2023-2024学年九年级上开学考试数学试卷（附答案解析）

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.A/^石的值是（）

A.±4B.-4

C.4D.以上答案都不对

2.下列各线段中，能构成直角三角形的是)

A.2,3,4B.3,4,6C.3,4,5D.4,5,6

3.下列计算中，结果错误的是（）

A.V2+V3=V5B.5A/3-2A/3=3V3C.V6+V2=V3D.(-V2)2=2

4.在下列函数中是正比例函数的是（)

A.y=3x-4B.y=-2x+lC.y=3xD.y=4

5.直线y=-5x向上平移2个单位长度,得到的直线的解析式为(

A.y=5x+2B.y=-5x+2C.y=5x-2D.y=-5x-2

6.直线y=2x+l不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.在下面的一组数据：2,3,2,2,2,5,4中众数是（)

A.5B.4C.3D.2

8.下列性质中，矩形具有而一般的平行四边形不具有的是（)

A.对边相等B.对角相等

C.对角线相等D.对边平行

9.下列各点中在函数y=4x的图象上的点是（

A.(1,2)B.(1,3)C.(1,4)D.(L5)

10.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（必）与其运费y（元）由如图所示的

一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）

A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg

二、填空题(每小题3分，共30分)

11.在函数y=62-%中,自变量x的取值范围是.

12.函数＞=/-1+2是一次函数，则常数上的值为.

13.在平面直角坐标系中，点Af(5,-12)到原点的距离是.

14.已知x,y为实数，且y=-9一，9一%+4,则代+后=.

15.若点A(2,yi),3(-l,y2)都在直线＞=-3x+4上，则yi与丁2的大小关系是

16.已知y与x+1成正比例，当％=1时，y=4,则当x=2时，y的值是.

17.如图，已知△ABC为等边三角形，点E在朋的延长线上，EFLBC^F,交AC于£),

1

作FHLAB于点H,AE=泳F=2,贝!]FH=

18.已知菱形的两条对角线长分别是5和6,则这个菱形的面积为

19.在△A8C中，ZA=45°,AB=4让,BC=V17,贝UAC=.

20.如图，在等腰RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为△ABC外一点，连接AD、

CD,ZADC=90°,Cr»=2AD=l,连接B。，则

三、解答题(共60分，21、22题每小题7分；23、24题每小题7分，25、26、27题每小

题7分)

工+11+汽2

21.。分)先化简'再求值：-其中龙=/+1.

22.（7分）如图，图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方

形的边长均为1.

图1图2

（1）如图1,当点E为A8的中点时，请在上找到一点尸（点尸在小正方形的顶点

上且不同于点尸），连接EP,CP,使得为RtZk,且/EPC=90°；

（2）请在图2中以EG为一边画矩形EGMQ（非正方形），使点M、Q均在小正方形的

顶点上并直接写出矩形EGMQ的面积.

23.（8分）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方

向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点8处，突然收到渔船的求

救信号，此时观测到渔船C位于点B的北偏东15°方向上.

（1）求NACB的度数；

（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时40/海里的速度赶往C处救援，那么

轮船需多少小时赶到C处？

C

北//

久

24.（8分）在菱形ABC。中，点。是对角线的交点，£点是边C。的中点，点厂在2c延

长线上，且CF=2BC.

（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；

（2）连接。尸，如果。fUCR请你写出图中所有的等边三角形.

25.（10分）我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展，明年

春季，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青

椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，

青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿无公顷，总利润为y万元.

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式；

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方

案？请写出具体的方案.

26.(10分)在正方形ABC。中，点E在AB边上，点尸在线段CE上，NDFC=/CEB.

(1)如图1,求证：DF=CD；

(2)如图2,连接4F求/AFE的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长AF,交8C边于点G,若AF=FG,AE=1,求

AG的长.

27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与无轴、y轴分别交于点A、B,

直线与x轴负半轴交于点C,且CO=2AO.

（1）求线段AC的长；

（2）动点P从点C出发沿射线C4以每秒1个单位的速度运动，连接BP,设点P的运

动时间为秒），△2尸。的面积为S,求S与f的函数关系式，并直接写出自变量f的取

值范围；

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点D连接。P,使得△8。尸是以8尸为

直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出r的值，若不存在，请说明理由.

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.代的值是（）

A.±4B.-4

C.4D.以上答案都不对

解：V16=4.

故选：C.

2.下列各线段中，能构成直角三角形的是()

A.2,3,4B.3,4,6C.3,4,5D.4,5,6

解：V22+32^42,

AA不能构成直角三角形，

V32+42^62,

不能构成直角三角形，

V32+42=52,

•••C能构成直角三角形，

V42+52^62,

不能构成直角三角形，

故选：C.

3.下列计算中，结果错误的是（）

A.V2+V3=V5B.5V3-2V3=3V3C.V6V2=V3D.(-V2)2=2

解：A、企与百不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；

B、5V3-2V3=3V3,故B不符合题意；

C、V6^V2=V3,故C不符合题意；

D、（-V2）2=2,故。不符合题意；

故选：A.

