成都2024届下学期二诊模拟考试数学（文科）A卷答案

成都2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试

数学试题（文）（A卷）参考答案

一、选择题：

1.已知复数z=1-（其中i为虚数单位），则Z的虚部是

1+i

A.--B.--iC.-D.-i

2222

l.Az='=Ei,所以z的虚部是一L

1+i22

2.若集合4==<y\y=x^>,则。£%是QWB的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.A5=[0,+oo）,则4是5的真子集，则是。£台的充分不必要条件.

3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右

分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则

下列结论正确的是11877

A.这8位同学数学月考成绩的极差是1412513

B.这8位同学数学月考成绩的中位数是1221312

C.这8位同学数学月考成绩的众数是118

D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124

3.B对于选项A,极差是132-117=15,故A错误；

121+123

对于选项B,中位数是=122,故B正确；

对于选项C,众数是117,故C错误；

对于选项D,平均数是123,故D错误，故选B.

侧视图都是由半I厂

4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、

圆和矩形组成，则这个几何体的体积是■———」_儿_

3579

A.—乃B.—7TC.-7TD.—7T正视图侧视图

2332

4.A还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成,故这个

几何体的体积厂=万.『.1+9万.俨.3=3万.

382俯视图

5.已知数列｛4｝为等差数列，且与+%+&+。9+%0=10，则%+。8的值为

A.2B.4C.6D.8

1

5.B因为+。3+“6+。9+。10=1°，由等差数列的性质,得5。6=10,=2，所以。4+〃8=4.

6.若是正实数，且-----+——-——=1,则。+6的最小值为

3。+62。+46

42

A.-B.-C.1D.2

53

6.A因为“+6」［(3。+6)+(24+4切-1」［(3“+6)+(2“+46)］.(—)—+—-—|

55\3a+b2a+4bJ

=^2+2a+4b+3a+b^^4^当且仅当。=3,6=工时取等号，所以“+%的最小值为土

5(3〃+62。+46)5555

7.当时，关于x的不等式(2asinx+cos2x-3)(sinx-x)W0有解，贝!Ja的最小值是

A.2B.3C.4D.4A/2

7.A当0<x(工时，sinx<x,所以2Qsinx+cos2x-320在0<%K工上有解,

22

所以2asinx23—cos2x=2+2sin2x,所以aN1--—+sinxj.由--—+sinx>2,当且仅当x二工时取

IsinxJ-smx2

等号，所以，的最小值是2.

7.当0<xW工时，关于工的不等式(2。+5[11%+(：052%—3)(5111%—%)«0有解，则a的最小值是

153

15一C

A.--B.8-

162

7.A当0<x«—时，sinx<x,所以2。+sinx+cos2x—320在0<x4—上有解，

22

所以2a+sinxN3-cos2x=2+2sin2x,所以a2(sinx-L]+—>—,当且仅当sinx=工时取

4J16164

等号，所以”的最小值是”.

16

8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三个场馆

执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到/场馆，则不同分配方案的种数是

A.48B.36C.24D.12

8.C分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有C；C；W=12种；第二种情况，甲和另

一个人一起执勤一个场馆，共有4=12种，则共有24种.

7T

8.(文科)已知函数/(x)=sin(2%——),则下列结论中不正确的是

A.兀为函数|/(x)|的一个周期

2

B.点(7,0)是曲线y=/(x)的一个对称中心点

5兀

C.在区间[-4,团上单调递增，则实数。的最大值为五

71

D.将函数/(x)的图象向右平移五个长度单位后，得到一个偶函数的图象

8.C【解析】

7T

对于A,函数/(x)=sin(2x—§)的最小正周期为兀，所以兀为函数|/(x)|的一个周期，正确；

jrKTV7T

对于B：令2x——=kjc(kGZ),解得x=---1--(A:GZ),

326

2兀2兀

当左=1时，X=y,所以点(彳,0)是/(X)的一个对称中心点，故B正确；

TTTTTTTT)TT

对于C：——+2kn<2x——<一+2左兀，左EZ,得----+kn<x<一+kn,keZ,

2321212

71571兀

令左=0,——<X<—,因为在区间上单调递增，所以实数。的最大值为一，故C不正确;

121212

对于D：v=sin[2(x-展)-y]=sin(2x--1-)=-cosx

故D正确.

