2022-2023学年河北省邢台市高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省邢台市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.的实部为 B.的虚部为C.的实部为 D.的虚部为〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；的虚部为，B正确，D错误.故选：B.2.在中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由余弦定理得．故选：A.3.在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（）A.5条 B.6条 C.7条 D.8条〖答案〗D〖解析〗如图与直线异面的直线为，，，，，，，，共8条．故选：D.4.在四面体中，已知底面为正三角形，则“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的（）A充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若三棱锥为正三棱锥，则，与均为等腰三角形，充分性成立；若与均为等腰三角形，满足，，此时三棱锥不是正三棱锥，必要性不成立；“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的充分不必要条件.故选：C.5.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.6.据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（）A.370g B.490g C.650g D.730g〖答案〗D〖解析〗如图，圆台的轴截面为等腰梯形，且过点作，垂足为，则由题意得：，，，所以，，故圆台的体积，又半球的体积，因为半球的密度为圆台密度的3倍，所以半球的重量为g，故该不倒翁的总重量为.故选：D.7.在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（）A.对任意直线，，总存在直线，使得，B.对任意直线，，总存在直线，使得，C.对任意平面，，总存在直线，使得，D.对任意平面，，总存在直线，使得，〖答案〗B〖解析〗当直线与不平行时，不存在直线，使得，，A错误；当时，，则；当直线与相交，直线垂直于直线，所确定的平面时，即可满足，；当，异面，直线垂直于与直线，均平行的平面时，即可满足，，B正确；当与不平行时，不存在直线，使得，，C错误；当时，不存在直线，使得，，D错误．故选：B.8.如图，已知，，分别以为直径作半圆弧，D是半圆弧的中点，E为半圆弧上靠近点C的三等分点，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得，所以向量在向量上的投影向量为：.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，，，则可能为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为在中，，，所以，又，所以或．故选：AD.10.已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗根据斜二测画法可还原四边形的平面图，过点作，垂足为，如下图所示，对于A，B，，，，A正确，B错误；对于C，D，，，，又，，C错误，D正确.故选：AD.11.如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗设，，因为是线段的中点，则有，由，可得，设，则由平面向量基本定理可得，解得，又，，三点共线，故可设，设，由为中点可知，，将代入可得，即，正确；又，，，设，则有，即，解得，，故，正确.故选：CD．12.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的母线长为，高为，线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，则（）A.底面圆的周长为B.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形C.直线与圆锥底面所成角的正切值为D.沿圆锥的侧面由点到点的最短距离是〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设圆锥的底面半径为，则，圆锥的底面圆的周长为，A错误；对于B，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则其侧面展开图面积，又圆锥侧面展开图面积，，，B正确；对于C，取的中点，连接，分别为中点，，又底面圆，底面圆，直线与底面所成的角为，，，直线与底面所成角的正切值为，C正确；对于D，圆锥的侧面展开图如图所示，在中，，，，，沿圆锥的侧面由点到点的最短距离是，D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13.若复数，且为纯虚数，则__________，在复平面内对应的点位于第__________象限．〖答案〗二〖解析〗为纯虚数，，解得：；对应的点为，在复平面内对应的点为与第二象限.故〖答案〗为：二.14.已知向量，，且，的夹角为钝角，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗向量，，且，的夹角为钝角，且，不共线，则，解得：且.故〖答案〗为：.15.已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为__________．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，截面圆的半径为，球心到平面的距离为，，，，，，以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为.故〖答案〗为：.16.罗星塔位于福建省福州市马尾区南部闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔"之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高__________m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）〖答案〗〖解析〗由题意可知，由正弦定理可得，，所以，因为，所以罗星塔的塔高约为．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知是两个单位向量，且与的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1），，.（2），.18.（1）在复数范围内解方程；（2）若复数满足，，求．解：（1）由，可得，则，所以方程的解为或．（2）设，则由，得，解得，又，所以，所以.19.如图，四棱锥的底面为菱形，底面，且，，．（1）若点平面，且平面，证明，并求的最小值；（2）求点到平面的距离．解：（1）证明：因为平面平面，又点平面，且平面，所以，因为底面，所以，设到的距离为，则，所以当时，取得最小值4．（2）因为四边形为菱形，且，，所以，因为底面，面，所以，因为，所以，同理可得，所以，，设点到平面的距离为，由，得，解得．20.如图，在直三棱柱中，是中点．（1）证明：平面；（2）若是正三角形，，，求三棱柱的表面积．解：（1）连接交于点，则是的中点，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为正三角形，是的中点，所以，因为，所以，在直三棱柱中，底面，则，因为，所以，所以三棱柱的表面积为．21.在中，分别为内角的对边，已知．