2024年高考模拟数学试卷1(新高考Ⅰ数学试卷专用)(解析版)

备战2024年高考数学模拟卷01（新高考I卷专用）

第I卷（选择题）

一、单项选择题

1.设集合4={闻国<1},集合3={x|y=«},则AB=（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.［0,1）D.（1收）

k答案1C

KW析UA={XH<X<1},8={X|XN0},故4八3={可04彳<1}=［0,1）.故选C.

2.已知复数z满足iz=-l+2i,则复数三在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（答案》D

rz分力_Lr-T1—l+2i（―1+2i）,i.—

K解析Uiz=-l+2inz=­；—=---------=2+i=>z=2-i，

11

所以复数N在复平面内对应的点位于第四象限，故选D

3.函数y=cos2x+sin（］—x）的最小值为（）

95

A.-2B.—C.—D.0

88

［答案XB

（兀、1,9

k解析Uy-cos2x+sin——x=2cos2x+cosx-1=2（cosx+—）2——

（2J48

1Q

当cos尤=-：时，取得最小值为故选B

48

4.已知等差数列{%}的前5项和S$=35,且满足%=13%,则等差数列{4}的公差为（）

A.-3B.-1C.1D.3

［答案》D

II解析HS5=5q+10d=35；%=%+41=13%,解得d=3,q=1,故选D

5.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体

可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆

内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

(答案》B

K解析》如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G.

根据题意，AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC=6cm,

设CG=xcm,EF=ycm

所以与="TW土Y+箕6解得％=15,y=14,

x

所以旷=:(无-142+%-1()2+兀・14-10>6=872兀°2739(。113),故选B.

->)5的展开式中的系数为80,则机的值为()

A.-2B.2C.-1D.1

K答案XA

K解析R|-+my\(2x-y)5=-(2x-y)5+my(2x-y)5,

\XJX

5r4rr

在工(2尤-y)5的展开式中，由/G(2x)5T(_yy=(-iy-2-C；X-y,

X

f4-r=21.

令/，得一无解，即一(2x->)5的展开式没有的项；

r=4x

在my(2x-»的展开式中，由利;G(2x尸(-4=(-1)，-加C05-y+1

5—r=2

令解得r=3,

r+1=4

即冲(2x7)5的展开式中x2/的项的系数为(-1尸・25%©=-40相,

又(2x+my)(x-的展开式中元2y，的系数为80,

所以-40m=80,解得m=-2,故选A.

22

7.在平面直角坐标系尤Oy中，双曲线C:二-2=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，耳,

ab

点M是双曲线右支上一点，且△。力明为等边三角形，则双曲线。的离心率为()

A.>/3+1B.苴+1C.2(^-1)D.

22

K答案XA

k解析》如图示，连结〃片.

因为叫为等边三角形，所以QM=|河闾用4|=C.

所以ZMOF2=NOF2M=60°.

因为QM=|。制，所以/。次=/。耳四.

XZ.OMFX+ZOFiM=ZMOF2=60°,所以NOMF；=NO耳M=30。，所以“〃耳=90。.

在V&M耳中，/耳片”=60。，所以眼周=121160。阿玛=代.

由双曲线的定义可得：\MF^-\MF^=2a,即及一c=2a,

所以离心率0=£=4~7=百+1，故选A.

a<3-1

3

8.设。=而，8=山1.03,c=e°03—l,则下列关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

k答案』c

K解析X记/(x)=e「l-xgO).

因为4(x)=e，T,所以当x>0时，r(x)>0,所以〃x)在(0,4w)上单调递增函数,

所以当x>0时，/(x)>/(O)=O,即e"l>无，所以e0°3-1>0.03.

ifig(x)=ln(l+x)-x,(x>0).

因为g'(无)=±-1=/<0,所以g(x)在(。,+8)上单调递增函数，

所以当X>0时,g(x)<g(o)=0,即ln(l+x)<x,所以lnl.03<0.03.

所以己力(x)=ln(l+x)—j^~,(x2O).

