2024年上海市金山区中考一模 数学 试题（学生版+解析版）

2024年上海市金山区中考一模数学试题

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题；

2.务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计

算的主要步躲.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

I,将抛物线）'二向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）

2222

A.V=2A--1B.y=2.r+lC._y=2（.v+1）D..y=2（.r-l）

2.已知点E是平行四边形A8CO的边A。上一点，连接CE和8。相交于点人如果AE:ED=1:2,那

么DF:FB为（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.2：5

3.在直角坐标平面的第一象限内有一点A（“，b）,如果射线。4与X轴正半轴的夹角为C,那么下列各式

正确的是（）

Ab—ci,tanciB.b-ci-cotct

C./7=GsinaD.b=a,cosa

4.抛物线_y=ax7+hx+c图像如图所示，下列判断中不正确的是（）

C.c>0D,a+b+c<0

5.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边

和较短边的比是（）

A.2:1B.72:1C.3:1D.V3：1

6.如图在4x1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角

形，△A8C就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格

点联结成格点三角杉，其中与二A8C相似的有()

C

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.如果州=々(〃/()),那么纥白=

53b

8.化徜：2(-«+3/?)-66=

9.己知两个相似三角形的相似比为2：3,那么这两个三角形的周长比为.

10.已知点P是线段AF的黄金分割点(AP>BP)，如果AB=2,那么4P=.

7

II.抛物线>=］『-3的顶点坐标是.

12.如果点4(2,〃)、6(3,为在二次函数y=l-3”的图像上，那么“^填或

4

13.如果a是直角三角形的一个锐角，sina=),那么lane=.

14.如图，已知。、E、尸分别是〃WC的边A3、AC.上的点，DE//BC,EF//AB,

^ADE.△EEC的面积分别为1、4,四边形3尸。的面积为.

15.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4米，斜坡的坡度i=1:2,那么相邻两树

间的坡面距离为米.

16.如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60。的方向行驶8海里到8处，再从8处向南偏东

45°方向行驶到发点A正东方向上的。处，此时这就船距离出发点A处_______海里.

北

17.把矩形ABCD绕点。顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD',其中点A对应点4在BD延长线上，如果

AB=1>那么BC=.

18.在中，AC=6,P是上的一点，。为AC上一点，直线尸。把分成面积相等的两部

分，且AAP。和aABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边A6长度的取值范围是.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

sin2450-l

19.计算：-一：~-+cot600-cos300.

lan45°

20.某学校有一喷水池，如果以喷水口（点A）所在的铅垂线为）,轴，相应的地面水平线为x轴，1米为单

位长度建立直角坐标系xOy,喷出的抛物线形水柱在最高处（点距离J轴1米，水柱落地处（点B）

距离〉轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度.

21.已知：如图，AM是的中线，点G是重心，点。、E分别在边和上，四边形8EG。是

平行四边形.

(1)求证：DE//AC；

(2)设84=0,BC=b>用向量d,b表水］)E=

22.随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳

棚，如图，在侧向示意图中，遮阳篷A8长为4米，与墙面4D的夹角N8AO=75.5°,靠墙端A离地高

AQ为3米，当太阳光线与地面QE的夹角为45°时，求阴影C。的长.(结果精确到0.1米；参考数

据：sin75.5°»().97,cos75.5°«0.25,tan75.5°®3.87)

A

23.已知：如图，在四边形ABC。中，对用线AC和3Q相交于点O,NBAC=NBDC.

(1)求证：AAOD^BOC：

(2)过点A作AE〃CO，A£交Z?Q于点£求证：ABAD=AEBC.

24.已知：在平面直角坐标系大。\中，抛物线y=ad+"+c过点4—1,0)、3(3,0)、C(0,-3).

A'

I-

-------1—।—।—।——\

O|^x

(1)求抛物线表达式和顶点P的坐标；

(2)点。在抛物线对称轴上，N%/)=90。，求点。的坐标：

(3)抛物线的对称轴和•1轴相交于点“，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q,QB=QM,

Q。的延长线交原抛物线为E，QO=OE,求新抛物线的表达式.

