山东省济宁市泗水县2022-2023学年高二年级下册期中数学试题（解析版）

山东省济宁市泗水县2022-2023学年高二下学期

期中数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知等比数列｛""｝的前2项和为24，4—&=6,则依=

111

A.1B.JC.-D.

248

K答案工D

K解析U因为。24=6,所以qwl,

q+%=a\（i+^）-24

1/111

所以=4,解得,二a‘所以4+5al=24,即。1=16,

、n_171n2In3,、

2.设〃=—,b=,c=n,则z（）

e23

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

［答案ID

［解析?设〃"=皿，贝ur（x）=L"

JCX

令/"（x）=^^=o,则％=e,

所以当xe（0,e）时,f^x）>0,单调递增;当xe（e,+8）时，/（无）<0,/（九）单

调递减；

X«=j=/（e）,6=殍=浮=/（4）,C=?=〃3）,

所以/■（e）>/（3）>/（4）,

即b<c<a•

故选：D.

3.小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为工和工,

34

且两人同时加班的概率为工，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为

6

（）

,1123

A.—B.-C.—D.一

12234

［答案XC

k解析』记“小李加班”为事件A,“小陈加班”为事件B,则

P（A）=:p（3）=g，P（AB）=:

故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为P（B\A）=彳*=

故选：C.

4.如图，4知函数/⑺的图象在点尸（2,/（2））处的切线为1,则〃2）+八2）=（）

B.-1C.0D.2

K答案1c

（解析I由图象可得，切线过点（0,6）和（3,0）,切线斜率为左="9=—2,/f（2）=-2,

0—3

切线方程为二+==1,

36

则切点坐标为（2,2）,有了⑵=2,

所以〃2）+〃2）=2-2=0.

故选：C

5.中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验

舱.2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键

部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“厂字形架构，我国

成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安

排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（：

A.72种B.90种C.360种D.450种

k答案』B

（解析］由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人,

所以共有•A；=90种;故选:B.

A；

6.定义：在数列｛%,｝中，若满足-一—=d（〃eN*，d为常数），称｛4｝为“等差比

a

4+1n

%=3,则血空等于

数列已知在“等差比数列“｛4｝中，4=%=1，

%021

A.4x20222—1B.4X20192-1

C.4X20202-1D.4X20212-1

（答案ID

k解析I由题意可得：—=3,&=1,&—包=2,

a24a2q

a.

根据“等差比数列”的定义可知数列3是首项为1,公差为2的等差数列,

则，=1+(〃—1)x2=2〃-1,

所以£2221=2x2022—1=2x2021+1,^21=2x2021—1,

“2022”2021

所以皿=%21x%221=(2x2021+1)(2x2021-1)=4X202F—1.

“2021”2022”2021

故选：D

7.已知函数了(尤halnx-K+ex在定义域内单调递减，则实数。取值范围是()

A.[-9,-KO)B.(-9,-KO)

C.(-oo,-9)D.(-oo,-9]

K答案UD

k解析》由已知，函数/(%)的定义域为(0,+司，f\x)=--x+6.

X

由/'(x)=alnx—gf+6x在定义域内单调递减，所以尸(x)〈0在(0,+。)上恒成立,

即3―X+6K0,可转化为a6%在（0,+“）上恒成立，所以。<卜2一6%）皿.

因为y=尤？—6x=（x—3）—9,所以（厂—6x）.=-9,所以a4—9.

因此实数a的取值范围是（-8,-9].

故选：D.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数

/（九）=国称为高斯函数，其中尤eR,国表示不超过x的最大整数,例如：[-L1]=-2,

[2.5]=2,则方程[2x+l]+|x]=4x的所有解之和为（）

1337

A.-B.-C.一D.-

2424

K答案Xc

K解析UVXGR,3keZ,使左<2x+l<左+1,则[2x+l]=左，

上一]k

可得----<x<—,2k—2<^x<2k,

22

k—1k—1

若左为奇数，则——eZ,所以[幻二——,

22

/.[2x+1]+[x]^=4x,则2左一2《左+^—<2左,

角军得一1〈左43,.,.左=1或左=3,

当左=1时，0«元<,，[^]=0,[2x+1]=1,/.l+0=4x^>x=—e

24

3

当左=3时，[%=1,[2x+l]=3,/.3+l=4x^>x=le

2

若k为偶数,则AcZ,所以印二与—1,

22

[2x+1]+[x]=k+g—1=4%,则2左一2（左+g—1<2左，

解得一2〈人<2,.•・左=0或左=2,

当左=0时，—W%<0,..[x]=—1,[2x+1]=0,—1+0=4x=>x=—E—,0

242

当左=2时，—<x<1,/.[%]=0,[2x+1]=2,/.0+2=4%x=—,

22

1113

因此，所有解之和为：—1-1-----1—=一,

4422

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在（2x-工］的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是H20B,第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256

