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2024/5/31

线性方程组与向量组的关系

西安电子科技大学张鹏鸽线性代数的研究对象是解线性方程组，高斯消元法的核心实质上是对方程组的系数矩阵或增广矩阵进行初等行变换来求解的.而矩阵分块理论告诉我们矩阵可按行分、也可按列分，将其理解成行向量组或列向量组.那么线性方程组与向量组有何关系？进而与向量空间又有何联系？线性方程组与向量组的关系齐次线性方程组非齐次线性方程组若记，，针对非齐次线性方程组则方程组可记为称此形式为线性方程组的向量形式.显然原方程为齐次线性方程组原方程为非齐次线性方程组相应地，有关方程组的解可用向量组的形式叙述：线性方程组有解可由的列向量组

线性表示进一步有方程组解唯一

可由的列向量组

线性表示，且表示式唯一方程组解无穷

可由的列向量组

线性表示，且表示式不唯一于是我们可以将判断向量组的线性相关、线性无关，及求向量组的秩和极大线性无关组理论应用线性方程组及矩阵理论求解之.例如，求下列向量组的一个极大线性无关组与秩为求解此类问题，我们需掌握下面这一理论.证：对,按列分块，分别记为定理：若矩阵经过初等行变换化为矩阵，则

的列向量组与的列向量组有相同的线性相关性.设是阶矩阵经过初等行变换后化为，即存在可逆阵，使.则即设的某些列有关系式相应地有即的列向量组与的列向量组有相同的线性关系.有了这一结论，上述问题便迎刃而解了.即将要求的向量组按列组成一矩阵，施行初等行变换，其列向量组的线性相关性不变.解上例，用列向量构造矩阵并作初等行变换：易见，且为原向量组的一个极大线性无关组，亦是原

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