25.已知：如图，在“8C中，AB=AC，NCV)=/A3C，DCA.AC，A。与边6c相交于点P.

A

(1)求证：AB2=-ADBC-,

2

4

(2)如果sin/ABC=§,求BP:PC的值:

(3)如果△BCD是直角三角形，求/ABC正切值.

2024年上海市金山区中考一模数学试题

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题；

2.务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

1.将抛物线)'=向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是()

A.y=2.v2-1B.=2x2+1C.y=2(.v+1)2D.y=2(.v-l)2

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择.

详解】原抛物线向左平移1个单位后得：

y=2(.v+1)2.

故选c.

【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律.掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本

题的关键.

2.已知点£是平行四边形A3CQ的边上一点，连接CE和8。相交于点尸，如果人£:£力=1:2,那

么DF:FB')9()

A.1：2B.|：3C.2:3D.2:5

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关

ED2

犍.先画出图形，根据平行四边形的性质可得——=—,AD〃BC,再证出，根据相似

BC3

三角形的性质即可得.

【详解】解:由题意,画出图形如下:

B

AE:ED=\:2.

ED2

---=一，

AD3

四边形ABC。是平行四边形,

:.ADPBC,AD=BC,

ED2

：.—=一,ADEFs/XBCF,

BC3

DFED2

••丽—菽一§，

即DF:FB=2:3.

故选：c.

3.在直角坐标平面的第一象限内有一点A（a,/?）,如果射线。4与、轴正半轴的夹角为“，那么下列各式

正确的是（）

A.h=a-tanaB.b=a-cota

C.b=a-s\naD.h=a-cosa

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点A作轴于点8,则A8=〃,

OB=a.再由正切的定义得到tana=4g=",则〃=a-tana.

OBa

【详解】解：如图所示，过点A作A8/X轴于点5,

VA[a,/?）,

：.AB=b,OB—ci,

ABb

«•tunct="—=一,

OBa

b=a-tana,

故选A.

4.抛物线y=cu2+bx+c图像如图所示，下列判断中不正确的是（）

A.a<0B.h<0C.c>0D.a+h+c<0

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键.由该抛

物线开口向下，可知〃<0，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为x=-2-<0,结合可得

2a

b<0,即可判断选项B；由图像可知,当x=0时,可有.y=c、>o,即可判断选项C：由图像可知，当

x=l时,可有y=〃+〃+c>0,即可判断选项D.

【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以“<0,故该选项正确，不符合题意：

B.该抛物线对称轴为犬=-2<0,又因为“V。所以〃<0,故该选项正确，不符合题意：

2a

C由图像可知，当x=0时，可有y=c>0,故该选项正确，不符合题意；

D.由图像可知，当x=l时，可有y="+〃+c>0,故该选项不正确，符合题意.

故选：D.

5.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边

和较短边的比是（）

A.2:1B.C.3:1D.73:1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键.表示

出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解.

【详解】解：设原来矩形的氏为内，宽为.丫，

则对折后的矩形的长为y，宽为二,

2

:得到的两个矩形都和原矩形相似,

，

­V-1X

2

解得x=-Jly,

X:y=®y:y=\/2.

故选：B.

6.如图在4*1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角

形，△A8C就是一个格点三角形，现从。的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格

点联结成格点三角形，其中与二46。相似的有（）

A1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可.

【详解】解：如图所示，由网格的特点可知A4=2,BC=Vl2+12=72,AC=#+32=加，

CE=1,<C=J:+F=QBE=qf+2?=5

.AB_AC

：.bABCs^BCE,

同理可证明AABCsAcDA2BCsACBF,

.•.从“BC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与

4ABe相似的有3个，

故选C.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.如果那么伫2=

53b--------

【答窠】:

【解析】

【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键.设，则有

53

a=5k,b=3k,然后代入求值即可.

【详解】解：设旦=2=&，则a=5k/=3k,

53

•_a_-__b__5__k_-_3__k__2__k__2_

"~b忝3T-3,

2

故答案为：

3

8.化简：2(—d+3/?)—6b=.