综上，故选C.

9.已知抛物线产=4x,弦过其焦点，分别过弦的端点43的两条切线交于点。，点C到直线距

离的最小值是

A.-B.-C.1D.2

42

9.D设/(占,“),2(巧,了2)，设过工处的直线是了-“=Hx-xJ,联立J，-”=Hx-xJ，/=4x得

/+-4x]=0,A=0,即+4疗=0,1：-2为j=Q,k=—,则在/处的切线方程为

yxy=2xl+2x,同理，8处的切线方程为y2y=2x2+2x,设交点。的坐标为(今,为)，点。(勾,了())在两

条切线上，所以弘为=2占+2丫0，y2yo=2七+2.近，则直线Z8的方程是抄o=2x+2xo.又过其焦点

(1,0),易知交点C的轨迹是x=-l,所以C(—1,为)，AB：yy0=2x-2,所以交点C到直线48的距

3

离是dIF-2]=,4+了3所以当先=0时d的最小值为2.

A/4^

10.如图，四棱柱中，£为棱4坊的中点，尸为四边形。CGA对角线的交点，下列说

法：

①斯〃平面2cq多；/>,

②若斯〃平面AD。/,则2C///D；/\

③若四边形/BCD矩形，且即，QG，则四棱柱4BCD-4与。1。1为直[/

H<

四棱柱.

其中正确说法的个数是

A.0B.lC.2D.3

10.C对于①，若斯//平面2。。出],过尸作CG的平行线交GA于其中点8，为连接9，由于尸8〃

平面BCCB,且EF//平面2cq用，所以平面EFH〃平面BCCXBX,//平面BCCR,所以£7/

"C[B[.当4Q与G为不平行时，EH〃。内不成立.①是假命题.

对于②，同①，EH〃C\B[,贝！]5C〃4D.②是真命题.

对于③，四边形N8CD矩形，所以AD/IBC.又DDJICQ,所以平面力同〃。〃平面BCGZ，所以四

棱柱可看作幺44。为上底面，2CG均为下底面的四棱柱，过尸作CG的平行线交

G2于点8，则〃为GA的中点，连接昉r，由条件有E8L2G，又EF工DG，则平面

EFH,则尸〃_L£>C，FHI/DDX,所以DQ_L2G，又24,AG，所以£>CJ_平面4D£）14，则

四棱柱ABCD-AXBXCXDX为直四棱柱.③是真命题.

1O.（B卷）如图，在长方体48C。一4片GA中，4B=4D=2,AA、=M,P,。分别是棱3C和CQ1上

的两个动点，且尸0=2,则尸。的中点E到CG的距离为（）

4

A.—B.—C.vD.—

2223

10.C取CG的中点尸，连接政，

以。为坐标原点，DA,DC,DR所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

(2万)

因为£是的中点，所以E；，匕了，・，

所以砺=色,宁,oj,而国=西=(0,0,@,

所以施•而=0,即EF1CG，所以点E到CG的距离就是所，

因为尸。=2,

所以尸。2=7+(>_2)2+(后=4,即/+0-2)2=1,

所以所2=色1+一21=/+(；2)2=:,即斯=g,

所以P。的中点E到CG的距离为?.

故选：C.

11.已知函数/(%)=2"+2一"H-cosx+x2,若a=f(V2),b=f(-ee),c=/(»])，贝|

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

ll.B/(%)=2"+2一"+cosx+%2是偶函数，f\x)=(2X-2-x)In2+(2x-sinx)>0,则/(x)在

(O,+8)上是增函数.构造函数g(x)=电二，则g，(x)=1T：X，令g<x)>0,得0<x<e,令g<x)<0,得

XX

5

X>e，所以g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e9+00)上单调递减.又殍=等，所以g(4)<g(i)<g(e),

所以也2=<也2<,所以然所以/(也)</(/)</(/)=/(-2，所以Q<C<6.

24万e

11.(B卷)设"log/l,Z>=log1312,c=log0120.11,则()

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

11©由时数函数性质知108121<10a211<1081212,即0<“<l,同理0<Z)<l,

又Iogoq0.11>logoq0.12,即c>l,

lglllgl3<（lgll^lg13）2=（等><（臂>=lg212,

所以…翳器一叫小

<0,即Q<b,综上〃<b<c，

故选：B.