］］x

因为〃（4）=k_（］+同2=（1+尤）2，所以当尤＞0时，〃（力＞0,所以/7（X）在（o,y）上单

调递增函数,所以当x>0时，M%)>/i(O)=O,即ln(l+x)>上，所以lnl.03>—-=二

''''')1+x1+0.03103

所以匕＞。，综上所述：c＞6＞a.故选：C

二、多项选择题

9.立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分

数据按照［50,60）、［60,70）J70,80）J80,90）、［90,100］分成5组，绘制了如图所示

的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A.图中的x值为0.020B.这组数据的极差为50

C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的平均数的估计值为77

（答案XACD

K解析》由（0.005+尤+0.035+0.030+0.010）x10=1,可解得x=0.020,故选项A正确;

频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；

得分在80分及以上的人数的频率为（0.030+0.010）x10=0.4,

故人数为1000x0.4=400,故选项C正确；

这组数据的平均数的估计值为：55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77

故选项D正确.

故选：ACD.

10.已知函数/（%）=5皿0%+。）］。〉0,|同＜三）的部分图象如图所示，则（）

［答案』AD

13兀

K解析U由图可知/（0）=sine=-j且同〈万

/'（x）=0cos（5+0）,由图可知/'（0）=&cos0>0,/.cos^>0,

II兀兀

r/7兀）.（Inco兀、八lna＞TI,,12k+2.~

又二|=sm|n-：|=0,则nr--------=hi,keZ,即an。=-------，左eZ,

U2jI126）1267

„T7兀3T7TI7TIlit2兀7兀1218

又由图一〈一＜一，则一＜T＜一，即一＜一＜一,则一＜0〈一，；.0=2.

2124969a677

故选：AD.

11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴

的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已

知抛物线C：9=2x,。为坐标原点，一束平行于x轴的光线4从点P（m,2）射入，经过C上

的点4（%,%）反射后，再经过C上另一点3（%,必）反射后，沿直线右射出，经过点Q，则（）

A.%无2=；

B.延长A。交直线x=-1于点。，则。，B,。三点共线

2

c|的=，

9

D.若依平分/ABQ,贝朋

4

K答案工AB

K解析X由题意知，点尸&(42),如图：

2-0_4

将人(不,2)代入V=2x,得占=2,所以4(2,2),则直线4B的斜率口=§,

“1、42

则直线AB的方程为y-o=,即y=jx-，

y2=2x1

联立(42)得8尤2-17X+2=0,解得玉=2,x2=-,

y=-x——o

r33

又吃="时,则原'-』

所以再尤2=2*:=4，所以A选项正确；

o4

125

又|4同=占+尤2+1=2+3+1=彳，所以C选项错误；

OO

又知直线5Q〃x轴，且从：,-与，则直线BQ的方程为丁=-!,

又A(2,2),所以直线4。的方程为丫=%,

令尤=一4，解得y=4,即£>在直线BQ上，

L，、乙乙)

所以。，B,。三点共线，所以B选项正确；

设直线总的倾斜角为0斜率为金，直线A3的倾斜角为a,

若依平分/AB。，即/ABQ=2/P80,即a=26,

2tan042幻1

所以tana=tan26=,”sn；,,则£=丁号，且幻>0,解得勺=；,

l-tan~6Ji-«o2

2一(一,

又h=—解得：机=?,所以D选项错误；

12o

m——

8

故选：AB.

12.如图，棱长为2的正方体ABCD-A4G。中，点E,F,G分别是棱A。,OR,C。的中

A.直线AG,C|E为异面直线

B.VD「BEF=耳

C.直线AG与平面ADRA所成角的正切值为正

4

D.过点8,E,尸的平面截正方体的截面面积为9

K答案XBC

k解析：W于A,连接EG,AC,4G,由题意可知EG//AC,因为AC〃AG，所以EGUAg,

所以AG,GE共面，故选项A错误;

对于B,连接DiE,FB,EB,EF,[B,由题意可知2歹=1，ED=l,

SABXXlxlx2

所以5-时=^B-D,EF=^D,EF=||=p故选项B正确;

对于C,连接4。,

由正方体的性质可知DG_L平面ADD^,所以/GA。即为直线AG与平面ADD^所成的角,

则tanNGAO=^=+j=亨，故选项C正确;

对于D,连接ERPC〉班,86，

根据正方体的性质可得EFIIBCA,且ER=；BQ,

所以平面即为过点8,E,尸的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底忘，

下底为2夜，高为半,所以截面面积为5=3、(0+2&b目1=|,故选项D错误；

故选：BC

第n卷(非选择题)

三、填空题

13.已知平面向量。=(-1,2),b=(m,-3),若a+26与a共线，贝1」”?=.