【答案】-2a

【解析】

【分析】本题主要考查向量的加减运算，理解和掌握向量的加减运算方法是解题的关键.先去括号，然后结

合向量的加减运算即可求解.

【详解】解：2(-d+3b)-6〃=一2。+6〃-6/?=-2d.

故答案为：-2a.

9.已知两个相似三角形的相似比为2:3,那么这两个三角形的周长比为.

【答案】2:3

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比的平方进行求解即可.

【详解】解：•..两个相似三角形的相似比为2：3,

,这两个三角形的周长比为2：3,

故答案为：2:3.

10.已知点〃是线段44的黄金分割点(人。＞叨)，如果人4=2,那么.

【答案】-1+75

【解析】

ApBP

【分析】由题意知，BP=AB-AP=2-AP,由点P是线段A6的黄金分割点，可得一=一一，即

ABAP

AP2—AP

—=------，整理得A尸一2AP+4=0,计算求出满足要求的解即可.

2AP

【详解】解：由题意知，BP=AB-AP=2—AP,

•・,点P是线段AB的黄金分割点,

APBPAP2-AP

——=——，即Bn—=------整理得A尸一2AP+4=0,

ABAP2AP

解得：AP=-1+6或AP=-1-6（舍去）,

故答案为：—1+y/5-

【点睛】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组.解题的关键在于对黄金分割的熟练掌握与灵活运用.

II.抛物线>=一3的顶点坐标是.

【答案】（0,-3）

【解析】

【分析】本题考查了抛物线顶点坐标，根据公式计算即可.

【详解】抛物线y=-3的顶点坐标是（0,-3）,

—»

故答案为：（0,-3）.

12.如果点A（2,a）、风3，〃）在二次函数），=/一3x的图像上，那么"填">”或

【答案】<

【解析】

【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当占=2时，当x=3时的函数值即可得到答案.

【详解】解：在），=,『一3犬中，当x=2时，）=22—3x2=—2,

当x=3时，j?=32—3x3=0,

•••一2<0,

a<b,

故答案为：<.

4

13.如果a是宜角三角形的一个锐角，sin<7=—,那么tana=

41

【答案】一棚1一

33

【解析】

【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键.由题意可知,

a4

sina=—=—,可设o=4k,c=5攵，则〃=3k,然后根据正切的定义求解即可.

c5

_a4

由题意可知，sina,

c5

设a=4k,c=5k,则b=y](r-a2=3k，

a444

/.tana=——=——=一.

b3k3

4

故答案为：一.

3

14.如图，已知。、E、F分别是的边A3、AC,8c上的点，DE//BC,EF//AB,

/XADE,的面积分别为1、4,四边形6尸£。的面积为.

【答案】4

【解析】

【分析】木胭主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明AADEsAEFC,推出

弊2=《=：,进而得到31=：,再证明44班8448。得到5~"=9另川,£=9,则

叫边形所

S|9=SABC-SADE—S4CEF=4

【详解】解：・・・DE〃8C,EF//AB

/.ZAED=NGZ4=ZCEF,

/\ADE^/\EFC.

,/VAOE的面积为1，ACEF的面积为4,

•.—=匡迪=口」

'ECS/\42

AE1

二——=-,

AC3

•••DE//BC

：.AADEsAABC,

S（n|边形麻£7）=SAlic-5A［）E-saCEF=4,

故答案为：4.

15.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i=l：2,那么相邻两树

间的坡面距离为米.

【答案】2小

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度得到。=,

8AC=2m1再利

2

用勾股定理求出AB的长即可得到答案.

【详解】解：如图，斜坡A3的坡度，=1:2,

BC：AC=1:2»

/.BC——AC-2in,

2

AB=\lAC2+BC-=2>/5m，

相邻两树间的坡面距离为26米,

故答案为：25

16.如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60。的方向行驶8海里到8处，再从8处向南偏东

45。方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处_______海里.