2,2

12.若双曲线C:二-二=1(“>0,6>0)的左、右焦点分别为4,尸2，过右焦点心的直线/与双曲线。交于

ab

42两点，已知/的斜率为左，左<，,+，!，且M闻=2尸24，/”=60。,则直线48的斜率是

A.2也B.V3C.—D.2

3

12.A设内B|=x,则叵/|=2x,由双曲线定义,得,/|=2a+2x,|耳目=2a+x.

在A463中，由余弦定理，得向砰=|E/『+|48『一2|耳/|48卜0$60°,解得X=*

在A4月外中，由余弦定理，得4c2=|6+七//一2闺N恒2，|cos60°,解得e=孚.

法一：令°=34>0),则c=VH/,6=2f,C：，-g=l,设/：x=my-VB/^0<加<g],联立

=1,x=mv+y/13t,W（4m2-9）y2-+16/2=0,%+v,=,%=17——.由

9』4t2_4m2-9-4m2-9

所以储B=2百.

\AF^=1\F,B\,WV1=-2V2

1)2b2

法二设直线倾斜角/为a,由双曲线第二定义得\AF,\=——,\BF,\=——，又|/闾=2忻冽,

1-ecoscr]+ecosa

则e=Ji+k^B---,又ke|—,+co|,则kAB=.

1+2\a）

二、填空题：

6

13.已知向量a=(1,-2),6=(2,x),若a_L6,则实数x=.

13.1因为〉所以lx2+(-2)x=0,解得x=l.

J>0

14.已知实数x4满足约束条件<4x+3j<4,贝。2=3尤+2了的最大值是.

,x-y>0

14.3作出x,y满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=并平移，当直线过点4(1,0)时,

2max=3xl+2xo=3,所以z=3x+2y的最大值是3.

15.已知等比数列｛%｝的前〃项和为5“，若5“=犷(力+27,则a1出…％取最大值时，〃的值

为__________

15.3等比数列｛%｝的公比为勿由等比数列前〃项和公式S〃=言-言•/,得x=-27,q=g.又

%=18,则°"=18・仁］,a2=6,%=2,%=g，所以…%取最大值时，〃的值是3.

21

16.若恒有Inr」--<ex-x2-mx-\,则加的取值范围是_________.

ex-mx

r2i

16.(-oo,e-2］由In-------<ex-x1—mx-1,得e"-加x>0在x21上恒成立，即加We.

ex-mx

且ln(%2—-mx^<(^ex-mx^-(x1+1),即In^x2+l)+(x?+i)Wln(/-mx)+(ex-mx^.因为

x2i

y=lnx+x在［l,+oo)上是增函数，所以V+lWe，-加x,所以<产-x?-1.令“堵=e一工一，则

m

-XX

/，(x)=(xD(e；Tl)z0,所以/"(x)在口,+oo)上单调递增，/(x)min=/(l)=e-2,所以"?4e-2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)

7

为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，/箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，3箱

内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回.消费额满300元有一次/箱内摸奖机会，消费额

满600元有一次8箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、

黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券.

（I）某三位顾客各有一次3箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数占的分布列；

（II）某顾客消费额为600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？

解：（I）三位顾客每人一次8箱内摸奖中10元代金券的概率都为工，

5

中奖10元代金券的人数占服从二项分布3（3,1）,

24=左）=绫[[[£|#=0,1,2,3,.........................................................4分

故自的分布列为

0123

6448121

P

125125125125

...............6分

（II）可以在Z箱摸奖2次，或者在5箱内摸奖1次

/箱摸奖1次所得奖金的期望值为50x-L+30xL+10x刍=16.........................................8分

101010，

447

8箱摸奖1次所得奖金的期望值为50x—+30x—+10x—=34,....................................10分

101010

/箱摸奖2次所得奖金的期望值为2x16=32,3箱摸奖1次所得奖金的期望值为34,

所以这位顾客选8箱摸奖1次所得奖金的期望值较大..................................12分

17.（文）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段,

[40,50）,[50,60）,…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题:

8

(1)求“，并估计此次期中考试成绩的众数.

