圆锥曲线高频压轴解答题（16大题型）练习（解析版）-2024年高考数学二轮复习（新教材新高考）

圆锥曲线高频压轴解答题

目录

题整01轨迹方程........................................................................

02向量搭桥进行翻译................................................................6

03弦长、面积背景的条件翻译........................................................10

04斜率之和差商积问题..............................................................16

05弦长、面积范围与最值问题........................................................19

题鳖06定值问题.......................................................................25

题型07定点问题.......................................................................29

08三点共线问题...................................................................33

09中点弦与对称问题...............................................................37

题T10四点共圆问题...................................................................40

题鳖11切线问题.......................................................................45

题整12定比点差法......................................................................50

题整13齐次化.........................................................................53

跳？14极点极线问题...................................................................55

题型15同构问题

题母16蝴蝶问题.......................................................................64

W01轨迹方程

1.(2024•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习)已知双曲线=l(a>0,6>0)的一条浙近线方程为了=%

且点网跖行)在双曲线上.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)设双曲线左右顶点分别为43,在直线x=l上取一点尸(1,7)。片0),直线"交双曲线右支于点C,直线

AP交双曲线左支于点D,直线4D和直线3c的交点为。，求证：点。在定直线上.

【解析】(1)因为渐近线方程为了=》，所以“=人设双曲线为，-必=力,

代入网跖⑹得力=4,双曲线的标准力程为V=4；

(2)法一、

设直线NP:x=，3-2,联立双曲线x=-t/v-2得：(9■一1\/,一1一2尸0,

t卜f=4”7t

nt3-18+2/口2人

••yc-T——Vz-^-2=ztJitw9;

c9-t1ctc9-t2

1-

]x=—v+2

设直线BP：x=—》+2,联立双曲线t得:

'——y2=4

4/_1__2—2t21

yD~\~~+02=-~~^―，R且‘2wi；

i.—IILl—L

Atnt

所以"工二-上U斤:北9":3

-BC2

-4^-t~xc-?.~4Z~t

\-t29"

i3

则/1):>=-；(x+2),BC:y=7(x-2)

l八

%=-；(z%+2)

x—21

设。（%，%），则3,两式相除消,得n小=万，%=1

-2

%=-(^0)

、i

所以。在直线X=1上;

法二、

设直线AD:y=上」（尤+2）=上一•位TR+2）=见匚4+2）,

X。+2xD+1yDyD

直线火:冲上^一州上^口卜,州乜三&-），

%-2%-2%yc

yn

由于腐尸=左即，即----%=T，

XD~Z

由于心P=Kc，即告5=；，

13

贝lJ/Q:y=_7（x+2）U=7（x_2）.

lz-

%=_*o+2)

x—21

设。（％，为），则3,两式相除消，得工n^=-w，x。=1

%+23

%=；(工0-2)

所以。在直线X=1上;

r2v21

2.（2024•重庆•统考模拟预测）已知椭圆C：1r+%=1（。>6>0）的长轴长是短轴长的2倍，直线了=万无

被椭圆截得的弦长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N,P,。为椭圆。上的动点，且四边形ACVP。为菱形，原点。在直线"N上的垂足为点X,求H

的轨迹方程.

J/

【解析】（1）由题意可得。=26,则椭圆C：=1,

4b2b2

-।y=[x=41bX=-42b

联立，4/J

解得以或,血小

y=---bk一3人

I2

Oon

所以弦长，8〃+2/=4,解得所以/=二,

xy_

+=

所以椭圆C的方程为32T,即5/+20/=32；

55

(2)因为四边形"VP。为菱形，所以MRNQ垂直且平分,

设”(西,弘)，尸(%,%),

则5x；+20y；=32,5x；+20jf=32,

两式相减得5（X；-X；）+20（,-货）=0,

即（网_%）（%+%）+4（必+%）=0,

设菱形的中心为(X。/。),

若直线〃尸,NQ的斜率都存在，设直线〃尸,NQ的斜率分别为3发2，

由（X]-X2）（X]+9）+4（乂-%）（%+%）=0,得（为+%）+4、[：（%+%）=0,

所以2%+8为匕=0,即％+4为勺=0,

同理％+4%左2=0,

所以％A=%融，

由"2=-1得%=0,所以%=0,即菱形的中心为原点,

则直线"尸的方程为y=ktx,直线NQ的方程为y=k2x,

\y=kx

联立小+}2犷=32,解得再2=E32,

所以QM?=其+y；=(1+到片，

「巾，32（1+怎）

同理ON,『2=」--V

I15+20代

因为=^\OH\7|OA/|2+|O<=^\OM\\ON\,

1\OM?+\ON^11

所以-----=---------—=------1-----------

\OM^|CW「

_5+202：5+20抬2+81；1+5-：+5代

32（1+人;）32（1+后）321+左：+优'+Q优'