【解析】

【分析】根据直角三角形的三角函数得出，A8sin300=4（海里），AD=A8cos3，0=4ji（海

里），进而得出CO=8D=4（海里），计算即可.此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关

键是根据直角三角形的三角函数解答.

根据题意，得/&40=3O°,NAD8=NC08=9O°,/0BC=45。，A8=8海里，

二BO=ABsin300=4（海里），A。=A8cos30°=（海里），

CD=BD=4（海里），

AC=AD+QC=卜石+4）（海里），

故答案为：（473+4）.

17.把矩形A6C。绕点C顺时针旋转90。得到矩形A7S'C。'，其中点A对应点A'在8。延长线上，如果

A8=l,那么8C=

>/5+1

2

【解析】

【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题先

画出图形，再证明再建立方程求解即可.

【详解】解：如图,矩形ABCD绕点.C顺时针旋转90°得到矩形A'®CU，

：.AU=CD=A'li'=C（y=l,设BC=&C=x，

..•点A对应点4在/?/）的延长线上，

AH'D=x-\,I3C//A'B',

：.aBCmRA'D,

•_H_C___C_D_

一而'

X1cc）

・・・；=―即w—1=（）,

I工一1

解得：入=亚土1（负根舍去），经检验符合题意：

2

故答案为：避上L；

2

18.在44以7中，AC=6,P是AB上的一点，。为AC上一点，直线PQ把aABC分成面积相等的两部

分，且△AP。和相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边44长度的取值范围是.

【答案】3应WABW6后

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当.APQs.A8c1时，只要满足理=丝=也，都能满足

ABAC2

题意；当AC8时，得至|)”=些_=1,则AQ=—AB,再由

ACAB222

AP<AB,AQ<AC,可得据此可得答案.

【详解】解：如图所示，当，APQSA8c时，

,只要满足丝=丝=YZ,都能满足题意:

ABAC2

如图所示，当APQs,ACB时，

•••直线PQ把MC分成面积相等的两部分,

**S△八PQ=5S△八BC，

;eAP*,ACB,

SARCVAC){AI3)2

.APAQy[2

•.------_____----f

ACAB2

AP=--AC=3>/2»AQ=AB»

22

VAP<AB,AQ<AC,

*3坛显ABW6,

/•AB

2

3y/2<AB<6&:

综上所述，直线PQ把分成面枳相等的两部分，且△AF。和、ABC相似，如果这样的直线PQ有

两条，那么边48长度的取值范围是3点64866忘.

故答案为：3>/2<AB<672

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

2

19.计算："sin二45_0-1L+cot60°cos30°.

tan45°

【答案】0

【解析】

【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算.先符特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即

可求解.

sin245°-1,co_

【详解】解：-----------------kcot60-cos3n0o

tan45°

成丫

I2J

=__________

]

1---,1

=----1-1—

22

=0

20.某学校有一喷水池，如果以喷水口（点A）所在的铅垂线为）'轴，相应的地面水平线为i轴，1米为单

位长度建立直角坐标系喷出的抛物线形水柱在最高处（点/>）距离）'轴1米，水柱落地处（点B）

距离一丫轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度.

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键.设该抛物线的

解析式为.丫=4(*-1尸+〃，结合题意，将点(0.2),(4,0)代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可

获得答案.

【详解】解：设该抛物线的解析式为卜=4(X-1)2+k,

将点(0.2),(4,0)代入,

I

a--

2=cr+A4

可得《。=9…’解得

,9'

k=­

4

，该抛物线的解析式为y=-,(X-If+-,其顶点坐标为(1.-),

444

9

抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为-米.

4

21.已知I：如图，是&48c的中线，点G是重心，点。、K分别在边A8和8c上，四边形8EG。是

平行四边形.

(1)求证：DE//AC-,

(2)设84=6i，BC=b，用向量“，I)我示DE=.

