2022-2023学年山东省滨州市沾化区、阳信县高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省滨州市沾化区、阳信县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，即对应的点为位于第三象限.故选：C.2.设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件；可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）A. B.C. D.为钝角三角形〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，所以，因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误，当时，，为钝角三角形，当时，为钝角三角形，故D正确.故选：D.4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以，则，因为，所以，因为A，B，C不共线，所以，解得.故选：B.5.的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗，整理得，，即，，由正弦定理得，，即，由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形.故选：D.6.一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）A.cm B.cm C.cm D.cm〖答案〗B〖解析〗直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V＝＝；∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh，∴水槽上升的高度h＝.故选：B．7.已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为锐角三角形，所以，解得，所以，在中，由正弦定理，得，即，由，得，即，所以的取值范围为.故选：C.8.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗设，所以点，，所以，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知z为复数，下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗令，则，对于A，因为，，所以，所以A错误；对于B，因为，，所以，，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以C正确；对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误.故选：BC.10.已知平面平面，直线，，直线，且与相交，则和的位置关系不正确的是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能〖答案〗ABD〖解析〗若与平行，，，与与相交矛盾，所以A错误；若与相交，由直线，直线，平面平面，可知与都在同一点处与相交，这与矛盾，所以B错误；因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故与只能异面，所以选项C正确；综上所述，选项D错误.故选：ABD.11.已知非零平面向量，，，则（）A.存在唯一的实数对m，n，使得 B.若，则C.若，，共线，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，若共线时，不一定存在实数对m，n，使得，A不正确；对于选项B，因为，且，，，均为非零向量，所以，均与垂直，所以，B正确；对于选项C，只有，，同向时，才有成立，C不正确；对于选项D，，因为，所以，D正确.故选：BD.12.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（）A.平面平面 B.直线平面C.直线平面 D.直线平面〖答案〗ABC〖解析〗作出立体图形如图所示.连接四点构成平面，对于A，因为E，F分别是的中点，所以.又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，平面，平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________.〖答案〗〖解析〗因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，因为，所以.故〖答案〗为：.14.在中，若，，则______．〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，所以，所以.故〖答案〗：2.15.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为____________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，因为母线长为2，侧面积为，所以，解得；所以，圆锥的体积.故〖答案〗为：.16.在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量，且.则△ABC的面积是_________〖答案〗〖解析〗因为，；所以，解得；，即，解得；又，所以，所以△ABC的面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，且．（1）求向量与的夹角；（2）求的值．解：（1）由题意，，∴，∴，，∴.（2），∴．18.已知复数，，其中i是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求a的值；（2）若，求的虚部．解：（1）由题意得，，因为为纯虚数，所以且，综上，．（2）因为，所以，即，所以，所以，所以的虚部为1．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．解：证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD，所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，又P，平面PAD，P，平面PBC，所以平面平面PBC=PM，即直线l为直线PM，所以平面DEF．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若，求周长的取值范围．解：（1）因为，所以，由正弦定理，得，故，因为，故．（2）由正弦定理得：，所以，，又，则，所以，又，所以周长的取值范围是．21.如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；（2）假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．解：（1）存在，；理由如下：假设存在，连接并延长，交于E，连接，因为平面，平面，平面，所以，则，因为正方形中，，所以，假设成立，则此时.（2）由（1）得，所以；中，，所以，所以；因为，所以，所以．22.如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N．（1）求证：的值为常数；（2）求的取值范围．解：（1）连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，设，，，，则，，则，①，又，②，所以，，因为M，O，N三点共线，故存在实数t，使，所以，所以，即的值为常数.（2）设，则，在△AOM中，，，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，，因为，所以，所以；所以的取值范围是．山东省滨州市沾化区、阳信县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，即对应的点为位于第三象限.故选：C.2.设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件；可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）A. B.C. D.为钝角三角形〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，所以，因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误，当时，，为钝角三角形，当时，为钝角三角形，故D正确.故选：D.4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以，则，因为，所以，因为A，B，C不共线，所以，解得.故选：B.5.的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗，整理得，，即，，由正弦定理得，，即，由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形.故选：D.6.一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）A.cm B.cm C.cm D.cm〖答案〗B〖解析〗直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V＝＝；∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh，∴水槽上升的高度h＝.故选：B．7.已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为锐角三角形，所以，解得，所以，在中，由正弦定理，得，即，由，得，即，所以的取值范围为.故选：C.8.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗设，所以点，，所以，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知z为复数，下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗令，则，对于A，因为，，所以，所以A错误；对于B，因为，，所以，，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以C正确；对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误.故选：BC.10.已知平面平面，直线，，直线，且与相交，则和的位置关系不正确的是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能〖答案〗ABD〖解析〗若与平行，，，与与相交矛盾，所以A错误；若与相交，由直线，直线，平面平面，可知与都在同一点处与相交，这与矛盾，所以B错误；因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故与只能异面，所以选项C正确；综上所述，选项D错误.故选：ABD.11.已知非零平面向量，，，则（）A.存在唯一的实数对m，n，使得 B.若，则C.若，，共线，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，若共线时，不一定存在实数对m，n，使得，A不正确；对于选项B，因为，且，，，均为非零向量，所以，均与垂直，所以，B正确；对于选项C，只有，，同向时，才有成立，C不正确；对于选项D，，因为，所以，D正确.故选：BD.12.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（）A.平面平面 B.直线平面C.直线平面 D.直线平面〖答案〗ABC〖解析〗作出立体图形如图所示.连接四点构成平面，对于A，因为E，F分别是的中点，所以.又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，平面，平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________.〖答案〗〖解析〗因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，因为，所以.故〖答案〗为：.14.在中，若，，则______．〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，所以，所以.故〖答案〗：2.15.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为____________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，因为母线长为2，侧面积为，所以，解得；所以，圆锥的体积.故〖答案〗为：.16.在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量，且.则△ABC的面积是_________〖答案〗〖解析〗因为，；所以，解得；，即，解得；又，所以，所以△ABC的面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，且．（1）求向量与的夹角；（2）求的值．解：（1）由题意，，∴，∴，，∴.（2），∴．18.已知复数，，其中i是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求a的值；（2）若，求的虚部．解：（1）由题意得，，因为为纯虚数，所以且，综上，．（2）因为，所以，即，所以，所以，所以的虚部为1．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．解：证明：延长AD，