵行列式值之绝对值等于1即若为正交变换，则.证据正交变换性质与Jacobi行列式之定义知定理2.6成立。3、正交变换法化二次标准型在许多理论和实际研究中常常会遇到二次型问题,二次型通常都是先化为标准型再进行求解的。常见的化二次型为标准型的方法有拉格朗日配方法、合同变换法和正交变换法等。正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐。3.1正交变换法化二次标准型的一般步骤：写出A的特征方程|E-A|=0，求出A的全部特征值。对于各个不同的特征值，求出齐次线性方程组（E-A）=0的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化。把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵T的列向量，X=TY就是二次型X-1AX化为标准型1y1+2y2+…+nyn的正交变换。正交的线性变换可以是一个实二次型变成平方和1y12+2y22+…+nyn2，其中平方项的系数1，2，…n就是矩阵A的特征多项式全部的根。（ijij,ij=ji,A=(ij)n*n)用正交变换化二次型为标准形的问题，一般总是由特征方程求特征值要解带参数的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量，进而再用复杂的施密特正交化法求出正交变换阵，非常繁琐．所以，用正交变换化二次型为标准形的新方法研究引起了广泛的兴趣。3.2正交变换在二次标准型中的应用下面的几个例题通过讨论构造正交对称矩阵P,由X=PY化二次型为标准形,主要结果有:(1)如何从中线性无关向量组出发巧秒构造正交单位向量组(2)如何构造正交对称矩阵,满足由X=PY化二次型为标准形。来介绍正交变换在高等代数中的广泛应用。例1用正交变换法将二次型=12+322+622+812-413+423化为标准型，并写出所作的正交变换。解：先写出二次型的矩阵：A=解特征方程|A-|==-（-7）2（+2）=0求得A的全部特征值为：1=2=7；3=-2.当1=2=7时，解齐次线性方程组（A-7E）X=0，可得其基础解析为：1=，2=将1，2正交化1=1=，2=2-=再单位化，得:,当=-2时，解齐次方程组（A+2E）=0，可得其基础解系为：=单位化得：由于与，一定正交，因此以作为列向量得正交矩阵：T=令X=TY，X-1AX=7y12+7y22-2y32于是二次型通过正交变换化为标准型为：12+7y22-2y32例2、用正交变换化二次型=++++为标准形，并求所作的正交变换.解:二次型的矩阵,求出的特征值为:由==可得特征值，其次，求属于-1的特征向量把代入得（1）求得基础解系为把它正交化，得再单位化，得再求属于8的特征向量，把代入（1）式，可得基础解系再单位化得因此正交矩阵为，作非退化线性替换,得出二次型的标准形为=正交变换具有保持线段的长度不变的特点，它是对坐标轴的旋转、平移，既不改变坐标轴的其他形状，所以用正交变换法化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点，最大限度的保证了函数图形的几何特征。例3、已知f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3求一个正交变换X=PY，将该二次型化为标准型。解：（1）二次型所对应的矩阵为A=由可得A的特征值为当时求解方程组得基础解系，对其进行标准正交化得，当时求解方程组得基础解系单位化得于是可得正交矩阵P=（，，）=作非退化线性替换,得出二次型的标准形为以上例题采用综合多种知识，使化标准型的运算大为化简，用该方法解决了二次型的标准形及正交变换矩阵同步求解问题，尤其是对实对称矩阵的相同特征值对应的不正交特征向量的初等变换正交化法，简洁实用。用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何特性不变的优点，这种方法无论在理论上还是实际应用中都是化二次型为标准型的重要方法。4、正交变换在积分中的应用将数学分析与代数方法结合，是解决问题的途径之一，更是培养学生数学能力的重要内容．在多元函数积分中，选择恰当的变量替换十分关键．由于正交变换保持变换前后的向量内积不变从而保向量的长度与夹角不变，所以，正交变换这种刚体变换有着广泛的应用．4、1在多元积分学中的应用选择适当的变量替换，不但可以简化计算，收到事半功倍之效；而且可以解决不用变量替换方法无法解决的问题。如计算若要用直角坐标系计算，则会遇到积分但无法用初等函数来表示，计算便无法进行下去。此题若用极坐标来计算，易于得出结果。由此可见，变量替换在多元函数积分学中的重要作用。在积分的计算中，变量替换是经常采用的方法。采用正交变换，可以兼顾积分区域和被积函数两方面的特点。例1进行适当变量替换，化二重积分为一重的。分析因为其中;若令有，（考虑用正交变换）解：设（)为二维空间的一个向量，把单位向量扩充成一个二阶正交变换A，作正交变换由于（矩阵的转置）仍是正交矩阵，且行列式.于是变换的雅克比行列式为由（1）知再注意到正交变换不改变向量的长度，于是==即。此题的解法利用了正交变换（距离、角度、面积等是正交变换的不变量）的性质,在不改变积分区域的情况下,简化被积函数。这类问题在积分计算中经常遇到，如果能适当地采用正交变换的性质,将给这些积分的计算带来方便，选用了正交变换兼顾被积函数、积分区域的特点，较用其它变换来解要简便很多。