广东六校联盟2024届高考全国统考预测卷数学试卷含解析

广东六校联盟2024届高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.zkABC的内角A,B,C的对边分别为"c,已知。=代/=1,3=30,则4为（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

2.函数y=sinx（3sinx+4cosx）（xeR）的最大值为"，最小正周期为T,则有序数对（加;7）为（）

A.（5,乃）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2%）

X3〃1nx

3.已知函数/\x）=——3+----------。在区间（1,+8）上恰有四个不同的零点，则实数。的取值范围是（）

Inxx

A.（e,3）（3,-H»）B.[0,e）C.（e2,+oo）D.（—oo,e）{3}

4.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：班"414,百"732,石。2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

5.函数"x)=:*log〃|x|(0<a<l)的图象的大致形状是()

22

6.已知椭圆C：彳+%=1（。〉6〉0）的左，右焦点分别为G，工，过耳的直线交椭圆。于A，B两点,若

NA5g=90。，且ABg的三边长忸闻，|A@，|明|成等差数列，则C的离心率为（）

A.-B.3C.—D.@

2322

22

7.已知双曲线二-斗=1（。>0,6>0）的左焦点为p，直线/经过点R且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲线

ab

的左支交于不同的两点A,B,若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（）.

AMRV6A

323

8.执行如图所示的程序框图，若输入a=lnl0,b=lge,则输出的值为（）

A.0B.1C.2IgeD.21gl0

9.已知同=3,|=3,且(2a—。)J_(a+4Z?),则2。—人在。方向上的投影为()

720

A.-B.14C.—D.7

33

10.已知"与小〉l,log]毛〉：;q:VxeR,e*〉x,则下列说法中正确的是()

22

A.夕"4是假命题B.夕八9是真命题

C.是真命题D.是假命题

11.若xC(0,1),a=lnx,b=g]，c=elnx,则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

22

12.设双曲线=-3=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

ab

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于Q+行两，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-72,0),(0,V2)

D.(―℃,—\/2)(A/2,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为。/)，(2,2),函数

/(xNAsinM+aAXXOv0qWiq的图象经过该三角形的三个顶点，则/⑺的解析式为

/(%)=--------------■

x=—8+回

2

2x—3s

14.在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为。为参数)，曲线C的参数方程为<L(§为

y=243s

y二一

2

参数).

(1)求直线/和曲线C的普通方程；

(2)设P为曲线C上的动点，求点尸到直线/距离的最小值及此时P点的坐标.

15.已知。、b为正实数，直线x+y+l=O截圆(x—ap+Q—与2=4所得的弦长为2&，则喂的最小值为

16.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量•若a-e=2，b-e=3,且a2=0，则,+目的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=(2-

(I)已知x=2是/(力的一个极值点，求曲线/(九)在(。"(0))处的切线方程

(II)讨论关于x的方程〃x)=alnMae周根的个数.

18.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABLBC,AB//CD,AB=4,BC=CD=2,

PA=PD,点尸、。分别为AD,的中点，且平面上40,平面ABC。.

⑵若PF=瓜求直线K4与平面尸5c所成角的正弦值.

19.(12分)设函数/(x)=ax(2+cosx)-sinx,/(x)是函数/(x)的导数.

(1)若4=1,证明/‘(X)在区间上没有零点；

(2)在xe(0,+8)上/(x)>0恒成立，求。的取值范围.

20.(12分)a,dc分别为ABC的内角A,B,C的对边.已知a(sinA+4sinB)=8sinA.

7T

(1)若b=l,A=—,求sin5；

6

7T

(2)已知C=§,当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.

21.(12分)如图，直三棱柱A5C—A用G中，RE分别是A3,5用的中点，AC=CB=^AB=^.

2

(1)证明：BCi平面AC。；

(2)求二面角。—AC-E的余弦值.

22.(10分)已知等比数列｛4｝中，％=2,%+2是附和%的等差中项•

⑴求数列｛。“｝的通项公式；

记b=aa,求数列也｝的前n项和T.

(2)nnlog2nn

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=@,再由角A的范围可求得角A.

2

【详解】

由正弦定理可知，一=—匕，所以=解得sinA=E,又0<A<180，S.a>b,所以A=60°或

sinAsmBsinAsin302

120°o

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

2、B

【解析】

3353

函数y=sinx(3sinx+4cosx)=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(0为辅助角)

2222

977-

...函数的最大值为〃=4,最小正周期为T=g="

2

故选B

3、A

【解析】

函数/'0)==匚-3+网吧-。的零点就是方程；--3+网吧-。=0的解，设g(x)=T匚，方程可化为

InxxinxxInx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的导数g'(x),利用导数得出函数的单调性和最值,由

此可根据方程解的个数得出a的范围.

