辽宁省2024届高三年级下册第一次模拟考试数学试题（含答案与解析）

2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题

数学

满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.已知集合人={1'2,3,4},且AB=At则集合g可以是（）

2x

A.{1,2,3}B.|x|x>l|C.|x|log2x>01D.\x\2>1!

2.已知a,Z?eR,〃—3i=（b—i）i（i为虚数单位），贝（）

A.a=l,b=—3B.a=—lfb=3

Ca=—l,b=-3D.a=l,b=3

nh

3.已知eR.贝!!“a>0且b>0”是“一+—22”的（）

ba

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

4.已知双曲线C：g-f=l的下焦点和上焦点分别为耳，F2,直线y=与C交于A,B两点,若

gAB面积是..KA3面积的4倍，则（）

c1010

A.3B.—3C.—D.——

33

5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小

球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己

写的灯谜，并有!■的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

111

A.——B.——C.—D.

2418126

6.若函数〃龙）使得数列4=/（〃），为递减数列，则称函数八％）为"数列保减函数”，已知函

数/（x）=lnx—依为“数列保减函数”，则。的取值范围（）

A.[in3,+oo)B.(In2,+oo)C.[1,+co)D.(0,+。)

「什，c4r/2+2cos2a-3sin2a/、

7若tan2a=—，则------------------=()

31-cos2a

1

A.----或2B.—2或1C.2D.——

222

8.已知函数〃x）=log2（4*+16）-x-2,若"a—l）2/（2a+l）成立，则实数a的取值范围为（）

A.(-<»,-2]B.(-8,-2][0,+co)

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差

B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

/JIJI\717C

10.已知函数/(x)=sin(2x+°)[—e<9<5j,则/(x)在区间上为减函数充分条件是

()

TT

A兀

A.(p=----B.“%）的图象关于直线％二—对称

36

D."x）的图象关于点H，0）对称

C.Cx)是奇函数

11.已知不相等的实数。，b满足而>0,则下列四个数。，b,J茄经过适当排序后（

A.可能是等差数列B.不可能是等差数列

C.可能是等比数列D.不可能是等比数列

12.设直线系M:xcos»'，+ysin"，=l（其中0,加，〃均为参数，0«8<2兀，m,we{1,2}）,则下列命

题中是真命题的是（）

A.当加=1,〃=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在比,小使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

C.当机="时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为YZ

2

D.当m=2,〃=1时，若存在一点A（a,0）,使其到直线系M中所有直线的距离不小于1,则aWO

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.抛物线丁二以色片。）上一点？（—1,4）到其准线的距离为.

14.已知函数/（%）=%3+依2+陵+。2在尸_］处有极值g,则/⑴等于.

15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格

的国际综合性体育赛事.本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱

塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，

其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为

8和10,高为2.则该组合体的体积为.

图1图2

UU/工皿、1UiLIL

o

16.已知4a是空间单位向量，（e1）e^=105,若空间向量q满足a.=1,a-e2=^,且对于任意

x,yeR,都有卜一(尤q+>62)号卜一(尤00+%02)|=1(其中知为eR),贝［］眄=.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在ABC中，内角A,5c所对的边分别为"c,满足6(b+a)=c2.

(1)求证：C=2B；

(2)若一ABC为锐角三角形，求2sinC+cos3-sin3的最大值.

18.已知S”为数列｛q｝的前w项和，满足S“=gd+gq,-15eN*),且。1，4，%，。4，。5成等比数列，当

”25时，为〉0.

(1)求证：当5时，｛a,J成等差数列；

(2)求｛6,｝的前〃项和S“.

19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文

成绩进行了统计并整理成如下2X2列联表(单位：人)：

数学成绩良好数学成绩不够良好

语文成绩良好1210

语文成绩不够良好85

(1)能否有95%把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)

(2)从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，8表示事件“选到的学生语文

成绩良好”,标比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为已

⑴证明：心十・…;

P(B|A)P(B|A)

(ii)利用该表中数据，给出P(@A),的估计值，并利用⑴的结果给出R的估计值.

附：—<ad-bc^----

(a+6)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K?>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面侧面？A5,F为BD中点,E

是以上的点，PA=PD=2,PALPD.

P

AB

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)若二面角石―。尸—A的余弦值为主叵，求石到平面尸的距离

11

22

21.己知圆。1：必+,2=1和椭圆。2：5+9=1(。〉6〉0),椭圆。2的四个顶点为A，4,耳，生，如

图.

(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当a,b满足什么条件时，对。2上任意一点

P,均存在以尸为顶点与C1外切，与。2内接的平行四边形？并证明你的结论.

