黄金卷03-【赢在高考黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）含解析

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知，则（

）.A． B． C．2 D．12．集合，集合，则集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（

）A． B．C． D．4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（

）种分配方式A．540 B．660 C．980 D．12005．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．7．已知函数，设，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．8．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为10．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、三棱锥的体积分别为，则（

）

A． B． C． D．11．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）C． D．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量在向量上的投影向量为，则．14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．

15．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程.16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足(1)求角；(2)若的外接圆周长为，求边上的中线长.18．若数列的前项和满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：性别年龄总计满50周岁未满50周岁男154560女53540总计20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？20．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．(1)证明：；(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．21．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若，求直线的方程．22．已知函数.(1)若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；(2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知，则（

）.A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由，得，则，所以.故选：C.2．集合，集合，则集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出即得.【详解】集合，，则，所以集合中元素的个数为3.故选：B3．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，此时，即，则；若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，此时，，即，则，综上可得：的取值范围是，故选:B．4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（

）种分配方式A．540 B．660 C．980 D．1200【答案】B【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即和，分别求出其方法种数，即可得出答案.【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，①，有；②，有，共有（种）.故选：B.5．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可.【详解】，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．故选：B．6．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由双曲线定义及，应用勾股定理列方程求得，进而求离心率.【详解】中，中，所以，，又，则，又，所以，令，则，，而，由，则，，可得，即.故选：D7．已知函数，设，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，且在上为增函数，而，因为，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.8．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令的切点为，因为，所以过切点的切线方程为，即，所以，所以，令，则，所以当时恒成立，此时单调递减，当时恒成立，此时单调递增，所以，所以，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含的系数及无理项系数之和判断BCD.【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；则，又的展开式的通项为，，所以展开式中的常数项为，B正确；含的项为，其系数为160，C正确；展开式中无理项的系数之和为，D错误.故选：BC.10．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、三棱锥的体积分别为，则（

）

A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A,根据平面展开图可得线段最短时，即可根据锥体体积公式判断BCD.【详解】正三棱柱的体积为，由图可知，所以，所以A正确；沿着侧棱将棱柱展开得到一个矩形，连接，

因为取得最小值，即线段，由于四边形为边长为3的正方形，所以，因为为的中点，所以，，，所以B正确，C不正确，D正确．故选:ABD．11．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，过作于，

则由抛物线的定义可得，故A正确；，则以PQ为直径的圆的半径，线段PQ的中点坐标为，则线段PQ的中点到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；抛物线的焦点为，，当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消去x，并整理得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．故选：ABC．12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）C． D．【答案】ACD【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；对于D，由，证明即可.【详解】对于A、B，由，两边求导得，，，又，，，故A正确，B错误；对于C，已知，则.因为，则，即成立，故C正确；故C正确；对于D，,，，当，；；；，,所以，所以成立，故D正确.故选：ACD.【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量在向量上的投影向量为，则．【答案】1【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，则，解得．故答案为：14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．

【答案】【分析】根据题意，把鳌臑补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑的外接球，从而求出鳌臑的外接球半径为，再利用球的体积公式即可求出结果．【详解】把鳌臑补成一个长方体，如图所示：

则长方体的外接球即是鳌臑的外接球，又，，长方体的外接球半径，鳌臑的外接球半径为，则该球的表面积是，故答案为：．15．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程.【答案】（答案不唯一，也满足）【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即可求解判断.【详解】由题意得，半径，，故在圆外，设O到直线的距离为d，由得，即，解得，当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；当直线l斜率存在时，设为，即，则，即，解得，故直线为.故答案为：（答案不唯一，也满足）16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则．【答案】6【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案.【详解】因为为偶函数，所以，两边同时求导得，即，所以，即，令，得，令，得，又因为，所以，由，所以，所以的周期为6，则，而，所以，所以.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足(1)求角；(2)若的外接圆周长为，求边上的中线长.【答案】(1)所选条件见解析，；(2).【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化简条件求角；（2）由已知易得为顶角为的等腰三角形，是中点，则，利用向量数量积的运算律求中线长度.【详解】（1）选（1），则，所以，而，则，所以；选（2），则，所以，而，则；选（3），则，，所以，所以，则，而，则.（2）由，则，故，，即，结合（1）易知：为顶角为的等腰三角形，如下图，是中点，的外接圆周长为，若外接圆半径为，则，所以，而，所以，则，即求边上的中线长为.18．若数列的前项和满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；（2）先求出的表达式，之后进行裂项求和即可.【详解】（1）证明：由，当时，可得；当时，，所以，∴时，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；∴，∴.（2）证明：由（1）知，，∴，∴，∴,因为，所以，所以即成立．所以对任意的正整数，都有得证.19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：性别年龄总计满50周岁未满50周岁男154560女53540总计20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）(2)【分析】（1）根据列联表中的数据，求得的值，结合附表，即可得到结论；（2）设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，结合条件概率和全概率公式，即可求解.【详解】（1）解：零假设为：：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），根据列联表中的数据，计算得，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认定为成立，全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．（2）解：设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，则，所以这位火炬手是男性的概率约为．20．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．(1)证明：；(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）由平面平面，得平面，得，又因得平面，进而可证；（2）由向量法先根据到平面的距离为，求出的坐标，再由向量法求平面与平面的夹角.【详解】（1）连接,因为四边形为正方形，所以．在直三棱柱中，平面平面，由得，又平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，．设为平面ABD的一个法向量，则，即，得，令，则，故，由题意，，解得，所以，．设为平面BCD的一个法向量，则，即，令，则，，即，平面ABC的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以，所以平面和平面的夹角的正弦值为．21．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为，由坐标运算即可求解.【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．（2）双曲线的右焦点坐标为，由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，化简可得：，设,则．则∴线段中点的坐标为，直线方程为．（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．此时直线方