新高考数学二轮复习恒成立与存在性求参（选填题6种考法）（解析版）

专题04恒成立与存在性求参（选填题6种考法）

考法解读

形如ax'+bx+c不等式在R恒成立或能成立

r「=0广誓照>判断是否符合题意

一元二次不等式

[a丰。——>开口+△

在R（能）恒成立

-分离参变量转化成最值

控制两端法----两端的函数值均为正为负

一元二次不等式分离参数法

一在某区间（能）-

J大于最大值

恒成立[小于最小值

分离参数法----参数与无参函数的最值=>

[大于最小值

L、于最大值

（注意：是否取“=”依题意决定）

一元一次不等式-£分离参数法

控制两端法

恒

成

单r分离参数法

变

立

量恒成立问题转化为的图象在上方（或下方），

与・-数形结合法----

模进而求得参数的范围

存

型

恒成立问题转化为最值问题，讨论求得函数的

在讨论最值法----

单调性与最值，列出不等式，从而求得参数的范围

性

求

一般地，已知函数y=f(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d],

参

分

离

@^Vxie[a,b],V再e[c,d],总有/(不)<€&)成立，故f(x)„,<g(x)11ttt

参

双

数

变

法@^Vx,e[a,h],3x2e[c,d],有/(W)<g(巧)成立,故f(x)11111Vg(x).；

量

不蜡切4则，3xe[c,rf],有成立，故

等2

式

L同构____构造同一种模型，同样部分变自变量，利用导数法求单调

导数法性进行求解

单变量等式（一元二次不等式-R+判别式

一分离参数转相交----转化成两个基本函数有交点

若忆€[<1出，3xe[c,rf],有/（%）=g（s）,

分离参数2

双变量等式

转值域

则/（x）的值域是g（x）值域的子集.

J更换主元—谁已知范围谁做主元

典例剖析

考法一一元二次不等式在R考法四双变量的恒成立或能成立

恒成立或

考法二一元二次不等式在某区间考法五等式恒成立或能成立

能成立求参

考法三单变量的恒成立或能成立考法六更换主元

考法——元二次不等式在R

【例1-1](2023•青海西宁•统考二模)已知命题P：王eR,尤2+2尤+2一”0,若p为假命题，则实数。的

取值范围为()

A.B.口,+8)C.(一8,1)D.(fl]

【答案】D

【解析】因为命题P：炉+2尤+2—。<0,所以M：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因为P为假命题，所以力为真命题，即VxeR,f+2x+2-“20恒成立，

所以A40,即22-4(2-a)V0,解得故选：D.

【例1-2】(2023•四川•校联考模拟预测)"m>0"是汨xeR,(加一1)炉+2(l-/n)x+340是假命题''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意，命题"HreR,(m-1)/+2(1-m)x+3V。是假命题”

可得命题“VxeR,(m-l)x2+2(1-in)x+3>0是真命题”

当加-1=0时，即〃?=1时，不等式3>0恒成立；

m-1>0

当根一IwO时，即机时，则满足|厂/\i2/、，解得1〈机<4,

[2(l-m)J-4(m-l)x3<0

综上可得，实数1W根<4,

即命题"3XGR,(m-l)x2+2(1-m)x+3<0是假命题〃时，实数加的取值范围是口,4),

又由>0〃是''"m<4〃的必要不充分条件，

所以"机>0"是"HXER,(加-1)%2+2(1-㈤x+34。是假命题〃的必要不充分条件，

故选：B.

【例1-3】（2023•全国■iWi二对口iWj考）已知命题P：三尤eR,使得"加2+2x+l<0成立"为真命题，则实数a

的取值范围是.

【答案】（f』）

【解析】因为命题P：士©R,使得"依?+2无+1<0成立"为真命题，

当。=0时，2x+l<0,贝故成立；

当a>0时，A=4-4«>0,解得：0<a<l；

当a<0时，总存在加+2x+l<0;

综上所述：实数a的取值范围为

故答案为：（一叫1）

【变式】

1.（2023・四川广安•四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“现eR,使":-皿。+1<。"是假命题，

则实数m的取值范围为.

【答案】[0,4）

【解析】由题意可知：命题：VxeR,Ara;。-7/zx+l>0.是真命题，

①当相=0时，结论显然成立；

fm>0

②当〃件0时，贝叫八2,解得0<〃2<4；

[A=/7j--4m<0

故答案为：[0,4）.

2.（2023秋•江苏连云港•高三校考阶段练习）若不等式如2+〃,_4<2/+2彳-1对任意实数兀均成立，则实

数机的取值范围是

【答案】（一1。,2]

【解析】因为不等式〃1r一4<2/+2彳-1对任意实数》均成立，

即不等式（m-2）x2+（m-2）x-3<0对任意实数尤均成立，

当机-2=0,即加=2时，有—3<0恒成立，满足题意；

m-2<0

当根-2片0,即时，则有L,c\2n>解得T0<〃z<2,

A=（m-2）+12（m-2）<0

综上所述，实数机的取值范围为（TO,2].故选：B.