3

K答案1|

K解析Ha=(-l,2),Z?=(m,-3),则a+办=(-1+2私-4),

(a+26)〃a,故4=2(-1+2%)，解得力=^

14.六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高，则

共有种排法.

(答案》90

(解析工由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那

A6

个人高，则排法有…制」=90种.

A；AjA;

15.已知函数y=a'T(a>0且aW1)的图象过定点A,且点A在直线mr+2您=8(m>0,〃>0)

Q4

上，则二-二的最小值是.

K答案』［9

10

K解析］函数＞且〃wl)的图象过定点A(l,l),

则机+2〃=8,所以2〃=8-加，

fm＞0

由。Q、n，得°＜根＜8,

［2n=6—m＞0

_8____3__16__3__32-3（8-间_3-+8

mn2mm（8—m）2m2m（8—m）—2m2+16m

令Z=3根+8/w（8,32）,则加二寸，

_8____3___________t___________%

贝|J皿12m,_8）216（^-8）—2t2+80/-512

―2QJ+3

8

CIOm=—qQOQ

当且仅当2f=卫4,即r=i6,即；时，取等号，所以3-3的最小值是

tomn2m16

16.如图，已知抛物线C：丁=2%,圆R(X-2)2+/=4,直线。4,。2分别交抛物线

于4B两点,且直线0A与直线02的斜率之积等于-2,则直线被圆E所截的弦长最

小值为________

(答案』2石

K解析11设A（XQI）,设L："a+"y=l，又y2=2x,y2=2x（mr+〃y）,

y2-2nxy-2JWC2=0,|一2几,-—2m—0.

=kOA-kOB=-2m=-2,.•.m=1,

石x2

直线AB恒过点。(1,0),

由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线的距离最大时，即

当直线AB_LQE时，弦长最短，此时弦〃最小为2,4-(2-1『=26.

四、解答题

_a

17.在①cosA=——,②bcosC=(2a-c)cosb中任选一个作为已知条件，补充在下列问

2b

题中，并作答.

问题：在「ABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,已知.

⑴求&

⑵若ABC的外接圆半径为2,且cosAcosC=-，，求ac.

8

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)选择条件①：

因为cosA=VU，在至C中，由余弦定理可得"+厂一"一=生二色,

2b2bc2b

BPa2+c2-b2=ac,则cosB='+.―"=£=J.,

2ac2ac2

因为8e(0,7t),所以8=1.

选择条件②：

因为Z?cosC=(2a-c)cos3,在「ABC中，由正弦定理可得

sinBcosC+sinCcos3=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,贝|sinA=2sinAcosB,

因为A£(0,TI),所以sinAwO,则cos5=,，

2

因为8£(0,兀)，所以3=1.

(2)因为3=；,所以A+C=—,贝1cos(A+C)=—,

332

BPcosAcosC-sinAsinC=--,又cosAcosC=--,

28

113

所以$布4$皿。=展-6=?.因为,ABC的外接圆半径R=2,

2oo

nr3

所以由正弦定理可得sinAsinC=—,所以ac=6.

448

18.己知数列｛%｝,也.｝满足4=9,a„+1=10a„+9,bn=an+\.

⑴证明：也｝是等比数歹!J;

（2）求数列2｝的前"项和S”.

⑴证明：依题意‘空;记10a+9+110%+10

ti=10.

+1a“+1

又4=%+1=10.

故也｝为首项4=10,公比q=10的等比数列.

（2）解：由⑴可知£=如1=10".

所以g=(-1)"lgb„=(-1)"lgl0"=(-1)".n.

S„=l-(-l)+2-(-l)2+(H-l).(-1)"-1+n-(-1)"①

(-1)5,,=1.(-1)2+2-(-I)3++(/7-l).(-l)"+«.(-ir+1②

①-②得2s,=(-1)+(-+.(-1)"一〃•(T)m

-弓+“（T）

-n-(-l)n+1n+l

一一9一2~2

19.某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y（单位：次）的影响,

对近8年（2015年〜2022年）每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步

处理，得到下面的一些统计量的值.