52+8+5（后;+"）55（2+肝+盾）25

―32,-1+^2+^+1322+肾+后-32'

所以点"在圆一+产=||上；

若直线〃尸,NQ中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点,

M,N,尸,。四点分别为椭圆的顶点，不妨设河为右顶点，N为上顶点，

贝"0“『=|,|。秆=|,

「Bi,1\OM^+\ON^1125

同理可得-----=----!------=------1-----------=——

|O<\OM^\ON^\OM^|ON『32'

点/任在圆V+4=11上,

综上所述，X的轨迹方程为彳2+必=兰.

3.（2024•福建莆田•统考一模）曲线C上任意一点P到点尸（2,0）的距离与它到直线x=4的距离之比等于变,

2

过点M（4,0）且与x轴不重合的直线/与C交于不同的两点43.

（1）求C的方程;

（2）求证：△NB尸内切圆的圆心在定直线上.

【解析】（1）设尸（x/）,由题意：叱2）一+/

1^-4|

2222

化简得：二+二=1,即C的方程为：—+=1.

8484

22

⑵设直线/：x=7肛+4,A(xI,y1),B(x2,y2),将/代入C得：(m+2)j+8my+8=0,

A=64m2—32（加2+2）>0=>m2>2

8m

一

M+%=m2+2

8

m2+2

%必

设直线AF与BF的斜率分别为匕,k2,则kl+k2=±।

myt+2my2+2

2m8।2（8冽］

=2町%+2（弘+%）=mm?+21加2+2J二0.

（叼i+2）（冲2+2）（叼1+2）（叼2+2）

k1=-k2,则ZBFM=7T-ZAFM,：.直线x=2平分ZAFB,而三角形内心在NAFB的角平分线上,:.AABF

内切圆的圆心在定直线x=2上.

而昨2P；2q=p+q,所以J?=2(X—2)(XH2).

同理，当X]=0时，y1=2x(x0),

当尸。与x轴垂直时，R与。(2,0)重合.符合丁=2(尤-2).

综上，线段P。的中点的轨迹方程/=2(x-2)或V=2x(xw0).

■k题瞿02向量搭桥进行翻译

222

4.(2024•陕西咸阳•校考模拟预测)已知椭圆C:=+3=1("6>0)的离心率是双曲线上-/1的离心

ab3

率的倒数，椭圆C的左、右焦点分别为£,耳，上顶点为P,且西-A月=-2.

(1)求椭圆。的方程;

(2)当过点0(0,2)的动直线/与椭圆。相交于两个不同点43时，设而=2前，求2的取值范围.

【解析】(1)设点织玛的坐标分别为(-。,0),卜,0),

又点P的坐标为（0/）,且两•庵=（—c,—b）・（c,—b）=-c2+〃=一2,

c2-b2=2

所以，解得。=2,6=1,

a2

a2-b2=c2

所以椭圆C的方程为二+/=1.

4

（2）设”（石,必）,5（%2，%），则依据而=4诙得（一再,2-必）=4（%2，%-2）,

整理得西=一丸、2,必=2-丸（%一2）,

得上当3+（—%）（弘+…口，

即（必-4y2）（2+2/l）=1-A2,

当4=-1时，此时而=-函=皿，即45重合，显然不成立，所以；lw-1,

所以（必一办2）（2+22）=］_2,即外一2%=.,

1+22

乂“+办2=2（1+为,得

又必故丸£-3,--,且Xw—1,

故实数2的取值范围为［-3,-1）口［-1,-!.

22/T

5.（2024•上海奉贤•统考一模）已知椭圆1r+}=1（。>6>0）的焦距为2g，离心率为三，椭圆的左右

焦点分别为片、F2,直角坐标原点记为O.设点P（0,。，过点尸作倾斜角为锐角的直线/与椭圆交于不同的

两点2、C.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上有一动点T,求行•（函-词）的取值范围；

（3）设线段3C的中点为M,当此逝时，判别椭圆上是否存在点。，使得非零向量的与向量而平行，请

说明理由.