【详解】

X3/7Inxx

由题意得;—3+-------。=。有四个大于1的不等实根，记,则上述方程转化为

In尤xInx

(3)

(g(x)—3)+。---1=0,

lg(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因为g(x)=器三■,当龙w(Le)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；当时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

(UIJiJ

所以g(x)在X=e处取得最小值，最小值为g(e)=e.因为3>e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解，故

Y3/7Inx

/(%)=-——3+-------〃在区间(1,+8)上恰有四个不相等的零点，需。〉e且

Inxx

故选：A.

【点睛】

本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本

题考查了学生分析问题解决问题的能力.

4、C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为572cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5后(n-1))cm,

得到不等式10+5夜(〃-l)W100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为5后cm,每装两个球称为“一层“，这样装“层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5V2(n-l))cm,

若想要盖上盖子，则需要满足10+5夜(〃-1)4100,解得“W1+9拒。13.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

5、C

【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

-log/r），X<-1,

X+1

/（%）=log”W={log“（—x）,-l<x<0,

lx+1l

logax,x>0.

故选c.

【点睛】

识图常用的方法

⑴定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题;

⑵定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

6、C

【解析】

根据等差数列的性质设出忸闾，|A阊，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得忸阊=a=忸国.再利

用勾股定理建立。，c的关系式，化简后求得离心率.

【详解】

由已知忸闾，|/狎，阊成等差数列，设忸阊=x,|A3|=x+d,|A阊=x+2d.

由于乙钻鸟=90。，据勾股定理有忸闾2+|/明2=悄月「，即丁+(%+4=(尤+2。，化简得x=3d；

由椭圆定义知.A3鸟的周长为x+x+d+x+2J=3x+3d=12d=4a,有a=3d,所以x=。，所以

\BF^=a=\BF^

在直角8凡片中，由勾股定理，2a2=4°2,.•・离心率e=42.

-2

故选：C

【点睛】

本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.

7、A

【解析】

b

直线/的方程为工=—y-c,令a=1和双曲线方程联立，再由AF=2EB得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

a

【详解】

b

由题意可知直线I的方程为X=—y-C,不妨设4=1.

a

贝！|x=〃y-c,且/=。2_i

2

'^x=by-c代入双曲线方程好—卓=1中，得到仅4—1),2—2疗⑦+/=0

设46,%),3(孙％)

m2。3cI/

贝!1X+%=「,%%=时

2b3c

f==

由A尸=2EB，可得%=-2%，故〈九

1

则8必。2=1_凡解得〃9=§

则C=A//?2+1=

3

所以双曲线离心率e=-=^~

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

8、A

【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【详解】

输入a=lnlO,b=lge,

因为lnlO>l>lge,所以由程序框图知，

输出的值为a-工=In10———=lnl0-lnl0=0.

bIge

故选：A

【点睛】

本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

9、C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出a2，再由投影的定义计算.

【详解】

由(2a-b)±(d+4Z?)

可得(2a—b)・3+4b)=2/+7〃力—4"2=O,因为|〃|=3|切=3,所以〃为=—2.故2a—6在〃方向上的投影

(2ti—Z?),d2cl2—a.b18+220

==—•

|a|\a\33

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.

10、D

【解析】

举例判断命题P与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当x°〉l时，l°gjXo<°，故。命题为假命题；

2

记/（X）=*-X的导数为/（X）=/一1,

易知/（X）在（-8,0）上递减，在（0,+oo）上递增，

.*./（X）>/（0）=1>0,即\/%£氏/>工,故夕命题为真命题；

是假命题

故选D

【点睛】

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

11、A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG（0,1）,

.,.a=lnx<0,

b=（—）lnx>（—）。=1,

22

0<c=e'nx<e°=l,

'.a,b,c的大小关系为b>c>a.

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12、A

【解析】

L2JL2

由题意I.CG.-），

根据双曲线的对称性知。在X轴上，设ZXx,O),则由

b2b2

得：_a____“_［工x/♦，

CTc-a|a(a-c)|

因为。到直线8C的距离小于a+所以

b*I/*.b*,,

cx———<a>*b~..<(C-6，

a1

Z?b

即0<—<1,所以双曲线渐近线斜率左=±—w(—l,O)u(O,l),故选A.

aa

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

入.(兀万、

13、2sin—x---

(36)

【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为尸点，再由函数性质

进一步求解参数即可

【详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点AB,C,D,E,F,其中点AB,C,£)与已有的两个

