材料力学-第五版-孙训方-课后习题答案第二章-第六章

第二章轴向拉伸和压缩

2T2-22-32-42-52-62-72-82-9下页

2-1试求图示各杆「1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

⑸解：尸；耳;2=一尸；(b)解：%=+2尸；尸股=0；

(c)解：0】=+2尸；％2=+尸。(d)解：Au=尸产m=-尸。

返回

2-2试求图示等直杆横截面1-1,2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。假设横截面面积

▲=400mm。试求各横截面上的应力。

解：尸m=-20kN

返回

2-3试求图示阶梯状直杆横截面1-L2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。假设横截面面积

4=2Q0mm‘，=300mma,4=4Q0mm1并求各横截面上的应力。

解：尸N】=・20kN

返回

2-4图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间

竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mmX8mm的等边角钢。屋面承受集度为

q=20kN/m的竖直均布荷载。试求拉杆和跖横截面上的应力。

解：R"M2"2=177.4kN

1〕求内力

取「I别离体=°

得KG=35EklI(拉〕

取节点£为别离体

E8=0,七cosa=356kN

a356356x447“

=-------=---------------=366kN

故cosa437（拉〕

2）求应力

75X8等边角钢的面积A=ll.5cm2

%356x103

a?。--4=155MPa

U2x11SxlO（拉）

心366x1©

0ASh=159MPa

2A2x115x104（拉）

返回

2-5(2-6)图示拉杆承受轴向拉力F=10kN,杆的横截面面积4=100mm2。如以&表示斜

截面与横截面的夹角，试求当a=0「30*,45*,60*,90•时各斜截面上的正应力和切应

力，并用图表示其方向。

解:

q=5cosa

r=­sm2a

-2

F_IQxlQ3"100MPa

=100MPa

4lOOxlO-6a=0°

To=°

外«75MP«

%=lOOcos330*=100x（灯=75MPa

2a-30*

r）a=432MPa

J=—sin2x30*=432MPa

3r2

q,=lOOcos347=100x（2^）a=50MPa=50MPa

a-45*

%=50MPa

%=31n2x45.=50MPa

弓=100cos'6（T=100x（»=25MPa%・25MP&

2a・60°

rlc=433MPa

堞仙2x60、喙冬433MPa

返回

2-6(2-8)一木桩柱受力如下图。柱的横截面为边长200nm的正方形，材料可认为符合胡克

定律，其弹性模量岳40GPa。如不计柱的自重，试求：

(1)作轴力图；

(2)各段柱横截面上的应力；

(3)各段柱的纵向线应变；

(4)柱的总变形。

100xlO3ccc

2---------------3r=2.5MPa

解：*200x200x10-8（压）

%=2成。35Mpa

200x200x10”（压）

返回

2-7(2-9)一根直径d=16mm、长，=3m的圆截面杆，承受轴向拉力尸=30kN,其伸长

为&=2.2mm。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量及

F30xl03

a=-=,—=149MPa

火开X16?i4

2-8(271)受轴向拉力小作用的箱形薄壁杆如下图。该杆材料的弹性常数为其V,试求。

与。两点间的距离改变量

FFp

解：'A(a+(5)2-(a-寸一小

横截面上的线应变相同

CD=\003a

ACD=1003Aa

△a=a€v=—aV€

avF_vF

SCD=

因此4aE6AES

返回

2-9（2-12）图示结构中，48为水平放置的刚性杆，杆1,2,3材料相同，其弹性模量

后210GPa,/=lm,4=4=1版1nmA=150mm\尸=20kN。试求。点的水平位移

和铅垂位移。

解：（1）受力图（a〕

工…,用=0,玛=司=]

12〕变形协调图（b）

因鸟=0,故A%=0

1

2100m=0.476tnm（向下〕

A/3=AZj=0476mm（向下〕

为保证承3=°,点/移至4,由图中几何关系知；

返回

第三章扭转

3T3-23-33-43-53-63-73-83-93-103-113-12

3T一传动轴作匀速转动，转速簿=200r/min,轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率

为60kW,从动轮，I,III,IV,V依次输出18kW,12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