22.已知函数/(x)=Z?lnx,g(x)=x2+ax(其中a,b为实数，且。＞0)

(1)当4=—1时，/(x)Wg(x)恒成立，求b；

⑵当〃=2时，函数G(x)=〃x)-g(x)有两个不同的零点，求a的最大整数值.(参考数据：

In-«0.223)

4

参考答案

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知集合”={12刊，且AB=At则集合2可以是()

{小x

A.{1,2,3}B.2>1}C.|x|log2x>0}D.{x\2>l]

【答案】D

【解析】

【分析】根据AB=A可得出AoB,显然A错误，并且可求出比的集合，然后即可得出正确的

选项.

【详解】QAIB=A,:.A^B,且4={1,2,3,4},故选项A错误；

W/>1}={%|x<—1或x>l},故选项B错误；

{x|log2x>0}={x|x>l},故选项C错误；

{刀|2">1}={刀|尤>0},故选项D正确.

故选：D.

2.已知a,〃eR,a-3i=g—i)i(i为虚数单位)，贝|()

A.a=l,b——3B.a=—lfb=3

C.a=—l,b=—3D.a=l,b=3

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.

【详解】因为a-3i=S-i)i=l+Z?i,

所以a=l,6=-3.

故选：A

ab

3.已知a,beR.则“a>0且<>0”是“一+—22”的()

ba

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.

【详解】当1>0且6>0时，->0,->0,所以@+他2=2,当且仅当3=2,即时取等

babaaba

号，

Z7h

所以由〃>0且b>0可以得出一+—N2,

ba

nh

显然，当a=b=—2,有一+—22成立，但得不出〃>。且b>0,

ba

ah

所以“。>0且人>。”是“一+—22”的充分而不必要条件，

ba

故选：A.

2

4.已知双曲线c：必=1的下焦点和上焦点分别为耳，F],直线y=x+7〃与C交于A,8两点，若

鸟A3面积是一片A5面积的4倍，则〃?=()

c1010

A.3B.—3C.—D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线A3的距离之比即可得解.

2

【详解】由。：《一f=1可知，4(0,-2),8(0,2),

、匚_

联立<3，消兀得：2尤*-2/m:+3-"/=0,

y=x+m

则△=4皿2—8(3—I*)〉。，即加2>2，

由.gAB面积是&F{AB面积的4倍可知，F2到直线AB的距离是耳到直线AB距离的4倍，即

化简可得15m2+68m+60=0，即(3加+10)(5加+6)=0,

解得加=--1或加=-|（舍去），

故选：D

5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小

球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己

写的灯谜，并有g的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

1111

A.B.—C.—D.一

2418126

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件概率公式，即可求出结果.

【详解】记事件A：甲独自获胜，

因为每人随机选一个球（不放回），用（x,y,z）表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲,

丙，乙）,

（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法,

又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有!的概率猜对其他人写的灯谜，

2

当甲选到自己写灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

q」x（一）x（一）」，

162224

当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

P、=-X—X（1--）x（1---）=—,

2622248

当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为

n11八1、八1、1

H=—X—x(l——)x(1——)二—

3622248

所以P(A)=—+—+—=—,

24484812

故选：C.

6.若函数/（%）使得数列4=/（〃），〃£N*为递减数列，则称函数/（%）为“数列保减函数”，已知函

数〃x）=lnx—改为“数列保减函数”，则。的取值范围（）

A.[in3,+oo)B.(in2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】易知/("+1)</(")对任意的〃€?^恒成立，参变分离即可求解.

【详解】由题可知/(〃+1)</(«)对任意的〃eN*恒成立，

即a〉In[1+：)对任意的〃eN*恒成立，

因为f=l+L在1时单调递减，y=l皿在/>0时单调递增,

n

1

y=ln\1+—在〃21时单调递减,

n

/.InH+—在几=1时取最大值，且最大值为In2，

:.a>ln2.

故选：B.

「什，c4J/2+2cos2a-3sin2a/、

7.若tan2。=—,则------------------=()

31-cos2a

1八„11

A.一一或2B.—2或3C.2D.一一

222

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tana,再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数

关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.

■、乂k入42tana4

【详解】tan2o=-n--------5―=—ntano=一或一2,

31-tan2a32

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2cos2o-l)-6sinocoso

l-^l-2sin2

4cos2戊一6sinacosa

2sin2a

_2-Stance

-tan7a

代入tana求得值均为：2.

故选：C.

8.已知函数/a)=log2(4'+16)—x—2,若/(a—l)2/(2a+l)成立，则实数〃的取值范围为()

A.(^30,-2]B.(-oo,-2]u[0,+oo)

4

C.D.(-℃,-2]—,+oo

3

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数g(x)=/(x+2),判断g(x)的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将

不等式去掉函数符号即可求解.