⑵利用分层抽样的方法从样本中成绩在［50,60)和［80,90)两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中

随机抽取2人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

【详解】(1)由直方图知:10x(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,则a=0.010,

由图知：区间［70,80)的频率最大，故众数为75...........................................4分

(2)成绩在［50,60)分数段的人数有60x0.15=9,成绩在［80,90)分数段的人数有60x0.1=6,

采用分层抽样的方式，在［50,60)抽取3人，记为B,C,［80,90)抽取2人,记为1,2,

从这5人中随机抽取两人，所有的基本事件有(42),(4C),(41),(42),(2,C),

(凡1),(瓦2),(C,1),(C,2),(1,2)共10种，............................8分

2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10等价于这2个同学在同一个分数段.

记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件N,

则事件N包含的基本事件有(40,(4C),(2,C),(1,2)共4种，.......10分

42

所以所求概率为W)=—=-.........................................................................12分

18.（12分）

sinx=m,

已知,cosxM”扁58设

(I)求函数/(X)的对称中心；

(II)若AABC中，角4民c所对的边分别为a,6,c,/(/)=孚，且AABC外接圆的半径为g,D

是8C边的中点，求线段长度的最大值.

sinx=mr-r-

解：(I)由1,V3,Wf(x)=sinxH-----cosx=------sin(x+—).

2=m+—cosx336

9

TTTT

令x+—=k兀,kGZ，解得x=kn-----,kGZ，所以函数/(x)的对称中心为

66

TT

(k7i-----,0),keZ..........6分

6

(II)•.•〃/)=短$皿/+工)=迪，Ae(0,7r).-.A=-,又且A48c外接圆的半径为走，则

36333

V3...

a=20-----sinZ=1,

3

力2,2_2

法一：・,・由余弦定理cos/=------------------，得/+02一加=1.

2bc

2222

2AD^AB+1C,4回2=网2+网2+2网.同cos/,4囱?=c+b+bc=2(c+Z?)-1.

22

由/+。2_加=1,b+c>2bc,得02+62<2,即(当且仅当6=c=l时等号成立)，

4|ID|2<3,即=W，止匕时，b=c=l..................................................12分

法二：直接画出三角形的外接圆，由图可知，当Z。，5c时，AD最大，此时A45c为等边三角形，所

V3J3

以AD=券，所以功”学

19.(12分)

如图，棱长为3的正方体ABCD-4与。肉中,E是棱CCX上靠近G的三等分点.

(I)求证：4c与平面以加不垂直；

(II)在线段BE上是否存在一点尸使得平面用2尸，平面8DE?若存在，请计算器的值；若不存在,

请说明理由.

解：以。为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，

5(3,3,0),£>(0,0,0),£(0,3,2),用(3,3,3),〃(0,0,3),4(3,0,3),C(0,3,0).

(I)万g=(0,3,2),而=(-3,3,-3),

因为而•砺=(-3,3,-3)<0,3,2)=3*0,

10

所以4c与平面BDE不垂直.........5分

(ii)存在点尸，且竺

BE17

设筋=2赤，贝IJ厂(3—34,3,22),2e[0,l],

防=(3,3,0),反=(0,3,2),

设平面5DE的法向量为为1=(占,％/1),

则,瓦•丝=3占+3%=0,

&•DE=3%+2z1=0

令乃=-2,得用=(2,-2,3).

同理，平面2向尸的一个法向量为£=（2彳-3,-24+3,3/1）.

——»12rT

若平面与2歹_L平面,贝！|々.%=0,BP42-6+42-6+9/1=0,A=—,2G[0,1J.

—►1?—►

所以在线段BE上存在一点F使得平面BXDXF与平面BDE垂直，且BFfBE12分

19（文科）如图，棱长为3的正方体48co-4鸟。13中，CE=2EC「

（I）若P是线段4B的中点，求证：G/〃平面

（II）求三棱锥。-BBXE的体积.

解：（I）如图，分别作出线段AB1的三等分点笈,G,连接GG,GF,

AH.

CE=2EG

:.BEHGCX,AHHDE

分别是848〃的中点

:.FGHAH

:.FG//DE

又♦.•尸GcGG=G

平面G/G〃平面£5。

vCjFcWGFQ

CXF〃平面BDE..............................................6分

1119

(II)VUn-OZBlzFj]B=_3S/AxrBiKFiiBy.℃=—X—X3X33X3=2—2..........................................12分

20.(12分)

11

己知点尸是椭圆E:j+2=1(。>6>0)的右焦点，过原点的直线交椭圆£于42两点,A4AF面积的最

ab

大值为7L|。尸|=i.