1O

7；=955x—=08595

解：200kN-m

7；=08595x^=05730

18kN-m

22

7；=08595x—=l0505

18kN-m

Q

7：=08595x_=0,3820

18kNm

返回

3-2(3-3)圆轴的直径d=50mm,转速为120r/mm。假设该轴横截面上的最大切应力等于

60MPa,试问所传递的功率为多大？

故T=J"噤'I。"

bXAK

解：

T11X1.25x10$14rcvr

.T=60x10°x0=1470Nm

即16xl09

r=9550x-^-=1470

又120

p=1470x120=1847kw

故9550

返回

3-3C3-5)实心圆轴的直径d=l00mm,长？=lm,其两端所受外力偶矩K=情kNm,材料

的切变模量G=80GPa。试求：

(1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角;

⑵图示截面上4B,。三点处切应力的数值及方向;

⑶。点处的切应变。

14x10?=力4@a

解：

返回

3-4(3-6)图示一等直圆杆，d-40tnm,a-400mm,G-80GPa,。试求:

(1)最大切应力;

(2)截面4相对于截面。的扭转角。

解：（1）由得扭矩图（a）

M,2a180*"

~-------=2

⑵G/pn

返回

3-5（3-12）长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受

,马■=08

力情况也一样。实心轴直径为小空心轴外径为〃内径为do,且。'\试求当空心轴

与实心轴的最大切应力均到达材料的许用切应力（J=卜］），扭矩7相等时的重量比和刚

度比。

n(Da-rf2)

%_4

解：重量比=4

因为Jt*=x

T_T

即16

D31D1

故庐'=两丁两

皿=^1x036=—Ux036=0.51

故%;不O847

«-因)

G__32_°'("08，)

皈

刚度比=~32

Z)410.59

059t=059x——=118

=d'(084)-0496

返回

3-6(3-15)图示等直圆杆，外力偶矩M4=2S9kNm,=7.20kNm,Afc=4.21kNm

许用切应力W=70MPa,许可单位长度扭转角0]=]C)/m,切变模量G=80GPa。试确

定该轴的直径九

解：扭矩图如图(a)

⑴考虑强度，最大扭矩在欧段，且1：

d]NJ16X4.2：_0,0674m=67.4rtun

1V7fttx!0J(1)

(2)考虑变形

32x1807132x180x421x10^

=0.0744m=74.4mm

}-n5x80xl(?⑵

比拟式(1)、(2),取d2744mm

返回

3-7(3-16)阶梯形圆杆，4s段为空心，外径氏140mm,内径床100mm；m段为实心，直径

曲100mm。外力偶矩M=18kNm,=32kNm,ATc=14kNmo.[t]=80MPa,

M=12C)/m,G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度。

解：扭矩图如图(a〕

门)强度

167；16x14xlQ3

=713x1/=713MPa

=TidyItXO.13

了.；口=—xl00%=1.86%<5%

H70,以段强度根本满足

=451x10*=45IMPa<[r]

故强度满足。

⑵刚度

q)方180'Uxl^xWO'

—=——x---=--------------j—=IU丁

1

%n80x10^x12^1n

段:32

段刚度根本满足。

18xl0?x]80

=0462*<[^]

80x1/x/QU-©)

四段:

/£段刚度满足，显然曲段刚度也满足。

返回

3-8(3-17)习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力卜卜20MPa,切变模量

G=80GPa,许可单位长度扭转角【＜P']=025C)/m。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。

解：由3-1题得:J=2006kNm

应选用H=875mrr.o

返回

3-9(3-18)一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩此后，测得圆杆外表与纵向

线成45•方向上的线应变为£。试导出以此，d和£表示的切变模量G的表达式。

解：圆杆外表贴应变片处的切应力为

圆杆扭转时处于纯剪切状态，图(a)。

V=T16M

切应变Gwd3G(1〕

对角线方向线应变：

7=2?⑵

=16峪

式⑵代入⑴：3G

返回

3-10(3-19)有一壁厚为25mln、内径为2501nm的空心薄壁圆管，其长度为1m,作用在轴两

端面内的外力偶矩为180kNm。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。材料的切

变模量G=80GPa。

180X105X150X10_J_32x180x150xlO,a

=655MPa

itWO*)-nx42xl01

解:32*

3-11(3-21)簧杆直径d=18的的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力尸=05kN作用，弹簧的平