【详解】记g(x)=/(x+2)=log2(4A2+i6)—x—4,xeR,

—Ind]4X+2-16

令g'(x)==°,解得x=0,

(4*2+16)In24X+2+16

当尤>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

「上,、16(1+4')

-xx+2

因为§()-1°§2(4~+16J+X-4=log2———-+x-4

=log2(4*+2+16)—无一4=g(x),

所以g(x)为偶函数.

所以/(〃_1)2/(2〃+1)0/(〃_3+2"/(勿_]+2)0且(〃_3)*(2〃_1),

又g(x)在(0,+。)上单调递增,

所以,一3|习2a—l|,即3a2+2a—8<0,解得—2<a<g.

故选：C

【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调

性进行求解.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差

B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

【答案】BD

【解析】

【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结

合图象可判断BCD.

【详解】对于选项A：

甲的数据介于［1.5,7.5］之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于［2.5,8.5］,极差小于或等于6；从而甲和乙

的极差可能相等，故A错误；

对于选项B：

根据频率分布直方图可知，甲的众数介于［2.5,5.5）之间，乙的众数介于（5.5,6.5］,故乙的众数大于甲的众

数，B正确；

对于选项C：

甲数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；

对于选项D：

对于甲，各组频率依次为：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,因为前两组频率之和

0.15+0.20=0.35<0.5,前三组频率之和0.15+0.20+0.20=0.55>0.5,故中位数位于[3.5,4.5)之间;

同理，对于乙，各组频率依次为：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0.15,前三组频率之和

0.05+0.10+0.15=0.3<0.5,前四组频率之和0.05+0.10+0.15+0.50=0.8>0.5,故中位数位于

[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.

故选：BD.

/JIJI]7171

10.己知函数/(%)=5111(2%+0)[-»<夕<»卜则/(X)在区间上为减函数充分条件是

()

71TT

A.(p=——B.的图象关于直线X=—对称

36

“X)的图象关于点,o)对称

C./⑺是奇函数D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据条件，利用正弦函数的性质得到函数AM,再利用正弦函数的单调性判断.

TT7T兀兀■JI/n\

【详解】A.当°=-彳时，/(x)=sin(2x——),由xe,得2x—因为y=sin%在

333

。仁上递增，故错误;

JTTC7C7C

B.若/W的图象关于直线x——对称，则2x—(p—kjiH—，左£Z,解得(p—k/cH—，左wZ,取

6626

(p=—,贝1]/(工)=5111(2%+一)，

66

由得2%+/€([,9三],因为y=sinx在上递减，故正确；

163J6V26JV26/

C.若/(x)是奇函数，则。=左肛左eZ,取。=0,则/(x)=sin2x,

712〃

因为y=sinx在§'与■不单调,故错误;

工-,0）对称,57r57r

D.若/⑴的图象关于点则2x------卜(p=k7i,keZ,解得/二左"----,keZ,取

63

TTjr

/=一，则/(x)=sin(2x+—),

33

(n-7i(27r)(2乃)

由得2%+耳,因为y=sinx在［3一,»J上递减，故正确;

故选：BD

11.已知不相等的实数。，力满足而>0,则下列四个数a,b,J法经过适当排序后（）

A.可能是等差数列B.不可能是等差数列

C,可能是等比数列D.不可能是等比数列

【答案】AD

【解析】

【分析】根据基本不等式的性质，结合等差数列、等比数列的性质进行判断即可.

【详解】不相等的实数a,〃满足必>0,不妨设a>6,

当a>6>0时，显然有a>"2>J法>人，要想构成等差数列，则有：

2

a+b=^+4^b^—=4^b^a=b,这与矛盾，因此不能构成等差数列，

22

若能构成等比数列，则有ab="2•而n"2=Mna=b,这与矛盾，因此不能构成等比

22

数列，

当0>a>b时，4ab>a>^-^->b,

2

要想构成等差数列，则有：a+巴心=痴+沙=>b=9a或b=a（舍去），

2

要想成等比数列，则有：因为J拓>0,a,"9力<0这是不可能的，因此不能构成等比数列，

2

故选：AD

12.设直线系M:xcos*+ysin"0=l（其中0,加，〃均为参数，0<夕<2兀，m,«e{l,2}）,则下列命

题中是真命题的是（）

A.当加=1,”=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在加，“，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

c.当机="时，坐标原点到直线系/中所有直线的距离最大值为1,最小值为正

2

D.当m=2,〃=1时，若存在一点A(a,O),使其到直线系M中所有直线的距离不小于1,则aWO

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，设x2+y2=l,圆心(0,0)到直线“"8$。+”：111。=1的距离等于1,故满足要求；B

选项，直线M：xcosO+ysinO=l恒过(1,1),结合直线的斜率存在和不存在两种情况，得到直线

M:xcos2d+ysin29=l不过第三象限；C选项，得到加="=1和机=〃=2,得到原点到直线距离的范

围；D选项，由题意得到不等式，得至ij(/—l)cos2d»2a—1,分/_1=0,4―1＞。和/一1＜。三

种情况，得到不等式，求出答案.