［答案》AC

（解析》根据二项式定理，（2x—口的通项公式为％=C”-*（—球产2*,

对于A,常数项为C^24（-l）4=1120,故A正确；

对于B,第四项的系数为C；24—1）3=一］792,第六项的系数为C；28-5（—I/=用8,故B

错误；

对于C,因为九=8,所以各项的二项式系数之和为2'=256,故C正确；

对于D,令％=1,各项的系数之和为1,故D错误.

故选:AC.

10.己知事件A,3满足尸（A）=0.5,尸（8）=0.2,贝！!（）

A.若BgA,则P（AB）=0.5

B.若A与8互斥，则P（A+3）=0.7

C.若P（HA）=0.2,则A与3相互独立

D.若A与8相互独立，则P（/电）=0.9

K答案XBC

K解析》对A,因为30所以o（AB）=P（5）=0.2,错误；

对B,因为A与8互斥，所以P（A+5）=P（A）+P（5）=0.7,正确;

对C,因为A）喘）=02,所以尸（AB）=0］，而P（A）=0.5,P（5）=0.2,

所以P（AB）=P（A）P（B）=0.1,正确;

对D,因为A与8相互独立，所以A与否相互独立，所以,

P（AB）=P（A）P（B）=P（A）x[l-P（B）]=0.5x0.8=0.4,错误.

故选：BC.

11.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“（〃eN*）,若q〉0,S4=Si2,则（）

A.公差d<0B.%+a9<0

c.S”的最大值为'D.满足S”<。的〃的最小值为16

[答案》AC

K解析》因为6>0,S4=工2，

则4（。；？）=12（。;砧,即4+%=3（囚+%），

2

则4=一1?"1<0，故A正确；

%+为=2囚+14tZ=-d>0f故B错误；

由%+%>0，得%>0，

为二a1+8d=—6?<0,

因为d<0,a]>0,

所以数列｛4｝是递减数列，且当〃W8时，«„>0,当〃29时，。“<0,

所以S“的最大值为Sg,故C正确；

「d2（a.216a

n2C2）1515

令S"<。，解得n>16,

所以满足S“<0的〃的最小值为17,故D错误.

故选：AC.

12.定义在（0,?上的函数/（x）,已知/'（%）是它的导函数，且恒有

cos%・/'（x）+sinx./（jr）<0成立，则有（）

C./愕〉岛用D.后£）<鬲£）

[[答案』C

(解析力令g(x)=/区,

COSX

cosx-/，(x)+sinx-/(x)

则g'(x)=

cos2x

因为cosx./'(%)+sinx-f(x)<0,

所以g'(%)<0,

则g（x）=以“在f0,父上单调递减.

COSX

故选：c

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中

随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为

K答案X-

3

（解析》没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”

记事件均表示第一次取到红球，&表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，

则P（K）=（，P（G"）=P（G）P（%|5）=%；=（，

...没有取到黄球的概率为P=-+—=-.

4123

故（答案》为：工

3

+aa

14.在等比数列｛。”｝中，〉0且4（）12=5，贝I」logs%+logs«2+l°g52022+l°g52023=

(答案》2023

k解析Ulog5%+log5a2++log502a22+1°§512023=l°g5(4122022a2023)

=1Og5（%012%012，％012）=l°g5W5'-5^=IOg55=2023,

故［答案X为：2023

15.已知定义在R上的可导函数/(%)的导函数为了'(%),满足/''(X)—/(x)<0,且

/(%+1)=/(1-x),/(0)=e,则不等式/(£»〉e*T的解集是.

K答案X(―8,2)

(解析》设8(司=/单，=:‘(")："")<0,，g(x)在R上单调递减.

•.•/(x+l)=/(l—x),.•./(%)的图象关于直线x=l对称，.•./(2)=/(0)=e,

g⑵==LV/(x)>ex-1,,即g(x)>g(2),，x<2,

eeee

故不等式/(x)>e*T的解集是(-8,2).

故(答案》为：(f,2).