在函数求极值问题上，用正交变换可使条件极值问题变得清晰，而且经变换后又可能给出其几何说明。例2、求函数在条件上的最大值和最小值是多少。解：已知条件=1可以表示为，表示为的特征值为1和5，取令则而因此题目可以转化为：在条件时，求的最大值和最小值就可以了。当时最大值为1，当时最小值为。正交变换后是椭圆的标准方程。问题就是在这椭圆上求出一点使其到原点的距离平方为最大和最小。4.2.重积分在正交变换下形式不变性。多元函数积分中的换元法是计算积分的重要的方法,换元的目的使得被积函数简单或者是积分区域简化,但换元有它的随意性,并存在一定的难度，因此引入新的积分变量时必须要同时考虑被积函数和积分区域的特点,而对于多元函数的重积分应用正交变换是一种较为简便的方法。例：对于上连续函数,有证明:若，原式=等式显然成立，因此可设,把单位向量扩充成一正交矩阵作正交变换而，变为，由上式得于是由三重积分变数替换公式得：所以===此例说明用正交变换的方法去处理重积分的某些问题是卓有成效的，并且不受空间维数的限制，可见正交变换兼顾了积分区域和被积函数的特点。较用其他变换的证法来得简便。更重要的是这种方法有一般性利于推广,有利于进一步学习的需要，如在曲面积分中的应用。4.3正交变换在曲面积分中的应用曲面积分中，通过正交变换进行变量替换使得非平面曲面上的积分化为二维空间的曲面积分。这一应用使得积分解题变得简便的灵巧。设光滑曲面S：在正交变化之下变成曲面则对于S上的连续函数有此式说明了第一曲面积分在正交变换下形式不变性。例:证明普阿松公式，其中S是单位球面。分析若等式显然成立，否则令因为若令则有（则考虑用正交变换）证明：以单位向量扩充成一个三阶正交矩阵A。作正交变换，即A是第一行为的3阶正交矩阵，则在A的作用下，因所以=即S在A下的象仍为单位球面，于是于是有再令因此求得所以=利用正交变换的刚体变换性质，可证明第一类曲面积分和重积分在正交变换下的不变性．因而可将其应用于简化多元函数积分计算．正交变换的此类应用充分体现了一般化、代数化、模型化的数学方法论．正交变换的数学方法论意义5、1.一般化一般化就是从考虑一个对象,过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到去考虑一个包含该较小集合的更大集合.运用一般化策略解决问题的关键是仔细观察、分析解决问题的特征,从中找出能使问题一般化的因素,以便把特殊命题拓广成包含这一特殊情况的一般问题,而且要注意比较一般化后的各种命题,以选择最佳一般命题,它的解决包含着特殊问题的解决.一般化的解题策略之所以成功,就在于一般化命题中的关系和规律更容易看清楚.从以上各例的证明中可以看出，正交变换的一部分就已经决定了结论的正确性,但直接证明困难很大,而作为整个正交变换的结果,却是较为显而易见的.5.2代数化代数化使得对数学对象性质的研究变成了对数量的分析、讨论和求解,从而把定性研究阶段推进到定量研究阶段,代数化使得空间的几何结构数量化,实现了对抽象空间图形的研究,使人们对形的认识从静态发展到动态.代数化把推理程序机械化,促进了定理的机器证明.文章中的正交变换就是这样的例子.5.3.模型化模型化就是根据问题的有关信息确定某种特定的映射关系构想出数学模型,将问题转化为对数学模型的数理机制的研究,从而达到解题目的的一种方法.当解决一个问题比较困难时,可以通过构造该数学问题的数学模型,将数学问题化归为一个已经能解决的,或比较容易解决的数学问题加以解决,即所谓化归型数学建模,这是一个数学方法论的过程,是在两个数学结构之间进行的.实现化归型数学建模的关键是找到一个合适的映射,使生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗，正交变换正是起到了这个作用.从数学方法论的角度来说，数学变换主要是一种化归的思想，就是采用某种手段将问题通过变换使之转化，把待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题解答的一种手段和方法。也可以说就是问题的规范化、模式化。化归在数学研究中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。结语综上所述,正交变换之所以能够在数学领域发挥极其重要的作用,是因为它符合数学发展的代数化潮流,集合了数学方法论中丰富的数学思想,使用正交变换的方法去处理重积分的某些问题是卓有成效的,并且不受空间维数的限制.因而得到了在很多领域的广泛应用.如在物理学上、几何上、概率论上等学科有着广泛应用的前景。文中应用正交变换化二次标准型，以及在各种积分、曲面积分等中的应用,恰恰是在正交变换作用下获得的具有数学美的产物.参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]王琳．用正交变换化实二次型为标准型方法研究[J]．数学通报，1990，30(3)：31—33．[3]汪庆丽．用矩阵的初等变换化实二次型为标准形[J]．新疆教育学院学报，2001，17(2)：22—24[4]华东师大数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001(第3版)：305—306[5]姚允龙.高等数学与数学方法导引[M].上海:复旦大学出版社,1988.[6]杨仲华.正交变换在数分