2024陕西省铜川市高三年级下册二模理数试题及答案

高中

铜川市2024年高三质量检测卷

数学(理科)

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔

在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：高考范围。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合M={x|2x-1>5},7V={xeN*|-l<x<5),则(QM)nN=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3)

C-{0,1,2}D.{1,2}

2.已知复数(l+2i)(z—1)=—2+i,则忖=()

A.VIB.2C.V3D.

3.从1,2,…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为()

14713

A.-B.—C.—D.—

391836

4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的

()

A.百倍B.3倍C.3百倍D.9倍

5.已知N,8是。C:(x—2『+(>—4『=25上的两个动点，尸是线段48的中点，若

[48|=6,则点尸的轨迹方程为()

A.(x-盯+(>-2『/B.(x-2)2+(7-4)2=11

高中1

高中

C.(x-2『+(y-4)2=16D.(x-4)~+(y-2)~=11

6.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=e\贝U/(ln2)=()

c11

A.—2B.2C.D.—

22

7.设厂为抛物线C:y2=2x的焦点，点尸在抛物线上，点0在准线/上.满足尸。〃x

轴.若|尸。|=］。尸］，则|尸尸|=()

A.2B.2GC.3D.373

8.在递增等比数列｛%｝中，其前〃项和为S“，且6%是4和成的等差中项，则邑=

A.28B.20C.18D.12

9.已知函数/(力=25由15：+(卜0〉0)且满足/［T—鼻=/卜—看.则0的最小值

为()

12

A.-B.-C.1D.2

23

10.已知函数“X)满足/'(x)lnx+:/(x)<0(其中/'(x)是/(x)的导数)，若

(1、(1

a=f-b=fc=f,则下列选项中正确的是()

I7I)

A.6a<4b<3cB.6a<3c<46

C.4b<6a<3cD.4b<3c<6a

11.正四棱锥尸-N5CD内有一球与各面都相切，球的直径与边48的比为4:5,则尸4与

平面4SCD所成角的正切值为()

5207210>/2

A.-B.亚-------D.-------

4

12.已知斜率为G的直线/经过双曲线C:0—2=1(。〉0力〉0)的右焦点厂，交双曲线

C的右支于幺，8两点，且万=6砺，则双曲线的离心率为()

高中2

高中

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量不=（7一2,3）,^=（3,-1）,且（万+2很）〃3,则同=.

3

14.己知锐角a,夕满足sina=-^-,cosP=则cos（a-〃）=.

15.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”

表示化学键，按图中结构第〃个图的化学键和原子的个数之和为个.（用含"的代数式

表示）

。攵⑪…

（1）（2）⑶㈣

15.已知函数〃x）=[a（x-l）-21nx卜在（l,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖

先，是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们

今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2x2列联表：

回老家不回老家总计

50周岁及以下55

50周岁以上1540

总计100

（1）根据统计完成以上2x2列联变，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的

居民今年回老家祭祖的概率；

（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关?

n(ad-be)"

参考公式：K2=其中n=a+b-\-c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

高中3

高中

尸①淮）0.1000.0500.0100.001

左02.7063.8416.63510.828

18.(本小题满分12分)

在△ABC中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

(1)证明：3c2+3Z)2=5a2；

（2）若。=乖，当Z取最大值时，求△ABC的面积.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥尸-Z8C中，侧面R4CL底面N5C,且△ZBC为等边三角形,

7T

PALPC,ZPAC=-,。为尸4的中点.

6

B

（1）求证：AP上BD；

（2）求直线瓦？与平面P5C所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

22（回、

已知椭圆C:三+奈=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为大，耳，点—1,、-在椭圆C

巧

上，且椭圆C的离心率为匚.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）相互垂直且斜率存在的直线小4都过点5。，0）-直线（与椭圆C相交于尸，0两点，

直线乙与椭圆。相交于“，N两点，点。为线段00的中点，点£为线段MN的中点，证

明：直线。£过定点.

21.（本小题满分12分）

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已知函数/(x)=lnx+—―-\.