均直径为。=125皿，材料的切变模量G=80GPa。试求：

(1)簧杆内的最大切应力；

(2)为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

「喈=6”

解:=F,

,16x05xl0Jx62.5xl0-}

J=12n---------------:—-------=328MPa

故ax(18)3x10-3°

,64FR3n

a=——i—

因为Gd’

6X8X10.55X10J.

,----------------------r=6R.3「

故64x05x244x10s圈

返回

3-12(3-23)图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩此=3kNm。材料的切变模量

G=80GPa,试求：

(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向；

(2)横截面矩边中点处的切应力；

(3)杆的单位长度扭转角。

解：T=此，人=附'，凡=向3

方90,4

—=——=IJ

b60由表得

Q=I'J=0858x402=344MPa

返回

第四章弯曲应力

4T4-24-34-44-54-64-74-84-94-10下页

47(47)试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。

解：(a)

鸟z=0

=-2kNm

%“=-5kN

M-2

»-2-5x2»-12kNm

(b)R/=2kN

1=3kN

&-i=FRA=+2kN

MT-2x3=6kNm

=FL-3kN

M”=FRBx2=6kNm

(c)尸Rd=4小

“4kN

%T=KkN

Mg=+4kN

=XkN

Afj-j=-4x1.5=-6kNm

_20x22..

JDJx；=1333

(d〕SR'=23

%=667kN

=13.33-丝*上=-1.67kN

“门外,10x12..A.1

Af.*=13.33x1------x—xl-10xlx—

232

13.33-3.33-5.0-50kNm

pJ

M1=-M

鸟况3=0

Mg=-M

(f)%=24.31kN

&H=3x2+65xl=125kN

Mt」=-3x2x2—6.5xlxA=-152kNm

gI==12.5-24.31=-118kN

Mg=-l5.2kNm

(g)尸R，=FRB=40kN

%“=40-10x1=30kN

A/l4=40x1-80-10x1x1=-45kNm

2

MJ_2=40x2-20xl-10x2x^-80=-40kNm

_V与a=

”,11a11

M\A=-24r°XflX2X3=12^

FSi_3=0,AfJ.J=q°ax2a-^ox2axlx2a

A

返回

4-2(4-2)试写出以下各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

解：[a)0<x</

(b)04xS1m时

1Sx43m时

1c)式R/=FRB=495kN

0<x<4rr.Ht

4W；m时

[d)&/=06kN

(e)OSxW2m时，

2Wx£3m时，

用(x)=-"

(f)初段：s8

理段：&（x）=0X

(g)N8段内：

&(X)=+—

况■段内：

(h)力8段内：鸟(幻=0

血段内：&(x)=30kN

5段内：尸s*)=-l]杜丁

返回

4-3(4-3)试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作以下各梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-4(4-4)试作以下具有中间较的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6)简支梁的剪力图如下图。试作梁的弯矩图和荷载图。梁上没有集中力偶作用。

返回

4-6(4-7)试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15)试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回4-8(4-18)圆弧形曲杆受力如下图。曲杆轴线的半径为此试写出任意横截面。上剪

力、弯矩和轴力的表达式(表示成3角的函数)，并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：(a[

(b)&(0)=尸co$6

返回

4-9(4-19)图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是凡试问：

(1)吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少?