顶点横坐标重复，舍去；若为点E则点E与点(2,2)的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2,不可能为。,1),

因此点E也舍去，只有点产满足题意.此时点(2,2)为最大值点，所以/■(x)=2sin(azx+0),又0<。<会，贝!|

所以点(U),(2,2)之间的图像单调，将(1,1,),(2,2)代入/(力的表达式有

71

f.ZX1①+(p=-+2k/vCO——,

sm(①+/)二—3

2n<6nW

sin(2G+0)=12。+/二兀<P=~—+2k7v,k&

26

由阿<知夕=_,因此〃x)=2sin百一看

故答案为：

【点睛】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

14、(1)x-s/3y+8=O,y2=4x；(2)；,(3,273).

【解析】

(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；

(2)利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.

【详解】

(1)直线/的普通方程为x-石y+8=0.

在曲线C的参数方程中，y2=i2/=4x,

所以曲线C的普通方程为y2=4x.

(2)设点。(352,2亚).

点P到直线/的距离d=*6§+8|=3(s-以+5.

22

当s=i时，4^=*，所以点尸到直线/的距离的最小值为*.

22

此时点P的坐标为(3,20).

【点睛】

本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.

15、3+2,^2

【解析】

1

a+1=______________

先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得a+b-1=0,代入一厂整理得ab—(2利用基

ab-(«+1)-----+3

''a+1

本不等式求得最值.

【详解】

解：圆(x—ay+(y")2=4的圆心为(a,A),

|tz+Z?+1|

则(。力)到直线X+y+1=0的距离为

~1T~

由直线工+丁+1=0截圆(龙—。)2+()；—与2=4所得的弦长为2夜可得

‘好3=2?,整理得(a+人+1)2=4,

解得〃+/?—1=0或。+〃+3=0(舍去)，令相>0,Z?>0)

ab

。+1。+1。+11

/,m—-----=----------=----------------------------=-----------------------

曲-

a(l-a)-(a+1)+3(a+l)-2+n__—+3

''a+1

2i—

又(a+l)+-->2V2,当且仅当〃+l=Ji时，等号成立，

a+1

2i—

贝！I-(a+1)--—+3<-2V2+3

m=--------------------->-----]广=3+2\/2

-(a+l)」+33-20

''a+1

故答案为：3+2行.

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形

式，也可用换元法进行变形，是中档题.

16、[5,+8)

【解析】

先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解.

【详解】

由e是单位向量.若a.e=2,b»e=3>

设e=(l,O),

则。=(2,〃?)，b=(3,«),

又a-b=0，

则nm=-6，

贝！|a+b=(5,机+ri),

贝！11a+6\=y]25+(m+n)2,

又(ffZ+4..0,

所以|a+6|..5,(当m=J&,n——y［6或n—\f6时取等)

即|a+〃|的取值范围是［5,+8),

故答案为：［5,+00).

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)(e?2+l)x-y+2=0；(II)见解析

【解析】

(I)求函数的导数，利用x=2是/(x)的一个极值点，得/(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求

解即可；

(II)利用参数法分离法得到。=〃(月=生生1,构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形

x-lnx

结合转化为图象交点个数进行求解即可.

【详解】

(I)因为/(%)=(2-X)/+OT,则/<%)=(1-%)/+〃，

因为尤=2是/(力的一个极值点，所以/'(2)=0,即(1—2*+。=0,

所以a=e?，

因为/(0)=2,/'(0)=^2+1,

则直线方程为y—2=(e?+l)无，即(e?+l)尤一y+2=0；

(II)因为/(x)=alnx,所以(x-2)e*+alnx-at=0,

所以(x_2)e“=_q(lnx_x),设g(x)=lnx_jv(x>0),则g'(x)=』_l(x>0),

所以g(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数，

故g(x)<g⑴=T<0，

所以a=/z(x)='所以"(x)

x-lnx

设机(x)=x+2一lnx-1,贝!]=1--4■一工=±(x—2)(x+l),

所以加(九)在(0,2)上是减函数，(2,茁)上是增函数,

所以m(x)>7〃(2)=2-In2>0,

所以当0<x<l时，/(力<0,函数//⑺在(0,1)是减函数，

当尤>1时，h'(x)>0,函数/z(x)在。,+⑹是增函数，

因为0<%<1时，h(x)<0,h(l)=-e,/z(2)=0,

所以当a<-e时，方程无实数根，

当-e<a<0时，方程有两个不相等实数根，

当。=一e或。上0时，方程有1个实根.

【点睛】

本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.

