2022-2023学年安徽省合肥市庐巢八校高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3安徽省合肥市庐巢八校2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因此.故选：C.2.已知随机变量服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4〖答案〗A〖解析〗随机变量服从正态分布，曲线关于对称，，，故选：A3.平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为（）A.10 B.12 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为.故选：D.4.已知事件A，B，且则P(B)等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，易知,所以，所以.故选：B.5.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.6.若，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由可得即故选：C7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和被除所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（）A.2011 B.2012 C.2013 D.2014〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，由二项式定理可得：，即除以的余数为，因为，所以的值除以的余数也为，观察选项，只有2011除以的余数为，则的值可以是2011.故选：A8.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入元与年产量的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（）A.150 B.200C.250 D.300〖答案〗D〖解析〗设总利润为元，则，则令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数时有极大值，则当时，，函数单调递减，故当时，函数，综上，当时，取极大值，也是最大值.故选：D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.若的展开式中各项系数和为32，则下列说法正确的是（）A. B.展开式中的系数为15C.展开式中的系数为5 D.展开式中常数项为2〖答案〗ACD〖解析〗由题可得，所以，故A正确；所以，又的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，故B错误，C正确；所以展开式中常数项为，故D正确.故选：ACD.10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A.两件都是一等品的概率是B.两件中有1件是次品的概率是C.两件都是正品的概率是D.两件中至少有1件是一等品的概率是〖答案〗ABD〖解析〗两件都是一等品的概率为，两件中有一件次品的概率为，两件都是正品的概率为，两件中至少有1件是一等品的概率为：．故选：ABD．11.某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）A.甲的不同的选法种数为10B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是D.乙、丙两名同学都选物理的概率是〖答案〗AD〖解析〗A项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即种选法，故A正确；B项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误；C项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是，故C错误；D项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是，D正确，故选：AD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，的图象位于轴下方B.有且仅有一个极值点C.有且仅有两个极值点D.存在，使得〖答案〗AB〖解析〗当时，，，所以，故A正确；由题意知，，令，在恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，使得，即，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误，故选:AB.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.的展开式中含项的系数为__________.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为.令，则，展开式的通项为，令，则的展开式中含项的系数为.故〖答案〗：14.将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）〖答案〗〖解析〗由题，，，则，故〖答案〗为：15.盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1个小球，设摸到的红色小球的个数为，则______．〖答案〗〖解析〗设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，则，，．∴的分布列为：012∴．故〖答案〗为：16.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是______〖答案〗〖解析〗∵函数，∴在上能成立，∴，令，即为，∵的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选〖答案〗为．四、解答题（第17题10分，其余均为12分，共6小题70分）17.现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）．（1）求四位“幸福数”的个数；（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”．解：（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个.（2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个，3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个.因为，所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789.18.（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：（1）设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是（2）设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，由全概率公式得因为故所以从这批产品中任取一件是次品的概率是19.在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式，若______，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项；（3）展开式中所有项的系数之和．解：（1）选①，由，得（负值舍去）．选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．由得．选③，设第项为常数项，，由，得．由得展开式的二项式系数最大为，则展开式中二项式系数最大的项为．（2）设第项为有理项，，因为，，，所以，则有理项为，，，．（3）在中，令，即，所以展开式中所有项的系数之和为.20.在一次购物抽奖活动中，假设某张券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖．某顾客从此张券中任抽张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望．解：（1）解法一：，即该顾客中奖的概率为．解法二：，即该顾客中奖的概率为．（2）的所有可能值为：，，，，(元)．，，的分布列为：从而期望.数学期望为:.21.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？解：（1）由题意得，，，，，，，，∴X的分布列为X0123456P（2）选择方案一：所需费用元，则时，，时，；时，；时，，时，，∴的分布列为50006000700080009000，选择方案二：所需费用为元，则时，；时，；时，，则的分布列为6230，要使选择方案二对客户更合算，则，∴，解得，即的取值范围为．22.已知函数，其中.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：；解：（1）易得，函数的定义域为，当时，，令，解得，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；（2）当时，，要证明，即证，即，设，则，令得，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以为极大值点，也为最大值点，所以，即，故.安徽省合肥市庐巢八校2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因此.故选：C.2.已知随机变量服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4〖答案〗A〖解析〗随机变量服从正态分布，曲线关于对称，，，故选：A3.平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为（）A.10 B.12 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为.故选：D.4.已知事件A，B，且则P(B)等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，易知,所以，所以.故选：B.5.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.6.若，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由可得即故选：C7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和被除所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（）A.2011 B.2012 C.2013 D.2014〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，由二项式定理可得：，即除以的余数为，因为，所以的值除以的余数也为，观察选项，只有2011除以的余数为，则的值可以是2011.故选：A8.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入元与年产量的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（）A.150 B.200C.250 D.300〖答案〗D〖解析〗设总利润为元，则，则令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数时有极大值，则当时，，函数单调递减，故当时，函数，综上，当时，取极大值，也是最大值.故选：D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.若的展开式中各项系数和为32，则下列说法正确的是（）A. B.展开式中的系数为15C.展开式中的系数为5 D.展开式中常数项为2〖答案〗ACD〖解析〗由题可得，所以，故A正确；所以，又的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，故B错误，C正确；所以展开式中常数项为，故D正确.故选：ACD.10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A.两件都是一等品的概率是B.两件中有1件是次品的概率是C.两件都是正品的概率是D.两件中至少有1件是一等品的概率是〖答案〗ABD〖解析〗两件都是一等品的概率为，两件中有一件次品的概率为，两件都是正品的概率为，两件中至少有1件是一等品的概率为：．故选：ABD．11.某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）A.甲的不同的选法种数为10B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是D.乙、丙两名同学都选物理的概率是〖答案〗AD〖解析〗A项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即种选法，故A正确；B项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误；C项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是，故C错误；D项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是，D正确，故选：AD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，的图象位于轴下方B.有且仅有一个极值点C.有且仅有两个极值点D.存在，使得〖答案〗AB〖解析〗当时，，，所以，故A正确；由题意知，，令，在恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，使得，即，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误，故选:AB.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.的展开式中含项的系数为__________.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为.令，则，展开式的通项为，令，则的展开式中含项的系数为.故〖答案〗：14.将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）〖答案〗〖解析〗由题，，，则，故〖答案〗为：15.盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1个小球，设摸到的红色小球的个数为，则______．〖答案〗〖解析〗设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，则，，．∴的分布列为：012∴．故〖答案〗为：16.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是______〖答案〗〖解析〗∵函数，∴在上能成立，∴，令，即为，∵的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选〖答案〗为．四、解答题（第17题10分，其余均为12分，共6小题70分）17.现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）．（1）求四位“幸福数”的个数；（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”．解：（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个.（2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个，3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个.因为，所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789.18.（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：（1）设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是（2）设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，由全概率公式得因为故所以从这批产品中任取一件是次品的概率是19.在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式，若______，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项；（3）展开式中所有项的系数之和．解：（1）选①，由，得（负值舍去）．选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．由得．选③，设第项为常数项，，由，得．由得展开式的二项式系数最大为，则展开式中二项式系数最大的项为．（2）设第项为有理项，，因为，，，所以，则有理项为，，，．（3）在中，令，即，所以展开式中所有项的系数之和为.20.在一次购物抽奖