16.过点(―1,1)与曲线/'(xblna+l)—3e、+2相切的直线方程为.

［答案》2x+y+l=。

k解析》设切点坐标为(王，/)，((x)=击—3e)1(％)=二-39

则切线方程为y-％=———3e3(x-xj,因为(-1,1)在切线上,

1+X1）

i

所以1-%=—司），即X=-3e*（1+石）+2

又％=111（玉+1）—3e为+2,所以卜1（1+玉）+3为8=0,

令y=hi（l+x）+3xeX,了=^—+3（l+x）e",当1>-1时，/>0,

1+X

所以y=In(1+x)+3xeA在(—1,+8)上单调递增，

所以方程hi(1+玉)+3玉炉=0只有唯一解为再=0.

即切点坐标为(0,—1),故所求切线方程为y+l=—2x,即2x+y+l=0.

故［答案》为：2x+y+l=0

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(1)求值：C：'+C：；；.

n

（2）若A：=56C：,且（1一2九）"=4+6%+。2尤2+。3龙3---Fanx.求

q+a2+a3~\---\-an的值.

Q<5-n<n,,.

解：（1）由组合数的性质，可得。<9-〃。+1解得4OW5.又因为〃cN.，

所以〃=4或〃=5,当〃=4时，原式=C：+C；=5,当〃=5时，原式=C；+C：=16；

⑵由A：=56C：,

，口/\/、（、〃（〃一1）（〃一2）（〃一3）（九一4）（〃一5）（〃一6）

得"〃一1）（〃—2）（"-3）（〃—4）=56x-^——----——-----△——----

'八八八77x6x5x4x3x2xl

即（〃—5乂〃—6）=90,解得〃=15或〃=—4（舍去），所以〃=15,

当"=15时，由已知,得。一=%+%%+4%2+3H-----5％储5,

令x=1,得a。+q+^---H《5=-1，令x=0,得4=1,

所以。］+〃2+〃3-----1-〃15=—2

18.已知/（X）=2/—癖2-12x+6的一个极值点为2.

（1）求函数/（尤）的单调区间.

（2）求函数/（x）在区间［-2,2］上的最值.

解：（1）由题意可得：/'（X）=6x2—2.mx—12,则/''（2）=24—12=0,解得m=3,

当772=3时，/（x）=2x3-3x2-12x+6,/'（x）=6f—6尤一12,

令/々x）>。，解得x>2或I<-1,

则了（无）的递增区间为（9,—l）,（2,+s）,递减区间为（-1,2）,

可得x=2为极小值点，即加=3符合题意，

故/（无）的递增区间为（7,—1）,（2,+8）,递减区间为（-1,2）.

（2）VXG［-2,2］,由（1）可得：

了（力在［―2,—1］上单调递增，在（-1,2］上单调递减，

则函数“X）在区间［-2,2］上的最大值为/（-1）=13,

又•••/（-2）=2"（2）=-14,即2）>〃2）,

则函数/（无）在区间［-2,2］上的最小值为了（2）=-14,

故函数“X）在区间［-2,2］上的最大值为〃-1）=13,最小值为/（2）=-14.

19.已知等差数列｛4｝的前八项和为S“，公差邑，凡，星+4成等差数列，出，%，

。8成等比数列.

（1）求s〃；

（2）记数列｛〃｝的前〃项和为北，2b”-T"=%~,证明数列为等比数列，并

七Isn\

求也｝的通项公式.

解：（1）由S2，S4,a+4成等差数列，生，为，。8成等比数列可得

S+4+S,=2§4[5%+10d+4+2a]+d=2（4%+6d）

<22nq=2,d=2,

、。4=。2。8（%+3d）=（Q]+d）（Q]+7，）

〃1）r

S“-2n-\——-----x2="+〃

〃2

33

（2）由2b“—Z,得2伪一q=5n4=万,22=7；+

+"nn+1

故Zb,-=Tn+1+-------,两式相减可得

n+1〃+2

——+-----=2—+-----

n+1n+2n〃+1

而论--—+-----，所以他一不「为公比为2的等比数列，且首项为

nn+1

故优_工+<=2〃T,进而优__L+2〃T

nn+1nn+1

20.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进

入决赛.规定:先累计胜两场者为冠军,一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，

将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下，甲队中球员/都会参赛，他上场与不

321

上场甲队一场比赛获胜的概率分别为-和一，且每场比赛中犯规4次以上的概率为一.

554

（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；

（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；

（3）已知球员又在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率.