18、(1)见解析(2)正

5

【解析】

(1)首先可得。尸，A。，再面面垂直的性质可得小，平面ABCD,即可得到再由O8C,即可

得到线面垂直；

(2)过点。做平面ABC。的垂线OZ,以。为原点，分别以。尸，OB,OZ为x,y,z轴建立空间直角坐标系

O-xyz,利用空间向量法求出线面角；

【详解】

解：(1)VPA=PD,点产为AD的中点，，尸尸，AD,又,••平面240,平面ABC。，平面PAZZ平面

ABCD=AD,PPu平面RID,

P/_L平面ABC。，又BCu平面ABC。，/.PF±BC,

又•：F,。分别为AO,的中点，

/.FO//AB,：.OFLBC,

又_F0u平面POT7,P/u平面POF,FOPF=F,

(2)过点。做平面ABC。的垂线OZ,以。为原点，分别以。尸，OB,0Z为x,y,z轴建立空间直角坐标系

O-xyz,'：PF^yj3,AA(4,l,0),仇0,1,0),

C(0,-l,0),P(3,0,®

AAP=(-l,-l,y/3),BP=(3,-1,73),CB=(0,2,0),

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

BPn=0,3x-y+如2=0,令z=3,得〃=(一看,o,3),

由《9得＜

CB・n=02y=0

ri-AP73+373_275

:.cos〈n,AP

\nV\AP\2行4—5

直线PA与平面PBC所成角的正弦值为—.

5

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.

19、(1)证明见解析(2)1,+co

【解析】

(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出f再由函数/'(X)的导数可知，

函数/(X)在(4,0)上单调递增，在“口上单调递减，而尸，£|〉0,广百|〉0,可知/'。)>0在区间

上恒成立，即/‘(X)在区间上没有零点；

cinxcinV

(2)由题意可将/(%)>0转化为依---------->0,构造函数方(%)二以----------,

2+cosx2+cosx

利用导数讨论研究其在%£(0,+8)上的单调性，由。0>0,即可求出，的取值范围.

【详解】

(1)若〃=1,贝!|/(X)=x(2+cos%)-sinx,fr(x)=2-xsinx,

设"(x)=fr(x)=2-xsinx,则/(％)=-sinx-xcosx,0'(0)=0,

hr(-x)=sinx+%cos%=—h'(x),故函数方(九)是奇函数.

当时，sinx>0,xcosx>0,这时"(x)V0,

又函数"(x)是奇函数，所以当尤［-］。］时，h\x)>Q.

综上，当xe［go］时，函数/'(x)单调递增；当时，函数/'(x)单调递减.

2e〉0,

故广。)>0在区间卜(《J上恒成立，所以/CO在区间［-(《J上没有零点•

/sin.x\

(2)y(x)=(2+cosx)ax-------,由cosxe[—l,l],所以2+cosx>0恒成立,

\乙।UOoJiJ

竹「/、八esinx八、.j、sinx

若/(x)>。，贝!)办--------->0,设----------,

2+cos%2+cosx

u，/_2cosx+l_23<11Y1

(2+cosx)-2+cosx(2+cosx)(2+cosx3J3

故当时，F(x)》0,又/(0)=0,所以当光>0时，F(x)>0,满足题意；

3

(71\71I

当々<0时，F\—\=-xa--<Q,与条件矛盾，舍去；

当0<Q<,时，令g(x)=sinx—3冰，贝!]g'(x)=cos%-3〃，

又3a<1,故8'(%)=85%-3。=0在区间(0,+8)上有无穷多个零点，

设最小的零点为X1,

则当xe(O,xJ时，g'(x)>0,因此g(x)在(0,石)上单调递增.

g(%)>g(°)=°，所以sinx>3ov.

于是，当工£(0,%)时，-------->----->ax9得办----------<0,与条件矛盾.

2+cosx32+cosx

故。的取值范围是；，+°0)

【点睛】

本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和

放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题.

20、(1)sinB=-(2)5+J13

8

【解析】

(1)根据正弦定理，将a(sinA+4sin5)=8sinA,化角为边，即可求出。，再利用正弦定理即可求出sin8；

jr1

(2)根据C=—,选择S=—absinC,所以当ABC的面积取得最大值时，ab最大,

32

结合(1)中条件a+4b=8,即可求出。人最大时，对应的。力的值，再根据余弦定理求出边c,进而得到.ABC的

周长.

【详解】

(1)由a(sinA+4sinB)=8sinA,得a(a+4Z?)=8a,

即a+4b=8.

因为b=l,所以a=4.

6

⑵因为a+4Z?=82,

所以就<4,当且仅当a=45=4时，等号成立.

因为ABC的面积S=La>sinC<，x4xs