【答案】(1)证明见解析；

⑵

【解析】

【分析】(I)由三角形重心的性质得到AG=2GM,由平行四边形的性质得到GE//AB,DG〃BM,

2I1

推出=,得到8七=一例8,而MB=±BC,得到BE=-BC,由。G〃8M,推出

323

BD:AD=MG:AG得至。8。=,加，因此3”：8A=8K:8C=2,而NDBE=NABC,推出

33

4BDES/\BAC,得到ZBOE=N8AC,即可证明QE〃AC,

(2)由平面向量运算法则，即可求解：

本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明

△BDEs&BAC,掌握平面向量的运算法则.

【小问1详解】

：G是JBC的重心，

AG=2GM，

:四边形8EG。是平行四边形，

：.GE//AB,DG〃BM,

BE:EM=AG:GM

BE=2ME,

：.

3

,/A例是的中线，

/.MB’BC,

2

/.BE=-BC,

3

•；DG//BM,

:.AADGS^ABM,

:.AD:AB=AG:AM,

:.BD;AD=MG:AG,

：G是jWC的重心，

/.MG——AG,

2

/.BD^-AD,

2

B9=-BA,

3

:.BD:BA=BE:BC=L,

3

­.­/DBE=NABC,

：.ABDESABAC,

：.NBDE=NBAC

/.DE//AC,

【小问2详解】

BA=a，BC=b.

：•AC=6—ci，

•/ABDEs^BAC'

DE.AC=I3D;I3A=］：3,

：.DE=~AC,

3

DE//AC，

.•.£）£=%6=；仅-a）,

故答案为：:（。一“）.

22.随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳

棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷A4长为4米，与墙面A。的夹角75.5°，靠墙端A离地高

为3米，当太阳光线4c与地面OE的夹角为45°时，求阴影C。的长.（结果精确到0.1米；参考数

据：sin75.5o*0.97,cos75.5°*0.25,tan75.5°*3.87)

【答案】1.9m

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点8作I3G1AO于点G,

BF.LCE于点、F,则四边形。G/3/7是矩形，据此可得BG=DF,解RtZ\A/3G得到

AG«L0m.4Gx3.9m,进而求出4尸=2.0m,再解RLAC/7得到CT7=2.0m,则

CD=DF-CF=BG-CF=\,9m.

【详解】解：如图所示，过点8作4G1.4。于点G,4尸」_8于点/，则四边形。G4/7是矩形,

:•BF=DG,BG=DF.

在Rt^/IAG中，ZHAD=75.5°,NAG/3=5O°,A/3=4m,

AG=>4BcosZ/i4G=4xcos75.5o41.0m，BG=AB-sinZBAG=4xsin75.5°«3.9m.

/.HF=1XJ=AD-AG=2.0m.

BF2.0

在RU/3C77中,CF==2.0m,

tanZBC/7tan45°

/.CD=DF-CF=HG-CF=3.9-2.0=1.9m,

阴影CO的长为1.9m.

23.已知：如图，在四边形ABC。中，对角线AC和3。相交于点0，NBAC=NBDC.

A

(1)求证：AAO*BOC；

(2)过点A作AE〃C。，AE交BD于点、E.求证：ABAD=AEBC.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明两个三角形相似是解本题的关键.

(1)先证明/i40及八4”)。，可得22=02,结合乙4OD=N3OC，可得NAOD^ABOC；

DOCO

(2)证明44EO=N3OC，可得/4EO=N3AC，证明NADE=NA。，可得qEDAfAC3,再利

用相似三角形的性质可得结论.

【小问1详解】

证明：•••NE4C=N3OC，NA0B=4D0C，

：.△AOBsaDOC,

AOBO

,=-,

DOCO

•/Z4OO=N3OC，

/.乙AomBoc.

【小问2详解】

如图，过点A作AE〃C。，

/.ZAED=/BDC，

ZBAC=ZBDC,

：.ZAED=ZBAC，

^AOD^^BOC>

NADE=NACB,

:.AEDA^^GACB,

,AEAD

,•丽二记’

二AEBC=ABAD.

24.己知：在平面直角坐标系X0y中，抛物线.y=&+"v+c过点A(—L0)、8(3,0)、C(0,-3).

