湖南天壹联盟2024届高三11月质量检测数学试题（含答案）

(在此卷上答题尢双1

绝密★启用前

2024届高三11月质量检测试题

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡

皮擦干净后•再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合人={7七2|工2+3久＜4},_8={-1,2,5},则4118中元素的个数为

A.1B.4C.6D.7

2.已知i是虚数单位，则复数守的虚部是

1—1

11「3「3

AA.一歹BD.歹c-~~2D.q

3.设a./＞是空间两条不同直线，则，与6无公共点”是，与6是异面直线”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(z)=弊目的图象大致为

5,已知向盘a,力满足a•匕一/=2,且。=(一1,1),则向量b在向量a上的投影向量为

A.(-2,2)B,(2,2)C.(-1,1)D.(1,1)

6.如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km,峰底A到

峰顶S的距离为4km,B是山坡SA的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A

到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为

A.2kmB.3km

C.2^/5kmD.km

o

【高三数学试题第1页(共4页)】

7.已知函数/(z)满足/(1)=1,对任意实数my都有f(工)/。)一〃二一30=/(z+y)成立，

2023

则Sf(m)=

m=I

A.-2B.-1Cr2D.1

8.已知s>0,函数/(.r)=sinu)x与g(a?)=cosu)x的图象在[n,2冗]上最多有两个公共点，则s的取

值范围为

A.(O,"U仔用B,(0,1]u(1,f]

C-(°5T)U(I4)D-(°5T]U(I4)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若a,6GR,则下列命题正确的是

A.若a6/0且aV6,则工>[B.若a<6,则/

ab

C.若。>6>0,则„；<，D.若a|a|<6|6|,则a<6

10.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度工(单位：℃)满足函数关系尸产+〃(e=2.718…为

自然对数的底数次,6为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48

小时,则下列说法正确的是

参考数据：2.-72,2.76—387

A.6G(5,6)

B.若该食品储藏温度是21℃,则它的保鲜时间是16小时

C.为<0

D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

H.欧拉函数w(")SGN*)的函数值等于所有不超过正整数"，且与n互质的正整数的个数(公约数

只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：奴3)=23(4)=2,则

A.g(4)•w(6)=y(8)B.当n为奇数时，以〃)="—1

C.数列的(2")｝为等比数列D.数歹^的前〃项和小于方

12.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,P是正方体表面上一动点，且PA=APA1，记点P形

成的轨迹为则下列结论正确的是

A.VP,QGQ,PQ，AAiB.3P,QEr2,PQ//AA1

c.r1的长度是8D.n的长度是知+冬

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛a.｝的前w项和为S“,若劭=3,$=10,则as=

14.写出与圆(z—1)2+0—2)2=1和圆(z+l)z+(y+2)2=l都相切的一条直线的方程.

15.已知关于z的不等式log2Z<ax+2恰有一个整数解,则实数a的取值范围是

16.已知函数f(G=<则方程的解的个数是.

2(1—N)，

【高三数学试题第2页(共4页)】

20.(本小题满分12分)

在数列｛a”｝中，已知a„>0,ai=1,(n+l)a^+i+a„•an+1—nal=0.

(D求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛&｝满足6.=，求bi+d+仇+…+仇9的值;

(3)若数列｛c”｝满足c”=(-1)"+1,a„，求证：/Wei+Q+…+c“VI.

21.(本小题满分12分)

在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC=AB+CD.

⑴若AB=2CD,求tan苧的值；

(2)若AB=%CD/>0,求tanC的最小值及tanC取最小值时归的值.

22.(本小题满分12分)

已知函数f(^)=(归z+l)lnx-kx.

(1)若函数f(z)在(0,+8)上单调递增，求实数无的取值范围

(2)讨论函数/1)的零点个数.

【高三数学试题第4页(共4页)】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数/（7）=sin（2;r+G和g（7）=85（2了+9）+1（0＜中＜“）在7=^■处有相同的导数.