4.在下列函数中是正比例函数的是（）

A.y=3x-4B.y=-2x+lC.y=3xD.y=4

解：A.y=3x-4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意;

B.y=-2x+l为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意;

C.y=3x是正比例函数，所以C选项符合题意；

D.y=4为常函数，所以。选项不符合题意；

故选：C.

5.直线y=-5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为（）

A.y=5x+2B.y=-5尤+2C.y—5x-2D.y--5x-2

解:将直线y=-5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为：y=-5x+2.

故选：B.

6.直线y=2x+l不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：：y=2x-l,k=2>0,b=l,

该函数经过第一、三、二象限，不经过第四象限，

故选：D.

7.在下面的一组数据：2,3,2,2,2,5,4中众数是（）

A.5B.4C.3D.2

解：这组数据的众数为2,

故选：D.

8.下列性质中，矩形具有而一般的平行四边形不具有的是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线相等D.对边平行

解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等.

故选：C.

9.下列各点中在函数y=4x的图象上的点是（）

A.(1,2)B.(1,3)C.(1,4)D.(1,5)

解：当x=l时，y=4X1=4,4W2,

.•.点（1,4）在函数y=4.r的图象上.

故选：C.

10.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量尤（依）与其运费y（元）由如图所示的

一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）

A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg

解：设y与x的函数关系式为了=履+6,

小日而上箭全口f30k+b=300

由足思可知+b=900'

=30

=一600'

所以函数关系式为y=30x-600,

当y=0时，即30x-600=0,所以尤=20.

故选：A.

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.在函数y=我二不中，自变量x的取值范围是xW2.

解：由题意，得

2-尤N0,解得xW2,

故答案为：xW2.

12.函数y=/i+2是一次函数，则常数上的值为，

解：•..函数1+2是一次函数,

*.k-1=1,

:.k=2,

故答案为：2.

13.在平面直角坐标系中，点m（5,-12）到原点的距离是」1

解：由勾股定理得，点M（5,-12）至！I原点的距离为152+122=13,

故答案为：13.

14.已知x,y为实数，且y=〃一9一-9一x+4,则«+5

%—9>0

解：依题意得:

9-%>0?

解得x=9,

所以y=4

故«+4y=3+2=5.

故答案为：5.

15.若点A(2,yi),8(-1,”)都在直线y=-3x+4上，则yi与”的大小关系是

<V2.

角军：*：k=-3<0,

・・・y随］的增大而减小，

又・・,点A(2,yi),B(-1,”)都在直线>=-3x+4±,且2>-1,

.\yi<y2.

故答案为：yi<y2.

16.已知y与x+1成正比例，当％=1时，y=4,则当％=2时，y的值是6.

解:设y=Z(x+1)(ZWO),

把％=1,y=4代入，得kX(1+1)=4.

解得k=2.

所以当x=2时，y=2(2+1)=6.

故答案为：6.

17.如图，已知△ABC为等边三角形，点£在84的延长线上，于凡交AC于。，

作FHLAB于点H,AE=^CF=2,则FH=3百.

L----

解：:△ABC为等边三角形，

AZC=ZB=ZCAB=60°,

VEF±BC,

：.ZDFC=90°,

VCF=4,

；.CD=2CF=8,ZCDF=30°,

；・NADE=30°,

・・・/E=/CAB-ZADE=30°,

.•.EA=A£>=2,

：.AC=10,

：.BF=6,

:.BH=3,

：.FH=y/BF2-BH2=3V3,

故答案为：35/3.

18.已知菱形的两条对角线长分别是5和6,则这个菱形的面积为15.

解：•••菱形的两条对角线长分别是5和6,

这个菱形的面积为5X6+2=15.

故答案为：15.

19.在△ABC中，NA=45°,AB=4让,BC=V17,则AC=5或3

解：过8作B”_LAC于”，

/.AABH是等腰直角三角形，

AD

:.AH=BH=黄=4,

在RtZXBHC中，

CH=y/BC2-BH2=J(V17)2-42=1,

.*.AC=AH+CH=4+1=5；

②当“在边AC延长线上时，如图：

H

C

同理可得A//=BH=4,CH=1,

：.AC=AH-CH=3；

综上所述，AC的长为5或3；

故答案为：5或3.

20.如图，在等腰RtZXABC中，ZACB=90°,AC^BC,点。为△ABC外一点，连接AD、

V13

CD,ZADC^90°,CD=2AD=1,连接BD,则——.

-2-

解：延长AO交BC的延长线于E,过点。作。尸，CE于点F,

：.AC='AD2+CD2二字

设DE=a,

・次+12_+1)2渣)2

解得a=2,

：.DE=2,

：.CE=yjDE2+DC2=V5,

•：S〉DEC=迦.DC=*CE•DF,

.DE-DC2x1275

：.CF=<DC2-DF2=浮

：.BF=BC+CF=^V5,

：.BD=y/DF2+BF2=孚.

故答案为：---.

2

三、解答题（共60分，21、22题每小题7分；23、24题每小题7分，25、26、27题每小

题7分）

久+11+汽2

21.（7分）先化简，再求值：---+（%---------）,其中％=V2+1.

x2x

存刀店tx+12X2-1-X2

解：原式==+—五一

_%+12%

-x（x+l）（x—1）

2

-1,

厂2

当x=遮+1时，原式=亏~~-=--=V2.