XX

（1）若〃=0,求/（x）在点处的切线方程;

⑵若西,々（m</）是/（X）的两个极值点，证明：、*）—

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

X=]+COS

在平面直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为《0L'（a为参数）.以坐标原点为

j=sin«

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为P=-2sin。.

（1）求曲线G的极坐标方程和曲线。2的直角坐标方程；

（2）设直线/:氐+>=0与曲线G，。2分别交于幺，8两点（异于极点），求线段48的

长度.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知Q>0,Z?>0,函数/（x）=|x+4+|x-b|的最小值为2,证明：

（1）3/+/与；

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高中

铜川市2024年高三质量检测卷-数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1.B由题意知〃={x|2x_1>5}={巾>3},N={xeN*|—l<x<5}={l,2,3,4},所

以(«M)nN={l,2,3}.故选B.

-2+i(-2+。。-2i)

2.Az=+1=—+l=l+i则目=0.故选A.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

3.C和为质数有

（1,2）,（1,4）,（2,3）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（2,9）,（3,8）,（4,7）,（5,6）,（4,9）,（5,8）,（6,7）,（8,9）

147

共14种情况，因此概率为一r-=—.故选C.

C：18

4.B设圆柱的高为力，底面半径为r,则体积为加上人，体积扩大为原来的9倍，则扩大后

的体积为9兀/力，因为高不变，故体积9a2〃=兀（3r）2〃，即底面半径扩大为原来的3倍，

原来侧面积为2兀泌，扩大后的圆柱侧面积为2兀・3泌=6兀r/z,故侧面积扩大为原来的3

倍.故选B.

5.C因为48中点为尸，又|48|=6,所以|。尸][25—=4,点尸在以C为圆心,

4为半径的圆上，其轨迹方程为（x-2『+5—4）2=16.故选C.

6.C因为函数/（x）是定义在R上的奇函数，所以

/（ln2）=-/（-ln2）=-eln2=-1,故选C.

7.A依题意，|尸。|=|。司=|/狎，APQF为等边三角形,

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：.\PF\^\PQ\^4\OF\^2.故选A.

8.A根据题意得12%=%+为，12=q+q2,解得夕=3或夕=二1（舍），则

卬(1-*)

6

i-q1-Z7

§6=----=1+/=1+3^=28,故选A.

S3%(i-1—/

i—q

jr..7171,71

9.B/(x)关于X=—对称,故G•一+—=E+—,

432

22

@=4左+—,左二0时，口取最小值为一.故选B.

33

10.A(x)lnx+，/(x)<0=<0,令g(x)=/(x)lnx,则g<x)<0在

(1>c口c口

（0,+8）上恒成立，故g（x）在（0,+8）上为减函数，故g<ge3<ge4，则

I)I)I)

(1A(口-(1

Ine<f”In<fIne"故即6a<4b<3c.故选A.

I)k)k)234

11.C设球心为O,O在平面48C。内的射影为“，"为5。中点，OH工PM于E,

半径为井，AB=-r=x,PH=k,贝U

2

h2V2h20V2…

tan/PAH=----=--------=------.故选C.

AH5r9

高中7

高中

12.C设5(x2,y2),直线/的方程为x=q-y+c,其中。2=/+〃，联立

x=^y+c,

2回2c

.3。得-3a2)y2+2y/3b2cy+3b4=0..'.y+y=-

221222

%yb-3a

=1,

3b&由衣=6砺，得%=—6%，即匕=-6,.・』+£=-卫，即

一%%Ji6

r2国,丫

(凹+72)2.25、b2-3a24c225c2100*

?,整理得二——,...禺心率

63/b2-3a26a249

b2-3a2

£=-=—.故选C.

a7

13.3而a+2b=(t+4,l),-：(a+2b)//b,.-.-(^+4)=3,解得/=—7,

.•.2=(-9,3),同=3而.

2A/5,.-\/53CMALMZZ2Vs.4

14.由sma=——,cospn~—,a,夕均为锐角，得cosa=-----,sinpn=—,

55555

E(川2君3石42后

贝Icosla-/^)=X—HX—=

v755555

15.9n+3由图，第1个图中有6个化学键和6个原子;

第2个图中有11个化学键和10个原子；

第3个图中有16个化学键和14个原子，

观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子,

则第〃个图有6+5(〃-1)=5〃+1个化学键和4〃+2个原子，所以总数为9»+3.

