湖北省武汉市2024届高三二月调研考试数学试题

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试

数学试卷

本试题卷共6页，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=卜卜3—2x?+4x—8>0卜B=,则Ac5=（）.

A.[0,3）B.（1,3]C.（2,3）D.[1,3]

2.设复数z=l+i,w=3+2i,则zw的虚部是（）.

A.5iB.3C.3iD.5

3.己知随机变量J服从正态分布若P（4W〃+10）=0.7,则尸10）=（）.

A.0.913B.0.3C.0.35D.0.915

4.在1948年，信息论的奠基者香农（Shannon）在信息论中引入了熠的概念.在集合S中取值的随机变量X

的燧定义为"（x）=—=a）lnP（X=。）

a&S

随机变量的熔可看作确定这个随机变量的取值期望获得的信息量.新高考数学考试设置两种选择题：单选题和

多选题，每题均有四个选项.多选题的选项中不会没有正确答案、只有一个正确答案或全部都是正确答案.假

设一次数学考试的选择题题型与新高考一致，设置8道单选题和4道多选题，选择题部分总分为60分，选择

题每个答案正确的可能性是相等的.为了使答对的考生获得分数与其确定正确答案时获得的信息量尽量接近成

正比（设单选题和多选题分值分别为。和b,信息量分别为c和d，使㈣-1最小）.下列每道单选题和多选

be

题分别分值的安排中最好的是（）.

A.单选题每题3分，多选题每题9分.B.单选题每题3.5分，多选题每题8分.

C.单选题每题4分，多选题每题7分.D.单选题每题4.5分，多选题每题6分.

5.已知三阶等差数列｛〃〃｝前5项为：1,7,25,61,121,则q。一4一%+4+囚=（）•

A.912B.913C.914D.915

1

6.已知a,b,c为三角形三边，分别对应角A,角B,角C.现知C=120°且"一/=accosA,则tanA=

().

913

A.—B.-C.-D.1

1325

.2,2

7.已知椭圆「：土+匕=1,抛物线E:/=4X,过两者焦点的直线交椭圆于A,8两点，交抛物线于C,D

43'

3

两点，点P在椭圆上运动，若存在关系43二一CD,则三角形P3C的面积最大值为（）.

7

15(73+77)

A.12B.

7

C”20Mz+@+17(V7+l)

D

4-14

c=e,则a,b,c三者大小关系为（).

A.a>b>cB.oa>bC.b>c>aD.c>b>a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.数学家艾森斯坦（Eisenstein）在代数方面有着卓越贡献，艾氏判别法便是其重要发现之一.其定义如下：

设〃x）=4V+a〃Tx"T+L+/%+4是整系数多项式，如果存在一个质数p满足下列条件:

（l）p不整除%；（2）p整除其余的系数（4,q,L（3）p?不整除

那么，在有理数集内不可约（既约）.则下面说法正确的有（）.

A.对于任意的自然数〃，V-2在有理数集内不可约

B.+%3+%2+%+］在有理数集内可约

C./+3%3+3尤2-5在有理数集内可约

D.若我们将一类无论在实数集还是复数集均不能分解的多元多项式称为绝对不可约，则二次曲面

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0不退化为两条直线的充要条件为：4acf+bea-cd2-ae1-fb2-0

10.约翰•弗里德里希•高斯（Gauss）是德国著名数学家，因其在数学领域做出的非凡贡献而被誉为“数学

王子”，高斯函数便是由他创造的，其定义如下：对任意实数X,［可表示不超过X的最大整数，称［X］为尤的整

数部分，｛%｝为其对应的小数部分，即函数y=｛九｝,｛X｝=%—［W，则下面说法正确的有（）.

2

A.若丁=［可是不减函数，即若王＜々，则丁={弓是以1为周期的周期函数

B.{x}+{y}＜{x+y}

n〃+2〃+4n〃+3

C.对于任意正整数”，均存在:+++

3~~6~~~6~2~~6~

〃+1〃+2〃+4

D.对于任意正整数%均存在:+++L=n

48

11.著名数学家小葛（Gestqian）尤其喜欢9和13这两个数字，并因此将G（x）=9%+13%命名为G型函数,

且将可分解成形如G型函数的整数称为G型常数，则下面说法正确的是（）.

A.384G（20060912）+516G（20060913）=43G（20060915）

1_3x2+60x

B.In>ln2+----------------x>l）

x2+60%+600

C.在平面直角坐标系中，存在一点（9,13）将其与原点相连，并将整个平面充满与该直线等距离为a的平行线,

向平面随机投掷一根长为/（/＜。）的针，则此针与该直线平行的概率为三

Tia

D.G型常数中存在无数个完全平方数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.水叔、东三月、北田共、龙洋四人正在从欧拉、高斯、柯西三位伟大数学家中选择他们最喜欢的，每个人

仅能选择一位，则水叔和东三月都喜欢柯西的概率为.

13.已知数列%的各项均为正数，若a用＜2-工，则%的最小值为.

an

14.正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）水叔和妙崔角两人进行羽毛球比赛，其中谁先获得5分谁就获得胜利，双方轮换进行发球，每局

胜者得1分，输者不得分.根据实力对比，水叔每局获胜的概率为工.

3

（1）求水叔获得胜利的概率.

（2）由于水叔是个比赛性选手，且数学水平极高，当其发现自己获胜概率已经不足初始胜率的一半时，将爆

发里奥・柯西之力将其的每局胜率提升至设结束时水叔的分数为X,求X的分布列和期望.

16.（15分）如图，正方体的边长为2,其中M为AA的中点.

3

(1)求点M到平面C[BD的距离.

(2)若点P在平面AA.DD,上运动，是否存在点P使得平面PDXB与平面BCXD的二面角的余弦值为

若存在求满足的尸点坐标，反之说明理由.

22

17.(15分)已知椭圆方程r：L+2L=i中存在内接三角形Age.

43

(1)求△ABC面积的最大值.

(2)椭圆方程上另存在一点D两对角线ACcBZ”/且|40卜|。/|=忸叫­|。叫，证明：M的轨迹关

于x轴对称.

18.(17分)已知函数/'(xha+iy.

(1)当无之1时，证明：f{x}>Tx\.

(2)若方程/(x)=a存在根*,x2,证明：Xj+x2>0.

19.(17分)集合是高中数学一个基础板块儿，也是大学数学分析中一个基础但重要的分支.定义符号v的涵

义是：(命题Pv命题Q)表示(命题尸，。中至少有一个成立).

设{心：。£/}是一个以集合为元素的集合(有时称集合类或集合族)，a称为指标，/是由全体指标构成

的指标集，/可以有限，也可以无限，则这些集合之并定义为：

设X和Z是两个集合，则X和Z的笛卡尔积，记作XxZ,表示由X和Z中的元素组成的序对构成的集合，

XxZ={(%,z):xwX,zwZ}所谓(羽z)是序对，即我们约