3.（2023•广东潮州）若命题："叫eR,使（疗-1濡-（9+1）%+120"是真命题，则实数m的取值范围为一.

【答案】

【解析】当苏-1=0即加=±1时，易得m=l时命题成立；

当加2一1vo即一1vm<1时，A=（m+1）2-4（m?-1）=-3m2+2m+5>0.\-l<m<l

当根2一1>0一根<一1或m>1时，贝IJ命题等价于A=（m+1）?-4（m2-1）=-3m2+2m+5>0.\l<m<-,

故答案为：—1<m<

考法二一元二次不等式在某区间

【例2・1】（2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题-焉+3/+，>0〃为真命

题，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-2）B.（-oo,4）C.（-2,+oo）D.（4,+oo）

【答案】C

【解析】因为命题"*oc[-1,1],-%；+3%+。>0”为真命题，

所以，命题“土i）£>无；-3%〃为真命题，

所以，不«-1,1]时，（看一,

因为，y=/_3%=[一一（,

所以，当时，ymin=-2,当且仅当x=l时取得等号.

所以，不时，”（片-3/%=—2,即实数。的取值范围是（—2,依）

故选：c

【例2-2]（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题〃丑qi,4],使西2+%—2>0成立〃

的否定是真命题，则实数丸的取值范围是（）

A•（一8』B,

O

【答案】C

【解析】若"3x，[L4],使2牡+%_2>0成立"的否定是:

z,Vxe[l,4],使2£+x-2W0"为真命题，即XW—；令=丁=21：-£|

由xe[l,4],得所以〃x)1nm="4)=-：，所以2W-：,故选：C.

X[_4Joo

2

【例2-3】（2023•辽宁大连）（多选）已知pVxe[-l,l],x-ax-2<0,则使p为真命题的一个必要不充

分条件为（）

A.-2<av1B.—1<a<1C.—1<a<2D.0<a<l

【答案】AC

【解析】令/0）=/-方-2,则/（X）的图象开口向上,

若Vxe[-l,r|,/(无)<0,解得-1<a<1,

/(-1)=1+。一2<0

对于A,当-l<a<l时，-2<a<l成立，而-2<a<l时，一1<a<1不一定成立,

所以-2<〃<1是p为真命题的一个必要不充分条件，所以A正确,

对于B,是0为真命题的充要条件，所以B错误,

对于C,当一1<。<1时，一1<。<2成立，当一/<。<2时，一1<。<1不——定成立，

所以7<a<2是〃为真命题的一个必要不充分条件，所以C正确，

对于D,当一1<。<1时，0Wa<l不——定成立，当0<a<l时，一1<。<1成立，

所以04。<1是〃为真命题的一个充分不必要条件，所以D错误，

故选：AC

【例2-4】（2023秋•湖北宜昌）若竺土1<0（"件0）对一切x“恒成立，则实数机的取值范围是（）

nvc+1

A.1m|m<3jB.[同m<-；｝C.\n^m>21D.|m|—2<m<01

【答案】B

【解析】因为不等式"―-<0^>（m2x-l）（mx+l）<0（m^O）,

mx+1

所以（机2犬-1）（如+1）=0=%=4或%=---（）,

mm

①当机>0时，一~-<—r»

mm

所以不等式（〃72*一1）（〃《+1）<0的解集为｛划一」~<尤<±｝,

mm

所以原不等式不可能对一切x24恒成立，故相>0不符合题意;

②当加《-1时，二<一~-,

mm

所以不等式(加工-1)(如+1)<0的解集为或x>-,｝，

mm

又因为原不等式对一切1之4恒成立，

m<-1?

所以11/解得根<一1,

——<4

、m

③当一lvmvO时，二〉一~-,

mm

所以不等式(m2x-l)(mx+1)<0的解集为｛xI%工或x>,

mm

又因为原不等式对一切％之4恒成立，

-1<m<0^

所以11..,解得一1<根<一]，

丁<4?2

、m

综述，<——.

故选:B.

【变式】

1.(2023春・河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)若命题〃*«1,3],炉+^+1>()〃是假命题，则实数

a的最大值为.

【答案】

【解析】由题知命题的否定"\/%£口,3],工2+改+1<0〃是真命题./(X)=X2+OX+1(XG[1,3]),则

[ff常(l]==a3+a+2<10,<0,解得小150，故实数。的最大值为一1寸0

故答案为：-

3.(2022秋•北京•高三统考阶段练习)若存在xe[0,1],有£+(l-a)x+3-a>0成立,则实数。的取值范围

是.