【详解】A选项，当"2=1,〃=1时，M:xcos0+ysin0=l,

设圆为必+丁2=1,则圆心(0,0)到直线“：xcose+ysine=l的距离d=/----=1,故

A/COS2^+sin20

M:尤cose+ysind=l与+y2=1总相切，A正确；

B选项，当加=〃=2时，M:xcos?。+ysin?6=1,

由于cos?e+siE，=1,故直线Af:%cos20+_ysin26)=1恒过(1,1),

若sin6=0时，直线为M：x=l,

req2(-)

若sin夕W0时，直线M:尤cos。0+ysin20=\的斜率为----＜0，

sirr。

故直线M:尤cosZ6+ysin26=1不过第三象限，

所以存在相，“，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B正确；

C选项，当m="=1时，M:xcos6+ysine=l,

111

坐标原点到直线系M的距离为4=/J,==1，

Vcos26»+sin26»

当当加=〃=2时,M:xcos20+ysin20=1,

111

坐标原点到直线系M的距离为玄=/，，=

Vcos4^+sin4^

其中cos40+sin40-cos2Jcos?0+sin20sin20<cos26+sin26=1，

Ill

故%=1_jl.4＞1，C错误.

Vcos40+sin40

D选项，当相=2,〃=1时，M:xcos2^+ysin^=l,

/、Leos2^-11

点A（6Z,0）到直线系M中所有直线的距离4=J」＞1，

Vcos4^+sin20

化简得（4—1）cos?822a—1恒成立，

由于cos?同0』，

若4—1=0，解得。=±1,

当。=1时，0N1,不合要求，舍去，

当。=—1时，02—1,满足要求，

若々2-1＞0，即a＞l或。＜一1,此时（片—l）cos，8的最小值为0,

则0»2。一1,解得故此时。＜一1,

2

若片一1＜0，即一1＜。＜1,此时—l）cos28的最小值为一］,

则。2一122々一1，解得。之2或aWO,故此时一1＜。＜0,

综上，4Z＜0,D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式

一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条

件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两

个函数图像确定条件.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.抛物线V=奴（。/0）上的一点？（―1,4）到其准线的距离为.

【答案】5

【解析】

【分析】根据点尸在抛物线上求出。，再根据抛物线的性质求出其准线方程，从而可求尸到准线的距离.

【详解】•.•/＞（—1,4）在/=。%上,

二.-a=16,即<2=-16,

・••抛物线为y2=—16%,其准线为1=4,

则P(—1,4)到准线的距离为4—(—1)=5.

故答案为：5.

14.己知函数/(%)=9+依2+法+片在产_］处有极值g,则/⑴等于.

【答案】4

【解析】

【分析】求导，即可由/(-1)=8且/''(-1)=0求解a,0,进而代入验证是否满足极值点即可.

【详解】(x)=3x2+2ax+b,

若函数/(%)在x=—1处有极值8,则/(—1)=8"'(—1)=0,即""T1+"—+a2=8,

3-2a+b=Q

解得：〃=3/=3或〃=一2,/?=—7,

当，=3/=3时，/'(%)=31+6x+3=3(x+l)2N0,此时――1不是极值点，故舍去；当。=—2*二—7

时，/'(X)=3%2-4x-7=(3x-7)(x+l),

77

当或x<—1时，用*)>0,当—l<x<§"'(x)<0,故x=—1是极值点，

故a=—2力=—7符合题意，

故〃同=%3-2x2-7x+4,

故"1)=4

故答案为：4.

15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格

的国际综合性体育赛事.本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱

塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，

其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为

8和10,高为2.则该组合体的体积为.

图1图2图3

【解析】

【分析】根据条件，利用柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.

【详解】因为两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6,

所以两个圆柱的体积分别为K=S/z=71x25x2=50兀，V2==兀x25x6=150兀，

又圆台的上、下底面直径分别为8和10,高为2,

所以圆台的体积为匕=^7i/z（z;24-z;^+^2）=jx2x（16+20+25）=,

所以该组合体的体积为V=50兀+15071+--=--,

33

工乙小品、、722兀

故答案为：一--.