【解析】（1）由题意，得,=百，a=2,所以6=，口一。2=1，

丫2

则椭圆的标准方程为『了』;

（2）设动点7（x,y）,FXF2=（2A/3,0）,PT=（x,y-t）,

TF2）=-PT-J\F2=-2氐,

vxe[-2,2],所以百国-西）的取值范围为[-4省,46]；

（3）显然直线的斜率存在，故可设直线/号=履+£,5（再,必）、C（x2,^2）,

y=kx+t

联立工22,消去歹得（1+4左2）+8左/x+4〃—4=0,

彳+y=

△=一16产+64r+16>0，即/>——①,

4

8kt_4r-4

贝!JXj+x=—

21+4〃'”押2一]+4左2，

4kt必+>2—左（再+%2）+2,_4k2t

+t=--------

21+4/'221+4-1+4左2

4ktt]

X

则M=\-1+4左2'1+4后21'

故

1

若OMIIP。,则有女尸0=自四

4k

设直线尸0为产」x+f,

4k

1

y-----+£（

--x7/

2张,消去了有

联立1+x2----x+4/2—4=0,

X21Vk

一+V=1A

[4'

要使得存在点。，则4=兴

>0,

4

整理得16H--—20,

故标②，

At-4

t2-ii

由①②式得，—<A:2<^—■

44户一4

产一

则1二1解得-&"<逝,

44r-4

所以当fN后时，不存在点。，使得两//而.

6.（2024•云南昆明•高三统考期末）已知动点尸到定点尸（0,4）的距离和它到直线＞=1距离之比为2；

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）直线/在x轴上方与x轴平行，交曲线C于4,8两点，直线/交y轴于点D设OD的中点为是否存

在定直线/,使得经过M的直线与C交于尸，Q,与线段交于点N,PM=APN^丽=4区均成立；若

存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）设P（x,y）,由动点P到定点F（0,4）的距离和它到直线＞=1距离之比为2,

可得，x；（y：4）=2,化简得3/_X2=12,即广一｛=1,

|y-i|412

22

故点P的轨迹C的方程为匕-二=1；

412

（2）设/的方程为歹=2加（加＞1）,则。（0,2加），故〃（0,加），

由已知直线P0斜率存在，设直线尸。的方程为^=辰+加（丘0）,故

与双曲线方程联立得：（3左2-1b2+6筋vx+3加2-12=0,

由^一t=1对应渐近线方程为：了=±且x，易判断诙2＞1,

412,3

A＞0得A=12（12r+1-4）＞0,设尸（士,/），2（x2,y2）,

-6km3m2-12

XX

则占+%2=3左2_］，12=①,

3k2-1

由同7=2而，丽=/丽得:

uuurUUUT

PM=（一再,m—yj,PN=；~一玉，2冽一乂），

uuiruuir(mA

MQ=(x2,y2-m),QN=\--x2,12m-y2I,

即X]=26X2,

消去2得：x2^xl-^=xi^-x2^,

即2X/2---(芭+%2)=。(2)

k

由①②得：6(犷-4)+'6km=0，化简得加一2=0,由已知加=血,

3F-1k3F-1

故存在定直线/：y=20满足条件.

■L题型03弦长、面积背景的条件翻译

7.（2024•陕西榆林•统考一模）已知椭圆C:]+/=ig>b>0）经过/（0,1）,喂-3两点.

（1）求C的方程；

（2）斜率不为0的直线/与椭圆。交于M,N两点，且点/不在/上，AMLAN,过点P作V轴的垂线，交直

线x=7于点S,与椭圆C的另一个交点为7,记ASMN的面积为H，△KW的面积为邑，求要.

【解析】（1）将用0,1）,尸代入椭圆方程中，

b2=l

<64।9_J

25d25b2~

解得后

则椭圆C的方程为片+/=1；

4

（2）当直线轴时，为钝角三角形，且/M4N<90。，不满足题意.