(2)吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。

得：

上…-----L=2F-%

当x=0时，JII

dM(x)

当〃极大时：dx,

——(/-2x^=0Z-2x-=0

那么/2，,故，2

_/a

故"=5-彳为梁内发生最大弯矩的截面

故75-2-中

返回

4-10(4-21)长度为250nm、截面尺寸为0.8mmx25mm的薄钢尺，由于两端外力偶

的作用而弯成中心角为60•的圆弧。弹性模量£=210GPa。试求钢尺横截面上的最大正应

力。

1_Mt_Mth

解：由中性层的曲率公式户一箪；及横截面上最大弯曲正应力公式一二4

I250250

P=—=----=-----=Z39nun

由几何关系得：66T”/3

于是钢尺横截面上的最大正应力为：

返回

第五章梁弯曲时的位移

5-15-25-35-45-55-65-75-8

57(573)试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-4o

品心3

解：⑷3EI

_讨।"

-48£Z2AEI485Z-24571向下〕

讶川

WQ=+W02

64EI3845/~38457（向上）

4=%+%+%=-念-备+族"缁(逆〕

%=%+%=-备+嘉=-嘉〔逆)

返回5-2(5-14)试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-5o

*

解：分析梁的结构形式，而引起劭段变形的外力那么如图(a)所示，即弯矩2”与弯矩

Fao

Ml2

由附录(IV〕知，跨长/的简支梁的梁一端受一集中力偶〃作用时,跨中点挠度为16£7。

用到此处再利用迭加原理得截面。的挠度M'C

_严3+曲(2牙=丁+2届3_3曲3

\f>El-+16£2=8£2+8£Z=TEF(向上］

返回

5-3(5-15)试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-10o

艮夕班3

解：⑷-3E124E1

返回

5-4(5-16)试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的Me。

解：原梁可分解成图5T6a和图5T6d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。

由附录w得

返回

5-5(578)试按迭加原理求图示梁中间较。处的挠度吐，并描出梁挠曲线的大致形状。EI

为常量。

解：(a)由图5T8a-l

⑻由图5-18卜1

2%/2Ma3圾/

--------+——t-a=---

=2E1EIE1

返回

5-6(579)试按迭加原理求图示平面折杆自由端截面。的铅垂位移和水平位移。杆各段的横

截面面积均为4弯曲刚度均为£乙

方=空

解：例一3反

返回

5-7(5-25)松木桁条的横截面为圆形，跨长为4m,两端可视为简支，全跨上作用有集度为

q=182kN/m的均布荷载。松

M_L

木的许用应力k】=10MPa,弹性模量£=10GPa。桁条的许可相对挠度为」S200。试

求桁条横截面所需的直径。(桁条可视为等直圆木梁计算，直径以跨中为准。1

M

解：均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为皿士，根据强度条件有

从满足强度条件，得梁的直径为

对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度”皿为

吗皿_♦"

而相对挠度为/一点彳

Wx_切$

由梁的刚度条件有丁6En/一［/」

为满足梁的刚度条件，梁的直径有

由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于158mm。

返回

5-8(5-26)图示木梁的右端由钢拉杆支承。梁的横截面为边长等于0.20m的正方形，

g=40kN/m,&=10GPa；钢拉杆的横截面面积4=250mm',%=210GPa。试求拉杆

的伸长A/及梁中点沿铅垂方向的位移d。

解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力

N21240kN

于是拉杆的伸长人为

40x103x3

=-210xl09x25xl0-1

木梁由于均布荷载产生的跨中挠度3为

梁中点的铅垂位移4等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移万与中点挠度w的和，即

返回

第六章简单超静定问题

6T6-26-36-46-56-66-76-86-96T06Tl6T26T3

6-1试作图示等直杆的轴力图。

解：取消/端的多余约束，以小代之，那么‘AEA(伸长)，在外力作用下杆产

生缩短变形。

因为固定端不能移动，故变形协调条件为：&m=必

FFA4a_2尸3aFa

故EA~EA

返回

6-2图示支架承受荷载尸=10.J23各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为

4=100mm3,4=150mm'和劣=200mm1试求各杆的轴力。

解：设想在荷载尸作用下由于各杆的变形，节点力移至4。此时各杆的变形及纯如

下图。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。

即：/必=2防-2必-石82

亦即：同…&\-g3

22

房产1忑'&一3uaR

将M,“，即代入，得:

=2%_____2%

即：150-5^x100岳200

3%__?N3

亦即：150~50100

2〃=201-%⑴

此即补充方程。与上述变形对应的内力汽二,三寸工二如下图。根据节点力的平衡条件有:

TF=0F居+

亦即：+2%=6&3(2)

£与=0.*+*=尸

亦即：入n+Fif3=2F13]

联解门）、（2）、（3）三式得:

==0即9=845kN

3+2/(拉)

73

F=v厂产=0268尸=268kN

Vi3+2力（拉）

2金压)

返回

6-3一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如下图。如果荷载尸作用

在4点，试求这四根支柱各受力多少。

解：因为2,4两根支柱对称，所以耳口=耳“，在尸力作用下：

变形协调条件：

补充方程：

求解上述三个方程得：

返回

6-4刚性杆四的左端钱支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆切和步使该刚性杆处

于水平位置，如下图。如尸=50kN,两根钢杆的横截面面积乂=1000皿。试求两杆的轴

力和应力。

解：E%=0,五N/+&x2a=%F

尸HI+2%=3尸⑴

又由变形几何关系得知:

&=生益=1%,、

2,2⑵

=—27=60kN=zni/Kr

联解式11),⑵，得N25,&=30kN

故玛=尸><2=60kN,尸=尸HI=30kN

返回

6-5(6-7)横截面为250mmX250mm的短木柱，用四根40nmiX40mmX5mm的等边角钢加固，

并承受压力£如下图。角钢的许用应力匕1=160MPa,弹性模量&=200GPa；木材的

许用应力"L=12MPa,弹性模量&=10GPa。试求短木柱的许可荷载网。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：

Z玛=°风+k=F⑴

由木柱与角钢间的变形相容条件，有

M"I⑵

由物理关系：

瓦4RA⑶

式（3〕代入式（2）,得

200x109x4x3791xlO-410xl0*x0252（4）

解得：尸而=2.064

代入式⑴，得：4=0327£%=0.673口

⑵许可载荷

由角钢强度条件

由木柱强度条件：

故许可载荷为：忸］=742kN

返回

6-6（6-9）图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离<5=1mm。上、下两段杆的横截面

面积分别为600m2和300mm\材料的弹性模量8=210GPa。试作图示荷载作用下杆的

轴力图。

解：变形协调条件8以一人尸二^

3/^1.2x1601

故瓦■-EAm

故吊=85kN,/>=-15kN

返回

6-7(670)两端固定的阶梯状杆如下图。4C段和初段的横截面面积为4切段的横截面面

积为24杆材料的弹性模量为E=210GPa,线膨胀系数1=12x10"。。工试求当温度升

高30。。后，该杆各局部产生的应力。

解：设轴力为五H,总伸长为零，故

0=-二％4祝・二X】2X10"K30X210X1094

N3=3=-1008xl06^

返回

6-8(6T1)图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩此。假设

<=2^2,试求固定端的支反力偶矩”4和时3,并作扭矩图。

解：解除刀端多余约束心,那么变形协调条件为

——Mj2f—l+M—h£2——a———M.as—=A0

G也XG这

故：323232

=0

即：(24)‘d\(2%)，

解得：'33

由于】n'=、二

““此32M

-=—

返回

6-9(673)一空心圆管4套在实心圆杆少的一端，如下图。两杆在同一横截面处各有一直径

相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个户角。现在杆夕上施加外力偶使杆8扭转，以使

两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆8上的外力偶。试问管4和杆

6横截面上的扭矩为多大？管4和杆6的极惯性矩分别为。/M4孙两杆的材料相同，其切

变模量为Go

解：解除n端约束”2,那么n端相对于截面。转了尸角，（因为事先将杆8的。端扭了一

个户角），故变形协调条件为F

也一见0

故：外,%

必=予也

故：44

故连接处截面C,相对于固定端n的扭转角0c为:

而连接处截面c,相对于固定端/的扭转角为:

二一

@6=6-9ti=〃/PB+44/1，2+媲”

jr_Gi炉_G449cl?%中力

应变能"kFT+F-

5s1：।GJS%/；

=纥（，/"+3〃尸2/式//”+%/〃），

G伊1“如

=~ijk、B+/$，p4

返回

6-10（6-15）试求图示各超静定梁的支反力。

解〔a〕：原梁4?是超静定的，当去掉多余的约束钱支座8时，得到可静定求解的根本系

统（图i）去掉多余约束而代之以反力4,并根据原来约束条件，令刀点的挠度“a=0,

那么得

到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用卜・=0的位移条件，得补充方程：

F=—F

由此得：£27

由静力平衡，求得支反力k4,为：

剪力图、弯矩图分别如图（iii）,（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（V）所示。这里遵

循这样几个原那么：

（1）固定端截面挠度，转角均为零；

12）较支座处截面挠度为零；

（3〕正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；

（4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。

（b）解：由相当系统［图ii］中的位移条件＞弓=°,得补充方程式：

&=也

因此得支反力：'4a

根据静力平衡，求得支反力工"%：

剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。

1c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力吊=5"；肛=解

应用相当系统的位移条件U=0,得补充方程式：

注意到肛=""于是得：

色

MA=MB=12

剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii〕、〔iv〕、（v〕所示。

M尸尸4：-此*一卷（）

其中：安

假设勺截面的弯矩为零，那么有：

整理：而-的+/=0

m＞：X1=0.21=0.789;

返回

671(676)荷载尸作用在梁46及龙的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。其跨长比

和刚度比分别为

一-----解：令梁在连接处受力为招，那么梁力反切受力如图(b)所

示。梁四截面8的挠度为：

梁5截面。的挠度为:

由于在铅垂方向截面8与。连成一体，因此有

将有关式子代入得:

(f)-毡

变换成：ERb

)3=:

即：片

F^—F

解得每个梁在连接处受力：1

返回

6-12(678)图示结构中梁四和梁0的尺寸及材料均相同，应为常量。试绘出梁切的剪

力图和弯矩图。

解：由)为刚性杆得

3

F1切4FP

即48E/3845Z48£7

图(b)：由对称性,

剪力图如图（c）所示，

弯矩图如图［d）所示，

返回

6-13（6-21）梁四的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度6时，试确定梁的约束

反力”4.自,川5和

解：当去掉梁的/端约束时，得一悬臂梁的根本系统［图a）。对去掉的约束代之以反力自

和并限定/截面的位移：”=0.〃=°。这样得到原结构的相当系统（图b］。利用

位移条件，”=0刈=0,与附录（IV）得补充式方程如下：

"公0

2E13E1⑴

丝2・公8

El2E1⑵

由式门〕、12〕联解，得：i=-，=丁

从静力平衡，进而求得反力是：

返回

第七章应力状态和强度理论

7T7-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-13

7-1（7-3）一拉杆由两段杆沿犷A面胶合而成。由于实用的原因，图中的a角限于0~60•范

围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相

应的许用应力比拟。现设胶合缝的许用切应力用为许用拉应力"］的3/4,且这一拉杆的强

度由胶合缝的强度控制。为了使杆能承受最大的荷载尸，试问口角的值应取多大？

解：按正应力强度条件求得的荷载以外表示:

按切应力强度条件求得的荷载以V表示，那么

T=_sm2a=.[a1

即：*2A4LJ

当a=0•时,尸,=匕145,=8,

a=20•时，?=口永祖,巴=231匕,

a=45•时，尸.=2[54,£=15"U

a=60•时，户.=4[”4,F,=1732[at4

由打、鸟随n而变化的曲线图中得出，当a=50•时，杆件承受的荷载最大,

忸L=1732(%。

假设按胶合缝的5.到达M的同时，4亦到达用的条件计算

3

T=一。

那么.4.