।-

tilt1ttij

~~~O\1x

(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标：

(2)点。在抛物线对称轴上，ZP/AD=90°,求点。的坐标；

(3)抛物线的对称轴和r轴相交于点”，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q,QB=QM,

。。的延长线交原抛物线为E,QO=OE,求新抛物线的表达式.

【答案】(1).尸产一21—3,(1,-4)

⑵(1,1)

(3)-4x-1

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点P的坐标；

⑵设点。(1,〃7),根据勾股定理可得A尸=20，AD2=nr+4.PD?=〃/+&〃+16,在RL»A点D

中，由勾股定理可得A尸+AO2=PQ2,然后代入求值，即可获得答案；

(3)首先过点。作Q"于点”，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点”为MS中点，易得

”(2,0)：过点E作EG」一x轴于点G,证明▲OEG—。//,由全等三角形的性质可得

OG=OH=2,EG=QH,易知点E的横坐标为一2,进而确定点E(—2,5),点。(2.—5),然后根据平

移的性质，即可获得答案.

【小问1详解】

解：将点4一1,0)、8(3,0)、。(0,_3)代入抛物线)，=加+公+5

0=a-b+ca=l

可得，0=9a+3b+c,解得<b=-2、

-3=cc=-3

，该抛物线的表达式为y=.r2-2.r-3,

又：.丫"_2X_3=@_1)2_4,

顶点尸的坐标为(1,—4)；

【小问2详解】

如下图，

根据题意，点。在抛物线对称轴上，ZE4Z9=90°,

设点。(1,〃7)，

：4-1,0)，卬,-4),

/.AP2=[1-(-1)]2+[0-(-4)]2=20,AD2=m2+[1-(-l)l2=+4,

PD2=[〃L(Y)F=in2+8〃?+16,

在RtaAQQ中，由勾股定理可得4"+4厅=刊下，

即20+nr+4=m~+8〃?+16,

解得m=\,

•••点。的坐标为(LD；

【小问3详解】

如下图，

，其对称轴为x=l,

/.A7(l,0),

；新抛物线的顶点为点Q,QB=QM,

过点Q作QH上MB于点H,则BH=MH,即点，为岫中点,

•.•8(3,0),M(l,0),

••.”(2,0),

/.OH=2,

过点E作EG_Lx轴于点G,

；NOGE=NOHQ=9。°,ZG0E=4H0Q,QO=OE,

；.aOEG也AOQ〃(AAS),

/.OG=OH=2,EG=QH,

点E的横坐标为-2,

九=(一2)z-2x(-2)-3=5,

/.E(-2,5),

/.EG=QH=5,

。(2,-5),

•把原抛物线y=.d-2A--3=(.V-1)3-4平移，得到新抛物线,

新抛物线解析式y=(A-2>-5=.v2-4.r-l.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三

角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题.

25.已知：如图，在AABC中，AB=AC,NCAD=ZABC,DC,LAC,AO与边8C相交于点P.

(1)求证：AB2=—AD-BC：

2

4

(2)如果sin/ABC=1,求8。：PC的值；

(3)如果/XBCQ是宜角三角形，求/ABC的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(,2、)—II

25

(3)忘或1

【解析】

【分析】(1)根据等边对等角可得？AC3?A8C；推得NAC8=NC4。；根据等角对等边可得

AP^PC-.根据直角三珀形两锐珀互余，等角的余角相等可得NPOC=NPCO：根据等角对等边可得

PD=PC；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于

相似比即可证明AB?=4AO-8C.

2

4

(2)结合题意可得CD=-AD,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得

3Ig

AC^-AD；结合(1)中结论可求得8C=-A。；分别求出8。和PC,即可求解.

525

CD2

(3)分两种情况讨论：当N。8c'=90°时，根据相似三角形的判定和性质可求得8C=*-；根据勾股

AD

定理和(I)中结论可求得8C=X竺二即可列出等式，求得。>2=24。2,根据勾股定理求

AD3

出4c分别求出C。、AC与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当

，8。。=90。时，根据同旁内角互补，两直线平行可得