22

16•[2,+co)/'(x)=a-----(x-l)-21nxex=ax------21nxe">0,即

Xx

2

ax------2Inx>0,对xe(l,+oo)恒成立，当〃22时,

222222x〜一2x+2

ax------21nx)2%------21nx=g(x),g'(x)=2d--—>0,故

xxxxX2

高中8

高中

g(x)>g(l)=O符合题意,当。<2时,g(l)=a-2<0,3me(l,+oo),在(1,加)上,

g(x)<0不合题意，故〃22.

17.解：(1)补全表格如下：

回老家不回老家总计

50周岁及以下55560

50周岁以上152540

总计2080100

153

该社区50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为一=-；

408

,100x(5x25-15x55?1225

(2)VK2=------------------------匚=——工12,760>10,828,

20x80x60x4096

・•.有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关.

18.(1)证明：

._sin^(sin5sinC\_sin5sinC

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC=----------------1--------=3-----------------,

cosAIcosBcosC)cosBcosC

则sin(5+C)sin/=3sin5sinCeos/,

而sin(B+C)=sin/,

故sin24=3sin5sinCcosA,

故。2=2)bccosA--

2

故3/+3。2=5。2；

,223

r2.22b+C---+c2

,b+c—a5£cb2

(2x)解KTJ：cosA=--------------=------------——+—

2bc2bc5bc5

25

当且仅当6=c时，N4取最大值，此时，6/=5/且6/=5/=75,则/=—

2

V211,..1,2V215V2I

sinA=Jl---故Sczusc=Q，csinZ=5»-•二=^—

19.(1)证明：如图，取NC中点£,连接DE,BE,

•••△48。为等边三角形，二8£，2。，

又侧面R4C，底面48C,8£u底面48C,侧面尸NCC底面48C=NC,

高中9

高中

，8£J_平面PNC.平面P/C,.•.8£，尸幺，

又D,£分别为尸/,NC中点，.1DE〃尸C,

又PA上PC,:.PALDE,

♦;DECBE=E,。£,8£<=平面8。£,二.尸2，平面8。£,

又BDu平面BDE,:.PALBD；

（2）解：以£为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边△ABC的边长为4,

.•.叩G,o,o）,C（0,2,0）,尸（0,1,百），D0,--,—,

\7

:.DB=2百g—用，PC=（0,1,-V3）,C5=（2A/3,-2,0）,

设平面P5C的法向量为力=（x,y,z）,

PC-n=0,y一『z=0,则可取为=0,6,1)

则_即＜

CB-n=0,2V3x-2v=0,''

2732^195

cos(DB,n\=,Zf

'/H同

直线8。与平面PBC所成角的正弦值为名叵

65

20.解：（1）设点片，耳的坐标分别为（―c,0）、（c,0）.

—1」=1

/4〃一’Q=2,

由题意有《c2=a2-b2,解得＜I

c_V3c-V3?

2

高中io

高中

故椭圆C的标准方程为—+v2=l；

4

(2)证明：设直线/1的斜率为左(左/0),可得直线的斜率为-工，

k

设点。的坐标为(X],%),点£的坐标为(%2,%)，

直线/]的方程为了=左卜—1),

AIV2=1Xk2

联立方程《4''消除y后有(4左2+1卜2一&k2》+4左2一4=0,有可

y=k(x-l),仅-+1

由对称性可知直线DE所过的定点T必定在x轴上，设点T的坐标为(7,0),

kk

有^有£+4=4,+1,化简得(5左2+5)/=4左2+4,解得/=±

x2-txx-t4_t4k5

上2+44F+1-Z

故直线DE过定点[[,()].

3r-Q

21.解：⑴当a=0时，/(x)=lnx+-,/,(x)=^,/(1)=3,=—2,

XX

所以/(x)在(1J⑴)处的切线方程为2x+y-5=0；

(2)证明如下：由题意可知苞,%(石＜%)是方程炉-3》+24=0的两个不等的正实数根,

/.$+%=3,xrx2=2a,

/(xj-/(%)

阳-x2

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