设M（XI，M）,N（X2，%）,由/Af_L/N,可得痂.左=0，

所以AM・NN=（X1,弘-1）•（尤2,%T）=七七+（必T）也T）=°，

所以直线/的斜率存在，设直线/的方程为尸=履+加，

因为点N不在/上，所以mwl,

由「2：；：初4化简得（1+4/江+8加u+4加2_4=。,

A>0=64Hm2-4（1+4/c2）（4m2-4）>0=>m2<1+4廿

-Skm4m2-4

网+工广由广/二^^，

所以AM•AN=再为十F西为+苗加-1）（%+凡）4（加-1）2

（1+左之）（4加之一4）8左2加（冽一1）（m-1）2（1+4左之）

---------------------------------------------------------1-------------------------------二0,

1+4/1+4左21+4/

则（1+r）（4〃/一4）一8左2机（小一1）+卜72-1）2（1+4产）=0,

3

整理得（％-1）（5机+3）=0,因为〃件1,所以机=一丁

所以直线/的方程为>=息-|,恒过点0（0,-|）

由题意和对称性可知

设点s到直线I的距离为4，点7到直线I的距离为d2,

E《=SQ0-（-1）=5

4飞

$2^\MN\-d2

22

8.（2024•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆£：・+a=1,>6>0）的左、

右焦点为片，F2,若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点1,彳在E上.

⑴求椭圆E的方程；

（2）在（1）的条件下，若点A,B在E上，且电•如=-；（。为坐标原点），分别延长NO,BO交E于C,D

两点，则四边形/8CD的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.

【解析】（1）因为E上任意一点到两焦点的距离之和为4,

所以2a=4,即a=2.

又因为点E上,

13

所以彳+赤=1,则/=1,

故椭圆E的方程为三+/=1.

4-

（2）四边形/BCD的面积为定值，理由如下：

当直线斜率为0时，因为电♦%=-；,

不妨设上”=；，则晒==，

则/亚当，B（-42,^\,

<）\）

此时四边形的面积为2亚x变x2=4为定值;

2

当直线48斜率不为0时,设如：x=sy+M,且/（再,%）,双和外）.

x=my+n

12

联立X22।,得(m+4)歹2+2mny+n-4=0.

一+y=1

[4

由』=4疗/—4"+4)(/—4)>0,得加2_/+4>O,

2mnM2-4

则%+%=

m2+4

mn

贝ljxrx2=[my1+n)[my2+n)=疗%％+(必+%)+/

n2-4(2mn)47?2-4m2

=m2x------Fmnx-----+〃2=-------

m+4Im+4Jm+4

因为尢％,后05=-；，

所以■二T即黑7^7=j即/=2〃2-4,

京_16---r4n-n+4

则|/a=，1+加2.+m------------

m2+4m+4

\n\

又原点O至！J3的距禺d=/彳

71+m

J加2―"+4

所以四边形/BCD的面积S=4S，加=4x\x网.441+苏

2y/1+mm2+4

J2n2-4—»2+4

=8

同-2/-4+4-

综上，所以四边形/BCD的面积为定值4.

丫2

9.（2024•上海•高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H：5一/=1的左、右焦点为耳，F2,左、

右顶点为4，4,椭圆E以4，4为焦点，以片耳为长轴.

（1）求椭圆E的离心率；

⑵设椭圆E交y轴于四，B2,过耳的直线/交双曲线X的左、右两支于C,。两点，求△与CD面积的最

小值；

⑶设点”（加,"）满足病＜4〃2.过”且与双曲线〃的渐近线平行的两直线分别交〃于点P,Q.过”且与

P。平行的直线交〃的渐近线于点S,T.证明：而为定值，并求出此定值.

22

【解析】（1）设椭圆方程5+a=1,焦距为2%,

axb[

由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为片卜0,0）,乙（退,。），4（-2,0），4（2,0）,

所以q=V5,C]=2,6]=1,

从而椭圆E的离心率为q=2=M=竽.

(2)如图所示:

由题意4(1,0),与(-1,0),忸也|=2,直线CO斜率存在,

所以不妨设直线c。的方程为了=息+1，c(x1,j1),n(x2,>>2),

又双曲线J-必=1渐近线斜率的绝对值为周=g,

且过耳的直线/交双曲线8的左、右两支于c,。两点,

所以直线co的斜率满足(左<1，

22

22=1

将直线CD与双曲线方程土-/=1联立丁〉-,消去了得(1一4左212-8辰-8=0,

4y=kx+l

而A=(-8左y+32(1-4町=32(1-2后)>0,

的"1_8左+68"石_而_4.2(1-2k)

上司—2(1—止)2(1-4巧一卜-例一"4N，

从而△与CD的面积为=S«%qc+S如Q=；用禺|卜「工2卜丁'"《

111—/

因为一；<左<彳，令f=1—4左2,所以左~=—^-,0</W1,

224

当且仅当"=1,即，=1/=0时，[/(^)]min=/(O)=4>/2.