22.（7分）如图，图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方

形的边长均为1.

图1图2

（1）如图1,当点E为AB的中点时，请在AD上找到一点尸（点尸在小正方形的顶点

上且不同于点/），连接EP,CP,使得AEPC为RtA,且NEPC=90°；

（2）请在图2中以EG为一边画矩形EGM。（非正方形），使点M、。均在小正方形的

顶点上并直接写出矩形EGMQ的面积.

解：（1）如图1,△EPC即为所求；

（2）如图2,矩形EGMQ即为所求；

矩形EGMQ面积=EG・EQ=V5XV20=10.

23.（8分）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方

向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点8处，突然收到渔船的求

救信号，此时观测到渔船C位于点8的北偏东15°方向上.

（1）求NACB的度数；

（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时40近海里的速度赶往C处救援，那么

轮船需多少小时赶到C处？

解：（1）VZr>AC=45°,ZDAB=9Q°,

：.ZCAB=45°,

•；/EBC=15°,90°,

AZABC=105°,

AZACB=180°-ZABC-ZCAB=180°-105°-45°=30°；

（2）过2作BF_LAC于E

；.NFAB=NFBA=45°,

：.AF^BF,

VAB=35X2=70（海里），AB2=AF2+BF2,

：.AF=BF=35V2（海里），

VZACB=30°,

：.BC=2BF=70V2（海里），

V70V24-40V2=^,

7

轮船需一小时赶到C处.

4

c

24.(8分)在菱形ABC。中，点。是对角线的交点，E点是边的中点，点F在BC延

长线上，且Cr=aBC.

(1)求证：四边形OCEE是平行四边形；

(2)连接。尸，如果。fUCR请你写出图中所有的等边三角形.

(1)证明：•••四边形ABC。是菱形,

:.BO=DO,

点是边C。的中点，

是△BOC的中位线，

1

・•・OE//BC^OE=^BC,

1

CF=^BC,

：.OE=CF,

丁OE//CF,

・•・四边形OCFE是平行四边形；

(2)解：VDFXCF,E点是边CQ的中点,

1

：.EF=^CD,

1

•；CE=WCD,

11

CF=^BC=芳0，

.♦.△EC「为等边三角形；

：四边形OCFE是平行四边形，

?.OC=EF=CE=CF=OE,

.♦.△OCE为等边三角形；

,/△EC「为等边三角形，

：.ZECF^60°,

ZABC=60°,

•..四边形ABC。是菱形，

/.△ABC为等边三角形；

同理得△AOC为等边三角形；

.•.图中的等边三角形有：△OCE,AECF,AABC,AADC

25.（10分）我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展，明年

春季，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青

椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，

青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿尤公顷，总利润为y万元.

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式；

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方

案？请写出具体的方案.

解：（1）由题意y=x+1.5X2x+2（100-3x）=-2x+200,

所以总利润y（万元）与种植西红柿的面积尤（公顷）之间的关系式为y=x+L5X2x+2（100

-3尤）=-2x+200.

（2）由题意-2x+2002180,

解得x《10,

「尤》8,

.•.8WxW10.

；尤为整数,

/.x=8,9,10.

，有3种种植方案，

方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷.

方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷.

方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷.

26.（10分）在正方形ABC。中，点E在48边上，点尸在线段CE上，ZDFC=ZCEB.

(1)如图1,求证：DF=CD；

(2)如图2,连接AF,求/AFE的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长AR交8C边于点G,若AP=FG,AE=1,求

AG的长.

(1)证明：•••四边形A8CO是正方形，

/.ZABC=ZBCD=90°,

；.NCEB+/BCE=90°,NBCE+/DCF=9Q°,

:./CEB=NDCF,

'：ZDFC=ZCEB,

：./DFC=ZDCF,

:.DF=CD；

(2)解：：四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZA£)C=90°,

由(1)得DF=CD,

：.AD=DF=CD,

：.NDAF=ZDFA,NDFC=ZDCF,

在四边形AOCV中，ZDAF+ZAFC+ZDCF=360°-ZADC=360°-90°=270°,

ZDAF+ZDFA+ZDFC+/DCF=ZJ0°,

2ZDFA+2ZDFC=2ZAFC=270°,

AZAFC=135°,

AZAFE=180°-ZAFC=180°-135°=45°；

(3)解：如图3,延长CE交D4延长线于点H,过G作GKLCT于点K,

则NCKG=N/KG=90°，

图3

•・•四边形A5CD是正方形，

ZADC=ZBAD=90°,AD//BC,

：.ZH=ZFCG,/HAF=/CGF,

*：AF=FGf

：.AAFH^AGFC(AAS),

：.AH=CG,FH=CF,

VZAZ)C=90°,

：.DF=CF,

由(1)得：DF=CD,

：.DF=CF=CD,

：.是等边三角形，

：.ZDCH=60°,

：.ZH=ZHCG=90°-60°=30°,

ZHAE=180°-90°=90