新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第一节基本立体图形及空间几何体的表面积和体积课件

第一节基本立体图形及空间几何体的

表面积和体积第八章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.强基础增分策略知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面

名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台底面互相

且

多边形互相

侧棱

相交于

但不一定相等

延长线交于

侧面形状

平行

全等平行

平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形微思考有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?提示

不一定.如图.(2)旋转体的结构特征

旋转体一定有旋转轴

名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且

于底面

相交于

延长线交于

—轴截面全等的_______

全等的

全等的

侧面展开图矩形

扇形扇环—垂直

一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆微点拨1.旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.2.台体可以看成是由锥体截得的,但一定要知道截面与底面平行.2.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:

九十度、画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

微点拨一些几何体表面上的最短距离问题,常常利用几何体的展开图解决.2πrlπrl

π(r1+r2)l4.柱、锥、台和球的表面积和体积

几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=球S=

V=

S底h4πR2微点拨

求几何体的体积时,要注意利用分割、补形与等积法.微思考柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?提示

常用结论1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为2.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)(2)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(

)(3)菱形的直观图仍是菱形.(

)×××2.

如图,一个正六棱柱的茶叶盒,底面边长为10cm,高为20cm,则这个茶叶盒的表面积约为

cm2.(精确到0.1,≈1.732)

答案

1719.6解析边长为10

cm的正六边形的面积为

3.(2023新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

.

答案

28解析如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.增素能精准突破考点一基本立体图形(多考向探究)考向1.结构特征典例突破例1.(1)(多选)下列说法正确的是(

)A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线(2)(2023全国甲,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有

个公共点.

答案

(1)CD

(2)12

解析

(1)A错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在的直线,所得的几何体都不是圆锥;C正确,因为棱锥是一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以棱锥的各侧棱相交于一点,但各侧棱不一定相等;由母线的概念知,选项D正确.故选CD.(2)

设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.方法总结辨别空间几何体的两种方法

对点训练1(1)(多选)下列说法中正确的是(

)A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等(2)(多选)(2023安徽滁州二中期中)一个正方体的顶点都在球面上,过球心作一截面,如图所示,则截面的图形可能是(

)答案

(1)BC

(2)ACD

解析

(1)根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等,故A错误;因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面,故B正确;如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形,故C正确;棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等,故D错误.(2)当截面平行于正方体的一个侧面时得C;当截面过正方体的体对角线时可得D;当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时,可得A;但无论如何都不能截得B.故选ACD.考向2.直观图典例突破例2.(2023广西南宁三中模拟)如图所示,一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C',则原四边形OABC的面积是(

)答案B

突破技巧按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形.对点训练2已知一个直三棱柱的高为2,如图,其底面△ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为(

)答案

C考向3.展开图典例突破答案

C

解析

由题意,将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面,结合展开图可知当A,M,D1三点共线时,MD1+MA取得最小值,最小值为展开图中D1A的长度.名师点析多面体表面展开图可以有不同的形状,应多实践,观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系,一定先观察立体图形的每一个面的形状,借助展开图,培养直观想象素养.对点训练3下图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是(

)答案

B解析

如图,设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为h,母线长为l,则

考点二空间几何体的表面积与体积典例突破例4.(1)(多选)(2023新高考Ⅱ,9)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则(

)A.该圆锥的体积为π(2)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(≈2.65)(

)A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3(3)(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

.

PD,OD,则PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因为OD⊂平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO为等腰直角故选AC.(2)由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5

m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故该棱台的体积V棱台(3)

如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.方法总结求空间几何体的体积的三种方法

答案

(1)B

(2)B

解析(1)如图,将三棱锥P-AMN看作三棱锥A-PMN,即以A为顶点,△PMN为底面的三棱锥,将三棱锥P-ABC看作三棱锥A-PBC,即以A为顶点,△PBC为底面的三棱锥.(2)

在△AOB中,过点O作OC⊥AB于点C,连接PC.考点三与球有关的切、接问题(模型)(多考向探究)考向1.简单几何体的外接球典例突破A.100π B.128πC.144π D.192π答案

A

解析

设外接球的半径为R,由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,因此球的表面积是S=4πR2=4π·25=100π.故选A.方法总结处理“相接”问题,要抓住空间几何体“外接”的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.对点训练5四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,