综上所述：△与⑺面积的最小值

(3)如图所示：

由题意双曲线上-「=1的渐近线方程为上一2=0即x±2y=o,

4'4-

\MS\

当加=0时，由对称性得尸，。关于了轴对称，S,T关于y轴对称，所以M为S,7的中点，故雷=L

\MS\

下面证明当机HO时，局=1即证可为丛T的中点.

因为点"满足/<4«2，则加-2"0,加+2”20,"0,

不妨设加〉0,〃〉0,当％=加时，y=—m<n此时点”（也〃）在直线y=的左上方，同理可证，点M（私〃

在两渐近线y=±1x所夹区域的上方或下方，不妨设点”（，〃,"）在上方区域.

由题意3°=彳/j

设直线MP的方程为y-»=|（x-m）,直线MQ的方程为y-n=-^x-m）,

%2-

丁了"即卜-2y)(x+2y)=4~,x+2y=--------

所以彳m-2n,

1/、\x-2y=m-2n

y—n=vx-2y=m-2n

2xp=---------\-m-2n

所以P(Xp,4)满足

4yp=---------m+2n

、m-2n

c4c

2xn=----------\-m+2n

同理。卜0,%）满足Vm+2n

4y=----------Fm+2n

0m+2n

所以直线尸。的斜率:

44_8m

yp-yQ_!.4力_4%-£m-2n加+2〃-加=加―“2-”=m

4

xP-xQ22xP-2XQ2J勘2⑹？，.4〃

m-2nm+2nm2-4n2

设直线防方程为一可（…）,

m

y-n=——[x-m

J77/

得—〃=KP2nx—4n2=mx—m2,

y=­x

2

得T的横坐标芍=电..-=2n+m,同理/=加-2〃，

'2n-m

所以芍+/-2m,

\MS\

所以M为S,T的中点，故身为定值1.

MS

综上:为定值1.

MT

■k题型04斜率之和差商积问题

10.(2024•贵州铜仁•校联考模拟预测)在平面直角坐标系中，已知过动点〃(xj)作x轴垂线，分别与y=l

和>=-4交于尸，。点，且4(-2,0),4(2,0),若实数4使得万历.丽=西.班成立(其中O为坐标

原点).

⑴求M点的轨迹方程，并求出当Z为何值时M点的轨迹为椭圆；

(2)当人=4时，经过点8(4,0)的直线/与轨迹”交于了轴右侧。，。两点，证明：直线4C,4。的斜率

之比为定值.

【解析】⑴由动点/(XJ),可得而=(羽_4),O?=(x,l),MAx=(-2-x,-y),MA^=(2-x,-y)

222

因为外丽.而二丽.可'，j5ffy.(x-4)/l=x-4+/,

化简得(1-A2)X2+V2=4(1-22),

22

当4e(-l,0)U(0，l)时，方程为7+导不=1,其中M点的轨迹为椭圆.

(2)证明：当丸=如时，〃的方程为工—广=1,可得点M为双曲线，

242

设CD方程为x=加了+4,且。(为,功),。。2,%)，4(-2,0)，4(2,0),

fx=my+4--

联立方程组《，c2/整理得("/_2)/+8忖+12=0,

[x-2〉=4

可得W2且△=64加2_%以2_2)x12=〃/+6>0，凶+%=j~7'=-〜,

m-2m-2

直线AXC,A2D的斜率分别为kx,k2,

又由左1"左2=

12,

,仁/八，m--------b6y

所以&_=12.再+2=%(呻+6)=叼-12+6y2=_______加2_29

1216m

kiX2-2%(my2+T)yx即仍+2(%+%)—2%m,-

m2-2m2-2

12m,

^^+6%k1

m一27所以1万为定值・

—4加0

「—2%

m-2

11.(2024•安徽•高三校联考期末)已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为R点P(4,%)是抛物线C上

7

一点，点。是尸尸的中点，且0到抛物线。的准线的距离为万.

(1)求抛物线C的方程;

⑵已知圆“：(无-2尸+/=4,圆河的一条切线/与抛物线C交于4,B两点,。为坐标原点，求证：0A,

OB的斜率之差的绝对值为定值.

【解析】(1)I艮据题意可歹Up+^+4=7np=2

故抛物线C的方程为/=4x.

(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=4,/(4,-4),8(4,4),kOA=-\,k0B=\,\kOA-kOB\=l.