⑴求＜p\

（2）设乃是/（T）的极大值点,4是g（。的极小值点，求/（为一4）的值.

18.（本小题满分12分）

如图，在斜四棱柱ABCD-A出GD中，底面正方形ABCD的中心是。，且平面ABCD.

（D证明:平面平面ABiCiA；

（2）若该四棱柱的所有棱长均为1,求二面角A1-BC-A的余弦值.

19.（本小题满分12分）

为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司

2013年至2022年的年份代码z和年研发投入八单位:亿元）的散点图，其中年份代码1〜1。分

别对应年份2013~2022.

年研发投2（亿元）

85

80

75

70

65

012345678910年份代码x

图1

根据散点图，分别用模型①y=砒+a,②y=c+d〃作为年研发投入y（单位:亿元）关于年份代

码工的经验回归方程模型，并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表

所示的一些统计量的值:

10101010

S(X,—X)2S(打一工)2S(yi-y)(x—x)S(yi-y)(ti-i)

y1f

i=ii=lt=ii=l

752.2582.54.512028.35

__110

表中片后,7=讪

（D根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位:亿元）关于年份代码

①的经验回归方程模型？并说明理由；

（2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于z的经验回归方程；

（II）设该科技公司的年利润L（单位:亿元）和年研发投入》（单位:亿元）满足L=（llL225—y）G

（zGN*且7G口,20］）,问该科技公司哪一年的年利润最大？

附：对于一组数据（修，刈），…，（马，方），其经验回归直线3=3+%的斜率和截距的最

S（X;—.

小二乘估计分别为6=曰~；-----------,a^y-bx.

S{xi—x}2

i=l

【高三数学试题第3页（共4页）】

2024届高三11月质量检测-数学

参考答案、提示及评分细则

L【答案】c

【解析】因为A={无GZ|z2+3zV4}={zGZ|(z—1)(?+4)<0}={—3,—2,—1,0},B={-1,2,5},所以

AUB={-3,—2,—l,0,2,5},有6个元素，故选C.

2.【答案】A

【解析】m=?］_煞；,，))=?=1~一夕,所以复数三9的虚部为一］,故选A.

3.【答案】B

【解析】当a与〃无公共点时，。与。可能平行或异面，反之，.当a与b是异面宜线时,a与〃无公共点，故选B.

4.【答案】B

【解析】因为函数f(z)的定义域为{了|1r0},又/(无)=/(一丁)，函数”7)为偶函数.故选B.

5.【答案】A

【解析】由a=(1,1),得IaI=9.又a•6a?=2,所以a•b=4,所以向量b在向量a上的投影向量为彳/X

、=(-2,2),故选A.

I«I

6.【答案】D

【解析】以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.

则从点A到点B的最短路径为线段A'B,不N=27r,NA'SA=^=会

过S作SP_LA'B,则公路距山顶的最近距离为SP,义

因为A'B=/F干产=2褥，所以SP=空冶里=受=塔，故选D.

AA2755\

7.【答案】D

【解析】因为—(y)且八1)=1,

令，=1，得.〃Z+1)+/0—1)=/<2),则/0+2)+_/S)=/(2+1)，

所以f(1r+2)+"无1)=0,即/(z+3))=0,所以f0+3)=-f(.x),

所以〃H+6)=—“攵+3)=/(乙)，故函数/O)是周期为6的周期函数.

令#=1,，=0,得/(l)+f(l)=f(l)f(0),则"0)=2；

令了=10=1,得/(2)+_/(0)=〃1)/(1),则/(2)=-1.

由/(才+3)=—/(H),得f(3)=—，(。)=-2,/(4)=—/(1)=-1,/(5)=—/(2)=1,/(6)=—/(3)=2,

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

2023

又2023=6X337+1,故由函数的周期性知，X/(m)=/(1)+/(2)+/(3)H---F/(2022)+/(2023)=

m=l

/(2023)=/(1)=1,故选D.