（1）求的最小值；（2）若，，求外接圆的周长.解：（1），由正弦定理可得：，由余弦定理得：，当且仅当时取等号，的最小值为.（2），，，解得：或，又，，又，；设外接圆半径为，由正弦定理得：，，外接圆的周长为.22.如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．（1）证明：平面平面；（2）设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积．解：（1）证明：取的中点，连接，，则，依题意可得，，，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）如图，作交于，作于，连接，因为平面，所以平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，所以，则是二面角的平面角，则，因此是等腰直角三角形，设，则，得，由，得，得，，，故．河北省邢台市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.的实部为 B.的虚部为C.的实部为 D.的虚部为〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；的虚部为，B正确，D错误.故选：B.2.在中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由余弦定理得．故选：A.3.在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（）A.5条 B.6条 C.7条 D.8条〖答案〗D〖解析〗如图与直线异面的直线为，，，，，，，，共8条．故选：D.4.在四面体中，已知底面为正三角形，则“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的（）A充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若三棱锥为正三棱锥，则，与均为等腰三角形，充分性成立；若与均为等腰三角形，满足，，此时三棱锥不是正三棱锥，必要性不成立；“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的充分不必要条件.故选：C.5.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.6.据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（）A.370g B.490g C.650g D.730g〖答案〗D〖解析〗如图，圆台的轴截面为等腰梯形，且过点作，垂足为，则由题意得：，，，所以，，故圆台的体积，又半球的体积，因为半球的密度为圆台密度的3倍，所以半球的重量为g，故该不倒翁的总重量为.故选：D.7.在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（）A.对任意直线，，总存在直线，使得，B.对任意直线，，总存在直线，使得，C.对任意平面，，总存在直线，使得，D.对任意平面，，总存在直线，使得，〖答案〗B〖解析〗当直线与不平行时，不存在直线，使得，，A错误；当时，，则；当直线与相交，直线垂直于直线，所确定的平面时，即可满足，；当，异面，直线垂直于与直线，均平行的平面时，即可满足，，B正确；当与不平行时，不存在直线，使得，，C错误；当时，不存在直线，使得，，D错误．故选：B.8.如图，已知，，分别以为直径作半圆弧，D是半圆弧的中点，E为半圆弧上靠近点C的三等分点，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得，所以向量在向量上的投影向量为：.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，，，则可能为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为在中，，，所以，又，所以或．故选：AD.10.已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗根据斜二测画法可还原四边形的平面图，过点作，垂足为，如下图所示，对于A，B，，，，A正确，B错误；对于C，D，，，，又，，C错误，D正确.故选：AD.11.如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗设，，因为是线段的中点，则有，由，可得，设，则由平面向量基本定理可得，解得，又，，三点共线，故可设，设，由为中点可知，，将代入可得，即，正确；又，，，设，则有，即，解得，，故，正确.故选：CD．12.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的母线长为，高为，线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，则（）A.底面圆的周长为B.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形C.直线与圆锥底面所成角的正切值为D.沿圆锥的侧面由点到点的最短距离是〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设圆锥的底面半径为，则，圆锥的底面圆的周长为，A错误；对于B，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则其侧面展开图面积，又圆锥侧面展开图面积，，，B正确；对于C，取的中点，连接，分别为中点，，又底面圆，底面圆，直线与底面所成的角为，，，直线与底面所成角的正切值为，C正确；对于D，圆锥的侧面展开图如图所示，在中，，，，，沿圆锥的侧面由点到点的最短距离是，D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13.若复数，且为纯虚数，则__________，在复平面内对应的点位于第__________象限．〖答案〗二〖解析〗为纯虚数，，解得：；对应的点为，在复平面内对应的点为与第二象限.故〖答案〗为：二.14.已知向量，，且，的夹角为钝角，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗向量，，且，的夹角为钝角，且，不共线，则，解得：且.故〖答案〗为：.15.已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为__________．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，截面圆的半径为，球心到平面的距离为，，，，，，以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为.故〖答案〗为：.16.罗星塔位于福建省福州市马尾区南部闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔"之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高__________m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）〖答案〗〖解析〗由题意可知，由正弦定理可得，，所以，因为，所以罗星塔的塔高约为．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知是两个单位向量，且与的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1），，.（2），.18.（1）在复数范围内解方程；（2）若复数满足，，求．解：（1）由，可得，则，所以方程的解为或．（2）设，