②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为〉=履+占,

圆〃的一条切线/与抛物线。交于42两点，故〃=率»=2=助=1-与

J-+14

设/(X/，XJ,8(XB,先)

y=kx+b一°

把直线的方程与抛物线进行联立2彳k2x2+(2kb-4)x+b2=0

4-2kbb2

XA+XB=8/尸B=您

六小号

综上所述：OA,OB的斜率之差的绝对值为定值为2.

22

12.(2024•海南海口•统考模拟预测)在平面直角坐标系中，已知双曲线(7邑-3=1伍>0/>0)的左

ab

顶点为A,离心率为血，焦点到渐近线的距离为2.直线/过点尸(/,0)(0-<2),且垂直于x轴，过户的直

线/'交C的两支于G,H两点，直线AG,AH分别交/于M,N两点.

(1)求C的方程；

⑵设直线/N,(W的斜率分别为左后，若区・履=；,求点P的坐标.

【解析】(1)不妨设双曲线C的焦点坐标为(c,o),c>o,渐近线方程为y=

由题意可得：\bc-2

yja2+b2

c2=a2+b2

解得a=b=29

所以双曲线C的方程为工-心=1.

44

(2)由题意直线GH的斜率不为0.

设直线G//方程为x=+/,

(22

±__匕.

由144一，消去工得：(m2-l)y2+2mty+t2-4=0,

x=my+t

m2—1^0

设G(X"M),//(X2，%),则%+%=,必%=t].

1J—=m1：—m

由题意可知/(-2,0),则直线NG:y=2(x+2).

令x=t，得y==\«+2),所以M坐标为♦，必"十?

士+2Ix,+2)

同理，N坐标为t,-V',

IX2+2J

了2：J('+2)

所以匕=9

x2+221X]+2)

1y“（+2）/

因为左=5,所以言9;

/（演+2）2

t+2_（再+2）（%+2）

整理得:

t2必为

又（项+2）（々+2）=（加必+£+2）（加必+1+2）

=+加«+2）（必+%）+。+2）2

24一产（、2mt/7（"2）2

=m2-------+m（t+2\-------+0+2）2_

1-m2I71-m21-m2

（，+2）2

p.ci1+2=（演+2）（9+2）］一病«+2『

所以一必％

f22（4-产）2（4-t2）,

1-m2

4

因为0<，<2,所以才=4一2/，即，=一,

3

题型05弦长、面积范围与最值问题

13.（2024•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）已知FVF2分别为椭圆M:二+《=1（.>6>0）的左、右焦点，

ab

直线乙过点2与椭圆交于43两点，且△/月耳的周长为（2+五）即

（1）求椭圆"的离心率；

⑵直线4过点尸2,且与4垂直，4交椭圆”于C，。两点，若a=4i，求四边形/CM面积的范围.

【解析】（1）设片（-c,0），B（c,0）（c>0）,由椭圆的定义可知△/片用的周长为2a+2c=（2+四）a,所以

2c=及。，所以离心率e=£=1.

a2

(2)由(1)可知£=正，又从+°2=02,所以/=2/=2,

a2

所以椭圆M的方程为上+了2=1

2-

①当直线4,中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形ZC3。的面积

S^\AB\.\CD\^242X^2.

②当直线4%的斜率都存在，且都不为0时，设4的方程为歹=左(1-。),/(冷乂),8卜2，%),由＜*2।

—+V=1

12/

2k2—2

可得(1+2/b2―4/x+2如-2=0,A=8「+8>0.所以再+噂=4H

1+2左2'%尤2-]+2后2-

2及俨+i)

—2

所以|AB\=\J\+k~|%1x2|=A/1+kJ(X]

1+242

+120(r+i)

设4的方程为y='7(x-c),同理可得|CD卜

—k1+iE+2

2&(F+I)272(^2+1)

所以四边形/CSZ)的面积S=；以同.|。必=；x

1+23-*——+2―

4俨+1)24伏2+1)2

244+5左2+2=2俨+1)2+〃

因为“+/=左2+二+2乜"，+2=4,当且仅当上2=1时取等号.所以M

<2,即

IA-Jk2\k29

此时Se[1,2)

由①②可知，四边形/CB。面积的范围为y,2.

14.(2024•河南•统考模拟预测)已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过户的直线/交C于43两点，过尸

与/垂直的直线交C于2E两点，其中民。在无轴上方，河,"分别为4瓦。石的中点.

(1)证明：直线肱V过定点;

(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求AGMN面积的最小