8.【答案】C

【解析】设九(7)=/“)一g(无)=sin5一cos(DX=y/2sin(U)JC-•

因为〃(l)在［兀,2兀］上最多有两个零点，故27r—•金，所以0<3<3.

/(JD

由j'G［兀，2n］得tojc--j-E

兀3一手<0，0VTTG—

⑴由得;(2)由得］Vs&［；

7T4

27TCO——<C2TT2植一£<3n

4

17t<7ra>_2式,12冗〈/3—孑《3巩,

，曰9——21

⑶由1得了•<3<五；(4)由、fey<a><-g-;

127rg—4&"陪—孑V5兀

【高三数学试题参考答案第1页(共6页)】

3冗〈冗9-亳44式,

⑸由V得此时不等式组无实数解.

23寸V6"

综上可得a>€(°，午)U，故选‘。

9.【答案】BD

【解析】对选项A,取。=-1"=1,满足班W0且aV6,则工<[,错误;

ab

对选项B,因为函数y=*单调递增，当aV小时,a3V〃，正确；

对选项C,a>6>0,要使，即aZ»+a〈a〃+〃，即a<7),错误；

a十Ia

对选项D,因为函数》=%|了|=卜厂'；>)八单调递增，当a|a|，则aV6,正确.故选BD.

10.【答案】ACD

【解析】在函数、=卢+"中，当才=0时甘=192,由2.854172,2.7。心387知"G(5,6),故A正确;

当丁=14时，e…=48,所以”=需=+，则e"=},

当#=21时，eZ"+"=(e%)3-e"=(/『X192=24,故B不正确；

由e"=/,得^==-yln]<0,故C正确；

\亨

由y>96,得96&*•e〃=192/1)？,所以了<7,故D正确.故选ACD.

1L【答案】ACD

【解析】对于A,因为火(4)=2,火(6)=2呼(8)=4,所以<p(4)•q(6)=8(8),故A正确；

对于B,由于火9)=6*8,故B错误；

对于C,因为小于2"的所有正奇数与2”均互质，且小于2”的所有正奇数有2”1个，所以卬(2")=2"、因此数

列{中(2"))为等比数列，故C正确；

对于D,同理33”)=2X3"I所以9篝二昌==呆信广，令%=■厂

(P\«5/4/\OLJ\O/La\O/

故正确，故选

则Sn=ax+a2H=<5,DACD.

12.【答案】ACD

【解析】G是正方体ABCD-Ai3GA的棱AAi的中垂面与四个侧面的交线，它是一个

边长为2的正方形，它的周长是8,且VP,QGC，PQLAA「所以A,C正确；

r2在正方体两侧面AA]B|B、AA[D]D和上底面AiBCiA都是一段圆弧，它与其它三个

面无公共点.将正方体两侧面AA.B.B和AARD沿AAi展开为平面图，建立平面直角

坐标系如图，设动点P(z,»),因为PA=2PAl,

所以/十(y十2)2=4(f十式)，化简得合十卜一,1=*

故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以年为半径的圆弧，

2

因为cosNAQM=,=所以NAQM=*,所以NM0N=穹，

4乙00

3

所以在两侧面内p点轨迹长度为争x?=祟

在上底面48GD内，动点P轨迹为以儿为圆心的一段圆弧，如上图，由PA=2PA1,可知sin/PAAi=

上故NPAA=_|,又A4=2,所以PA=AA-tan/竽,即圆弧所在圆的半径为竽'所以圆弧的长为

年x2§=冬，所以动点P形成的轨迹的长度为萼十与，且n不存在这样的点P,Q,使PQ〃AA1,所以D

乙JJ<7O

【高三数学试题参考答案第2页(共6页)】

正确，B错误.故选ACD.

13.【答案】0

【解析】没数列｛6｝的公差为"，由已知有曲+4=3,4幻+64=10,所以心=4,"=-1,所以恁=0.

