人教A版选择性必修时等比数列的概念与通项公式课件

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第一课时等比数列的概念与通项公式学习目标1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,达成数学抽象的核心素养.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.3.会判断和证明一个数列是等比数列,提升逻辑推理的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?”[问题1]试写出“出门望九堤”问题构成的数列.提示:构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98.[问题2]根据数列相邻两项的关系,上述数列有什么特点?提示:数列中,从第2项起,每一项与前一项的比都是9.知识探究1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于

.

,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

,通常用字母q表示(显然q≠0).[思考1]等比数列中能有0项吗?提示:不能.[思考2]常数列是否一定是等比数列?提示:常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.同一个常数公比A.1个 B.2个

C.3个 D.4个解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.A[问题3]如果2,a,4成等差数列,如何求a?那如果是2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成

,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.等比数列[做一做2]2和8的等比中项为(

)A.-4 B.4C.5 D.-4或4D[问题4](1)如何利用等比数列的定义归纳出等比数列的通项公式?(2)在等比数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公比?(其中n>m,m,n∈N*).提示:(2)an=amqn-m,能用它们求公比.(3)在等比数列{an}的通项公式中,an与n的关系与以前所学过的什么函数有关?3.等比数列的通项公式(1)首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an=

.a1qn-1amqn-m师生互动·合作探究[例1]在等比数列{an}中.(1)a1=1,a4=8,求an;探究点一等比数列的通项公式解:(1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.(2)an=625,n=4,q=5,求a1.方法总结与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1·qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果.[针对训练]在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;[针对训练]在等比数列{an}中,(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[例2]有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.探究点二等比中项及其应用变式探究:将本例条件“第一个数与第四个数的和为16”改为“前三个数的和为48”,将“第二个数与第三个数的和为12”改为“后三个数的积为8000”,其他条件不变,求这四个数.方法总结(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(4)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.[针对训练]有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.探究点三等比数列的判定与证明方法总结(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.备用例题[例1]若等比数列{an}的前三项分别为5,-15,45,求a5.[例2]设四个实数依次成等比数列,其积为210,中间两项的和是4,则这四个数为多少?当堂检测C1.数列{an}中,如果an=32-n(n=1,2,3,…),那么这个数列是(

)A.公比为2的等比数列B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列D.首项为3的等差数列C答案:±1解析:4,a,b,25成等