888

Zx.力(…)2

i=]i=\Z=1i=\

60059243837.293.8

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为84%,利用(1)中的回归方程，估算2024年顾

客对该市航空公司投诉的次数；

(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为现从该市所有顾客

中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X,求X的分布列和数学

期望.

附：经验回归直线？=菽+”的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

6=子-------,a=y-i>x

一可2

i=l

解：⑴[=竽=75,亍=早=74,

OO

n

附

43837.2-8x75x74

则.与---------6,

93.8

了=1

所以&=了一版=74+6x75=524,

所以夕=一6犬+524；

⑵当x=84时，＞=20,

所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次;

(3)X可取0,1,2,3,4,

尸（x=l）=C；

P（x=3）=C：6lxrr

1

P（x=4）=C：

16,

所以分布列为

X01234

20.如图所示，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBCD=120°,四边形ACBE为矩形，且CFL

平面ABC。，AD=CD=BC=CF.

⑴求证：EF_L平面BCR

(2)点M在线段所上运动，当点M在什么位置时，平面与平面尸C8所成的锐二面角

⑴证明：设AD=CD=3C=1,在梯形ABC。中，过2C分别作A8的垂线，垂足分别为S,T,

/.AB=2,：.AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3,

AB2=AC2+BC2,则BC1AC.

:C「_L平面ABC。，4。匚平面48。，/.ACJ.CF,

而CrBC=C,CF,8Cu平面BCR

/.AC±¥ffiBCF.'：EF//AC,EFI平面BCF.

(2)解：以C为坐标原点，分别以直线CA,CB,CB为无轴、y轴、z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，设=2VAb

则C（0,0,0）,A（"o,o）,3（0,1,0）,M（2,0,l）,

AB=（-V3,l,0）,3M=（4-1,1）.

设〃=(x,y,z)为平面MAB的法向量,

H取X"则”"石T

由《一n-AB=0得〈

n-BM=0

易知7〃=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,

0<A<V3,.•.当2时，

-兀

即M与E重合时，平面M4B与平面FCB所成的锐二面角为

22

21.已知椭圆C:?+当=l(Q>b>0)经过点石V2,,左顶点为。，右焦点为产，己

ab

知点P(0,女)，且D,P,E三点共线.

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知经过点P的直线/与椭圆C交于A,B两点，过点B作直线y=3灰的垂线，垂足为G,

求证：直线AG过定点.

3历2

(1)解：由题意，将点E(虚,&)代入椭圆的方程，可得2工2一，

又由P(O,0)是y轴上一点，且P,D,E三点共线，

L矮L5

可得所以忘-。丁一7~，解得a=20，

0-(-a)-72-0

922

代入25_可得廿=6,所以椭圆c的方程为一+2=1.

二+正=186

ab

(2)证明：当A(-2&,0)时，此时直线/的方程为y=；x+0,

V=—X+V2

23B

联立方程组，解得x=-2近或x=夜，可得B72,^—,

X2丁

——+—=17

186

此时G(0,30),直线AG的方程为y=x+2形,

当A(0,-#)时，同理可得8(0,遥)，此时G(0,3A/I),

可得直线AG的方程为x=0,

由='+2忘，解得了=0,丫=20,即两直线的交点为(0,2金),

x=0

下面证明直线AG经过y轴上定点(0,2&).

设直线/的方程为y=fcr+8,

y=kx+y[l

联立方程组,整理得(4/+3)尤2+8虎立-16=0,

---1---二1

186

设A（%,％）1（九2，%）,则项+々=:卢:中2=/J,G（/,3拒卜

T-/C十D^rK十D

所以直线AG的方程：y—3G必—3近—X,).

xl—x2

令X=O,可得y=一&X+3瓜2+3亚=3垃%-々X

玉~X2石~X2

_3立工1一x2（kxx+6）_30再—yjlx2-kxxx2

玉-x2玉-x2

—16k

因为何无2=h=2=&（尤|+%）

3yf2xx—y/2x2—y/2（玉+/）2^2^—2Y/2X2

所以y=