14.【答案】z=0或4y—31=0或2z—y土式=0(答案不唯一)

【解析】由题设知，圆(z—I)?+(y—2尸=1的圆心为半径为「1=1,圆(才+I)?+(y+2)2=1的圆心为

N(—1,一2),半径为厂2=1，所以1”,7|=，(2+2)2+(1+1)2=2^>n+rz=2,即两圆外离，故共有4条公

切线.又M,N关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与MN平行的两条公切线.设过原

点的公切线为了="，则与W=l=>3/-42=0,可得Z=0或4，所以公切线为z=0或4y—3才=0；设与MN平

Vl+r,

行的公切线为y=2z+6,且M,N与公切线距离都为1,则=1,即6=士区,所以公切线为2丁一y土赤=0.

15.【答案】(_2,_]一

【解析】设函数/(才)=1。82才，8(1)=。工+2,则g(z)过定点(0,2)，在同一个坐标系中作出两个函数的图象.

由题意得(；；；；；；：得一2〈。《一方,故所求实数a的取值范围是(-2,一｝].

16.【答案】4

,0&了《十，

2(1—23

【解析】依题意可得,/(/(N))=]

2(2x-1),

4(1-x)，,《力《1・

1119

当04NW靠时，由/(/(n))=]得7=0；当十<Z&春时，由/(/(Z))=/得7=告；

当卷VzV^■时，由/(/(丁))=2・得无=年；当个时，由f(f(工))=*得2=卷.

综上可得，方程/(/(]))=]有4个实数根.

17.【解析】(1)由题设知/'Cz)=2cos(2z+a),g'(/)=-2sin(2jr+w).

因为/'信)=g'信)，所以COS传+w)=—sin传+中),即tan信+4)=一1.

又0V少〈九,看〈~^~+少〈与，故+，得e=修・...............................................5分

OOOO，J.乙

⑵由题意得2%+患=2Mn+微,2电+:=24冗+兀,跖£2,品GZ.

于是为一久2=(舟―莅)死一孑,

所以/（为一R2）=sin（2标一.+瑞）=-sin需=_sin,'-"）=/痣，AGZ,

故“勺一处)的值是......................................................................10分

18.【解析】(1)连接AG交B\D\于Oi,连接CO】.

在平行四边形4ACG中，

由于O、a分别是AC、A|G的中点，

所以AQ〃0C

因为AQ,平面ABCD,平面AiBiGd〃平面ABCD,

所以。(_1平面4813。1.

AB

【高三数学试题参考答案第3页(共6页)】

.jA、八8、八二厂［“八7AB—tan—Itan—1

因r为lan—>0,tan歹>0,所以OVlan—,tan—22——,

乙乙乙乙2q

HnCl_,A5、3ic八

于是tan2=-7^7^=1—tan^ran^\z...........................................10分

tan（T+T）

以下同解法一.....................................................................................12分

22.【解析】（1）由题意可知f，（x）=klnx+—^0对a-E（0,+8）恒成立.

X

—1—1

当x=l时，显然成立；当工£（0,1）时注（十-；当ze（l,+8）时次二--.

jrlnxxlnx

令g（丁）=xlnn,则g/（x）=lnx+1,所以g（x）在（0,十）上单调递减，在佶，1）上单调递增，在（1,+8）上单

调递增，故当无一（0,1）时当zG（肘+8）时"》0.

综上，实数后的取值范围是［0,e］..............................................................5分

（2）法一：由（1）可知，当无=0时,/（z）=lnx有一个零点；

当OVA《e时,/（z）在（0,+8）卜.单调递增，当z趋于0时,/（z）趋于负无穷大，且/（e）=1,故/O）只有一

个零点.............................................................................................7分

当k>e时，/'（#）=Alnjr+—.令无（?）=Aln才+工，则hr（.x）=——.=1/,

xXXxx

.（工）在（0,「）上单调递减，在什,+8）上单调递增./佶）=Mlnj+l）<0.

当了趋于0时，因为川n了趋于0,所以/'（z）=­：