p3F

—smaco$a=----cos2a

即：力4A

3

tana=一

4,a=3653

聊/4=18d即5的=⑸八辱156砂

那么A0.64

故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载BLO

返回

7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下

40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：八。=10•072=7m

=10.55xl06N/ma=1055MPa

由应力圆得可=+l0-66MPa

返回

7-3(7-8)各单元体面上的应力如下图。试利用应力圆的几何关系求：

(1)指定截面上的应力；

(2)主应力的数值；

[3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。解：%〕q=25MPa工=26MPa

5=20MPa5=05=-40MPa

(b]q=-26MPa0=15MPacrt—30MPa巧=0=-30MPa

(c)q=-50L£Pa匕=05=0a2=a3=-50MPa

(d)=40MPa=lOMPa5=4lMPaq=0Oj=-61MPa=39*35*

返回

7-4(7-9)各单元体如下图。试利用应力圆的几何关系求：

(1)主应力的数值；

(2)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

解：(a〕-160.5MPa%=0Oj=-30.5MPa4^=-2356*

(b〕5=360MPa5=0,5=-176MPa'=656

(c)5=0=-1625MPa=-53.75MPao:0=161,

(d)q=170MPa5=0%=716,

返回

7-5(7-10)平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如下图。试利用应力圆求该点处的

主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角8值。

解：由按比例作图中N,6两点，作N8的垂直平分线交。轴于点C,以。为圆心，。或力

为半径作圆，得

(或由2葭+/=014-38-万尸+482

得x=48

半径r-+4『«55.57)

(1)主应力

⑵主方向角

(3)两截面间夹角：

返回

7-6(7-13)在一块钢板上先画上直径d=300mm的圆，然后在板上加上应力，如下图。试

问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。钢板的弹性常数后206GPa,V=0.28O

5岁

解:

所画的圆变成椭圆，其中

4="弱=300x0+0364x]0-3）=300109mm（长轴）

=300x(]-0,07068x10^)=299979mm(短轴)

返回

7-7(7-15)单元体各面上的应力如下图。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

解：(a)由灯平面内应力值作a,b点,连接劭交。轴得圆心。(50,0〕

应力圆半径

故％=50+447=947MPa

(b)由X/平面内应力作a,6点，连接劭交。轴于。点，0(=30,故应力圆半径

那么：=30+50=80MPa

(c)由图7-15(c)彩平面内应力值作a,b点,圆心为0,半径为50,作应力圆得

返回

7-8(778)边长为20nlm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力Q14kN作用。V=0.3,假设

钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。

-F-14xl03

4---------------T=-35MPa

解：'A20x20x10-6(压)

%-0.3(-35+q)=0⑴

at-03(-35+47,,)=0⑵

联解式(1］，(2〕得

q=q=-15MPa(压〕

返回

7-9(7-20)氏120nm1,庐80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩」也，如下图。在轴的

中部外表4点处，测得与其母线成45•方向的线应变为々「=26X】0T。材料的弹性常数

£=200GPa,v=03,试求扭转力偶矩此。

TM,

T=--=

解：%WP方向如图

返回

7-10(7-22)一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPao设钢球的层210GPa,

V=0.3o试问其体积减小多少？

41-2也，、1-2匕,、3(1-2v)

解：体积应变E52"EE

=654x10-2=0.654mm$

返回

7-11(7-23)图示单元体材料的弹性常数E=200GPa,v=03o试求该单元体的形状改变能

密度。

70+30

解：主应力:~2~

形状改变能密度:

—1+03(447,+447’+894a)x10ia

=6x200x10*

=1299xlO3N/m3=13.0kNm/mJ

返回

7-12(7-25)一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。钢材的许用应力为

[a]=170MPa.[r]=100MPao试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论

校核危险截面上的点a的强度。

注：通常在计算点a处的应力时近似地按点，的位置计算。

解：S'*=240x20x410xl0-#+10x400x200xl0'a

=277x107

(1)梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

超过匕)的5.3%尚可。

(2〕梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

(3)在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度

出超过匕]的3.53%,在工程上是允许的。

返回

7-13(7-27)受内压力作用的容器，其圆筒局部任意一点Z(图a)处的应力状态如图b所

示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得与=188'10:弓=737乂1。3。钢材的弹

性模量后210GPa,泊松比V=0.3,许用应力⑸=170MPa。试按第三强度理论校核4点的

强度。

解:

5=叼=183Ma,/=3=62.8MPa,5=0

根据第三强度理论：53=5-%=183Mpa

13超过6］的7.64%,不能满足强度要求。

返回

第八章组合变形及连接局部的计算

8T8-28-38-48-58-68-78-88-98T0下页

8-114号工字钢悬臂梁受力情况如下图。/=0.8m,月=25kN,=1OkN,试求危险截

面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端

3x25x103x0810xl0?xQ8

=2X102X10-6+16.1x10^

=791MPa

返回

8-2受集度为。的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的

夹角为a=3(T,如下图。该梁材料的弹性模量E=10GPa；梁的尺寸为/=4m/=160mm,

i=120mm；许用应力⑸=12MPa；许可挠度卜上而。试校核梁的强度和刚度。

解：=,N=，。皿『

〃w--ql3c0t30,30'<2c.

AJ+"x=8：________+8_________=空r3(cos30+sm30

Wt町，―史hb^_~ibhhb

66

432

JJ

6x2xlOx42j

(2)=1197xlOPa=12.0MPa=[cr]

=8x120x160x10-,0160L

0.120,强度平安

5x1勿的30丁Xj5X127COS30*/4

,384吗384的川'3845Z,384研始

5x12x4*x2xl03

=384xl0xl09X120X160X10-6

人…ri4

00202m<lw=­m

=1J150刚度平安。

返回

8-3(8-5)图示一悬臂滑车架，杆46为18号工字钢，其长度为/=2.6m。试求当荷载尸=25kN

作用在48的中点〃处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

解：18号工字钢郎=1.85乂10<11?,/=306xl0-m2,AB杆系弯压组合变形。

£犯=0,%51n30./=月1尸第=25小

〃*=9>刑30"!25xlx—

中叱2=22=1625kNm

_1625xl0325x10」xf

°皿=185X10-4+306x10'=8783+7.07=949MPa(压)

返回

8-4(8-6)砖砌烟囱高*=30m,底截面m-m的外径"i=-''m,内径力=/m,自重A=20Q°kN,

受g=】kN/m的风力作用。试求：

(1)烟囱底截面上的最大压应力；

(2〕假设烟囱的根底埋深出=4皿，根底及填土自重按玛=10。0旨计算，土壤的许用压应

力匕］=Q3MPa,圆形根底的直径。应为多大？

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大压应力：

=0.508MPa+0.212MPa=072MI'a(S：i

土壤上的最大压应力0g：

即D2D3

即0.3^3-3.82。-5.81=0

解得：Z)=4.17m

返回

8-5(8-8)试求图示杆内的最大正应力。力尸与杆的轴线平行。

解：5；=4axax(-2a)+4ax2axa=0,?为形心主轴。

固定端为危险截面，其中:

轴力0=尸，弯矩%=-次，Mt--2Fa

小嗒+小纤+喈a4/

A点拉应力最大

p

2+空2a些=05720

=12a332/=2Mas

8点压应力最大

2Faa17F=■0258与

4a-

=12a3Ua*2=66a7

瞑=0572?

因此

返回

8-6(8-9)有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的根底上，用作挡水用的

小坝。试求：

(1)当水位到达墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力(设混凝土的密度为

2.45x1mkg任b.

(2)如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深力为多大？

解：以单位宽度的水坝计算：

水压：%='乂9812=1176kM7m

混凝土对墙底的压力为：

JF=-xlx03a=1SxlO^m5

墙坝的弯曲截面系数:6

墙坝的截面面积：^4=03x1=0.3m

墙底处的最大拉应力©on：为:

一看1,多h明黯一手”…

=0.188-0.0288=0.159MPa

当要求混凝土中没有拉应力时：5=0

与PA

±--------—=0

即卯A

1.,,,V

彳鼻助’•