3

UU/口皿\.1U1IIL

16.已知与仁是空间单位向量，（e1,e，=105。，若空间向量。满足a.q=1,a-e2=y/2,且对于任意

|TITIT.|TITIT।II

x,yeR,都有卜-（尤q+勇）|平-（"+%02）|=1（其中如y0eR）,则眄=.

【答案】亚

【解析】

【分析】首先分析题意，由佰,02〉=105°结合空间向量的数量积定义求解,这2的值，进行下一步化简得

出则当x=Xo，y=X）时，,―（xq+ye?）］取得最小值，得至=1—通丁,多次求解二次函数最值

可得答案.

【详解】因为〈9,02〉=105°且两者均为单位向量，所以。仁=同・卜2|＜。56/

oooooooV2-V6

=cos105=cos(45+60)=cos45xcos60-sin45xsin60=

4

又因为对于任意的X，yGR,都有a-^+ye^>tz+y0e2)=1,

则当x=%,y=%时，,一(x，+ye?)|取得最小值，

则当〃一(XG+yq)+('G+)£2)~2aixe1+ye2]

2

=a“+%2+y+~~xy-2x-26y，

4/(X)=X2+32"y_2x+寸_2丘y,

由二次函数性质得当x=l-三/一卓y-L

令g（y）=^^y2_^f^y_i，同理且仃L二-4,即/⑴血产-4,

故同~-4=1=>同=^5，

故答案为：75

【点睛】关键点点睛：本题考查求空间向量，解题关键是找到方程，然后用主元法视为二次函数，多次求

最值即可.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在一ABC中，内角A5C所对的边分别为“,4c,满足6（b+a）=c2.

（1）求证：C=2B；

（2）若ABC为锐角三角形，求2sinC+cos3-sin3的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑵U

8

【解析】

【分析】（1）根据条件及余弦定理得到b=a-2bcosC,再利用正弦定理边转角得到

sin5=sinA—2sinBcosC,借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；

(2)利用ABC为锐角三角形，得到四<8(色，再令f=J5sin£-B),将问题转化成求

644

y=-2"；)+］在fe(0,与当上的最值，即可求出结果.

【小问1详解】

因为6(0+。)=/,gpC2=b2+ab^由余弦定理，=从+々2—2"cosC，

得到ab=a2—2abcosC»即b=Q—2/?cosC,

所以sinjB=sinA-2sin5cosC,

又sinA=sin(7i-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinjB=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=cosBsinC-sinBcosC=sin(C-B),

又反。£(0,兀)，得到5=C—5或5+C—5=兀(舍)，所以C=25,命题得证

【小问2详解】

由(1)知C=23,所以2sinC+cos3—sin5=2sin23+cos3—sin3,

71

Q＜C=2B＜-

2

兀/D土I兀兀

又因为_A5c为锐角三角形，所以0＜。＜不，得到一＜5＜一,

264

7T

0<A=TI-3B<~

2

71

CCHI71„/n\T7.•/兀兀、・兀K7T.71V6-V2

加以二一万£(U,—),乂sm——=sm(----)=sm—cos—cos—sin—=-------

412123434344

所以］£(O,,又sin2B=l-(cosB-sinB)2=l-t2,

2

117

所以2sinC+cosB—sin5=2(l—，2)+/=—2/+%+2=—2«——)2+—,

48

117

所以当r=—时，2sinC+cos_B-sin_B取到最大值为一.

48

18.已知S"为数列｛七｝的前〃项和，满足+；凡-1(〃EN*),且。1，。2，。3,44，。5成等比数列，当

5时，an>0.

(1)求证：当”之5时，｛4｝成等差数列；

(2)求｛4｝的前〃项和S”.

【答案】(1)证明见解析；

"l-(-l)n,l<n<4,«eN*

(2)5,,=<15*.

—n~—«+2,n>5,neN

122

【解析】

【分析】⑴利用4+1=S,+i—S“得到a,-］和4的关系即可证明；

⑵结合(1)中结论得a.+4=0(”<5),求出％和公比，得到｛4｝通项公式，从而根据等差和等比数列前

n项和公式即可求解.

【小问1详解】

S"、=5"；+^anT(〃eN*),

2s〃-+an-2,2Sn+1=a^+i+an+x-2,

两式相减,得2。"+1=a,1-+。”+1-an,

即(%+1+%)(4+「

当725时,an>0,：.an+1-an=l,

...当时，｛4｝成等差数列.

【小问2详解】

1,1,

由q——+54—1,解得q