(I)求椭圆£的标准方程；

(II)已知过点尸(4,北)的直线/与椭圆E交于两点，是否存在定点尸，使得直线FM,尸N的斜率

之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.

解：(I)因为当且仅当42是y轴与椭圆的交点时取等号，

所以历=71.又C=|QF|=1,所以62=3,7=4,

22

所以椭圆£的标准方程为二十匕=1...............4分

43.

(II)设直线/的方程为=丘+优，M{x],y}),N(x2,y2),由尸(4,%)在直线/上，得加=y0-4k.

y=kx+m

联立2v?，化简得(4无2+3)x?+8无加x+4m2-12=0

—x+—=1

[43

—8km

国十%E

由A〉0,得4左2+3〉加2,由根与系数的关系，得.7分

4m2-12

92=宝石

故直线引位,网的斜率之和为

y+y_kx+mkx+m_2kxx+(m-A;)(x+x)-2m

12x2y2129分

%1-1x2-1再一1x2-1XYX2一(M+、2)+1

-24k-6m

22211分

4k°+4m+8km-9-36^+4v0-24%左-9'

要使上式为定值，则％=0,故尸(4,0),且上FM+原N=0....12分

12

21.(12分)

已知函数/(x)=x2-ax,x>0.

(i)是否存在实数。使得/(X)NO在区间上恒成立，若存在，求出。的取值范围，若不存在,

请说明理由；

(II)求函数/z(x)=/(x)-/Inx在区间(1,/)上的零点个数(e为自然对数的底数).

解：(I)f(x)=x2-ax,x>0.,因为/(x)20在区间［Q,2Q+1］上恒成立，

2a+1>a>0

所以f(a)>0,所以。>0,

“2〃+1)之0

故对任意的。>0都能满足/(x)20在区间2。+1］上恒成立.....................4分

(II)由区间(1,/)得/〉1,所以。〉0.

7”、3a22x2-ax-a2(2x+a)(x-a),八、

n(x)=2x-a------=------------------=--------------------(x>0)

xxx

2

所以/z(x)在(0,(2)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，A(x)min=h(a)=-aIna........6分

下面先证明：

设g(。)=ea-a(a>0),则g\a)=ea-l(tz>0),

由g'(Q)=0得。=0，所以g(。)在［0,+8)上是增函数，故g(a)Ng(0)=l>0.

所以澳〉Q.................................................7分

2

/z(x)min=h(a)=-aIna,

①当-/ma〉。,即0<〃<l时，函数〃⑴在(1,/)上无零点；

②当-/in"。,即Q=1时，函数〃(x)在(1,/)上无零点；

③当一/inavO,即Q>1时，,由于力⑴=1-Q<0,h(a)<0,

h(e)=e-ae-a,

下面证明h(ea)=e2a-aea-a3>0(a>1).

令m(x)=e2x-xex-x3(x>1),则mr(x)=2e2x-ex-xex-3x2(x>1),

13

令(p(x)=2e~x-e'-xex-3x~(x>1),贝1J(p\x)=4e2'-2eA-xex-6x(x>1),

令F(x)=4e~x-2e'-xex-6x(x>1),

贝UF\x)=8e2v-3d'-xev-6=(3e2v-3e')+(2e2'-xe')+(3e2v-6)>0,

所以尸(x)在(l,+oo)上单调递增,F(x)>F(l)=4e2-3e-6>0,

所以°(x)在(l,+oo)上单调递增,0(x)>9⑴=2e°-2e-3>0,

所以机(X)在(1,+co)上单调递增,m{x)>m(y)=e2-e-1>0,

所以h(ea)=e~a-aea-a3>0(a>1),

所以函数%(x)在(l,e“)上有一个零点.............................11分

综上所述，当0<。(1时，函数〃(x)无零点；当。>1时，函数刀(x)有一个零点….12分

22.(10分)

在平面直角坐标系X。中，倾斜角为a的直线/过定点(1,0),以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕sin2g=4cos。，直线/与曲线C相交于不同的两点46.

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