解：⑴设4="第i场甲队获胜“，耳="球员M第i场上场比赛”，i=l,2,3.

由全概率公式P（4）=P⑷区）（瓦）网阕瓦

।J\।JJ乙U

（2）X的可能取值为2,3.

311

由题意知尸（A）=§，由（1）知尸（4）=.，

则尸闾=|,尸（司=1,

尸（x=2）=尸（44）+尸（4/=尸⑷尸（4）+尸⑷尸（4）=%1+%3=言,

•J乙UJ乙UJ.UU

尸(X=3)=—(X=2)嚏,E(X)=2*+3噎嗡

(3)尸(瓦)此时尸(A)="|,

4

p（A阕瓦+4氐&|瓦+44引瓦）=网4阕瓦）+夕（4%闻瓦）+。（&4|瓦）

3233222256

=—X—+—X—X—+—X—X—=------.

55555555125

（、为奇数,、

21.己知数列｛4｝满足q+%=2%，%+1=<c1/粕，数列也｝满足c'=%〃--

q+2,“为偶数

（1）求数列｛%｝和｛4｝的通项公式;

（2）求数列｛与｝的前几项和S,.

3%,〃为奇数

解：（1）4+1得。2=3%,。3=%+2=3%+2,

a“+2,”为偶数

因为〃]+〃3=2。2，即。1+3q+2=6〃],解得q=l,

由g=〃2〃-1，得。1=%=1，Cn+\~a2n+\，

又a2k~3〃2左-1，12%+1=a2k+2,k£N,

故%A+i=+2,所以，+i=3/+2,即％M=3C〃+2,

所以%+i+l=3(g+l),

又q+l=2,所以数列｛g+l｝是以2为首项，3为公比的等比数列,

所以c,+1=2.3。所以的=2・3"T—1,

a

则in-\=2•3"T-1,故a2n=3a2”T=2•3"-3,

n-\

2・3亍-1,“为奇数

所以a”=<

2・3万-3,〃为偶数

(2)当〃为偶数时,

S〃=(q+/++氏一1)+(。2+。4++CLn)

/\

=4(6+〃3+,，+a"7)=4q+Q++g

I2>

21-3，

nn

=4xI)=4-32-2n-4,

1-32

当〃奇数时,

n+l(n+1、n+1

S,=S“+]-a“+]=4-3k-2(〃+l)一4一2-3~-3=2-3三一2"一3,

\7

n

4・35—2〃一4,〃为偶数

综上所述,

n+l

2・3可—2〃—3,伪奇数

22.已知函数/(x)=ae'T-Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,/⑴)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若不等式/(无)21恒成立，求。的取值范围.

解：(1)Qf(x)-ex-lnx+1,f'(x)=exk-f'(l)-e-1.

x

Q/(l)=e+l,，切点坐标为(l』+e),

，函数了(%)在点(1次D处的切线方程为y-e-1=(e-1)(%-1),即y=(e-1)x+2,

切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),

e-1

1-22

・•・所求三角形面积为一x2x|-----1=------.

2e-1e-1

(2)[方法一]：通性通法.

Q/(x)=aex~x-Inx+In<2,f\x)=aex~x--,且a〉0.

x

设g(x)=/(尤)，则g'(x)=a/T+±>0,

x-

g(x)在(0,+a))上单调递增，即f'(x)在(0,+8)上单调递增，

当a=1时，/'⑴=0/(力加=/■⑴=1,(无)21成立.

111--1

当时，一<1，•彘)r(l)=a(e。-l)(«-l)<0,

a*7a

存在唯一无。>0,使得了'(Xo)=a*T—工=0,且当xe(O,Xo)时r(x)<0,当

玉)

1

0

%£(%0,+8)时/'(%)>0,ae=一，In<2+x0-1=-Inx0,

%

因此/(x)min=f(Xo)=a*T—lnXo+ln。

-FIna+%-1+InaN2Ina-1+2/—,—2Intz+1>1,

%

.：/(x)>l,.：21恒成立；

当0<a<l时，/(l)=a+lna<a<l,/⑴<l,/(x)21不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

［方法二］最优解工同构.

由f(x)十1得ae*T-Inx+lna之1，即^na+x~}+ln«+x-l>lnx+x，

而lnx+x=elnv+lnx,所以+ln«+x-l>etax+lnx.

令h(m)=d"+m,则/?'(加)=e"+1>0,所以〃在R上单调递增.