【答案】(-十,3)

【解析】将原不等式参数分离可得a<\+x+3,设〃X)=L+X+3,

x+1v7x+1

已知存在[。内，有龙2+(1—a)%+3—Q>0成立，则a</(x)1mx，

令"X+1,则/⑺=（I）2；I+3）：+3=,+：_],/e[l,2],

由对勾函数知f（x）在

[1,若）上单调递减，在（若,2]上单调递增，

335

/⑴=1+「=3,/（2）=2+--1=-,

所以〃x）a=/（l）=3,即"3,

故答案为：(7,3).

2.(2022秋,重庆沙坪坝•高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习)若x>l时，4d-(3a+2)x+3a+72()恒成

立，则。的取值范围为.

【答案】a<6

【解析】解法1：x>l时，4x?-(3a+2)x+3a+72。恒成立,

4x~—2x+7

即3。（1）<4x2-2x+7恒成立,即〃-3（尤一1）恒成立.

4X2-2X+74（f+l）2-2（r+l）+7

令1-1=/（/>0）,贝壮=r+1,

3（x-l）3t

当且仅当*=Q7,即，=3['等号成立,

故aW6,即。的取值范围为

解法2：令/（兀）=4x2—（3a+2）x+3a+7,

则由题意知，〃x)20,在时恒成立，即%>1时，”同而了。.

①当f«1,即时，在[1,+8)单调递增,

8

止匕时，/(x)n,n>/(1)=4—(3。+2)+3。+7=9>。成立,

所以,〃x)20恒成立；

②当的5>1,即。>2时，/(x)在上单调递减，

在(十，+-单调递增，所以十)，

此时只需，即可，即-(3a+2)x[^^)+3a+720

解得，-2<a<6,02<a<6,

综上所述，。的取值范围为。<6.

故答案为：a<6.

3.（2023・全国•高三对口高考）3（©=浸一3尤+1对于总有/（尤）>0成立,则实数。的最小值

为.

【答案】4

【解析】由题意可得了'（%）=3加-3,

当aWO时，/'（%）=3依2-3<0在［-1,1］上恒成立,

故/（元）在［-1,1］上单调递减，则/。）*=八1）=。-2<。，不合题意;

当0<aWl时，f\x）=3ax2-3=3fl

由于521,一七4-1,故/'（力（。在［-1,1］上恒成立,

仅当。=1,元=±1时，等号成立,

则f（x）在［-1,1］上单调递减,则/。）血"=八1）=。-2<。，不合题意;

当a>l时，/'（尤）=362-3=3a

由于0<-<1,-1<--7=<0,故/（X）在（-y=,l）,（一L上单调递增,

-Ja7ayja

在（--［，；）上单调递减，

7a7a

故令-0+42/刀1二」

+1>0,解得“24,

J7a

故实数。的最小值为4,故答案为：4

4.（2023秋•安徽铜陵•高三统考阶段练习）若命题"女目-1,2］,使得尤2+小一〃.520"是假命题，则加的

取值范围是.

【答案】（-2,1）

【解析】由题意原命题的否定“Vxe［T,2］,使得f+如一〃2-5<0"是真命题,

不妨设"X）=X?+M-m-5=［x+晟］-g-m-5,其开口向上，对称轴方程为x=-^,

则只需F（无）在［T,2］上的最大值1mx<0即可，我们分以下三种情形来讨论:

情形一：当-葭4-1即〃出2时，/（元）在［-1,2］上单调递增，

此时有［/（尤）L*=〃2）=加一1<0,解得m<1,

故此时满足题意的实数加不存在；

情形二：当-1〈-£<2即Y<2时，〃元）在-1,-y上单调递减，在-£,2上单调递增，

此时有o⑺L=max{〃2）J（_l）}<。,只需

解不等式组得-2<m<l,

故此时满足题意的实数加的范围为-2<唐<1；

情形三：当-122即机WT时，f（x）在［-1,2］上单调递减，

此时有［〃X）L*=F（T）=-2〃L4<0,解得机>-2,故此时满足题意的实数机不存在；

综上所述：加的取值范围是（-2,1）.故答案为：（-2,1）.

考法三单变量的恒成立或能成立

【例3-1】（2023•全国•高三对口高考）若存在负实数使得方程2工-。=一1成立,则实数。的取值范围是（）

x-1

A.（2,+oo）B.（0,+oo）C.（0,2）D.（0,1）

【答案】C

【解析】由题意可得：a=T-一

x-1

令无）=2"--二（尤<0）,因为y=2*,y=-一二在（一双。）上均为增函数，

X—LX~1

所以〃x）=2,-一、在（一00）为增函数，且〃0）=2,2工>0,

x-1X~1

所以0<2'-二：<2,所以实数a的取值范围是（0,2）.

故选：C.

【例3-2］（2023•江苏南通,三模）若Jxv（O/）,sin2尤-尽inx<0”为假命题，则左的取值范围为（）

A.（-a>,-2］B.（F,2］C.（-oo,-2）D.（~°0,2）

【答案】A

【解析】依题意知命题"*w（0,下）,sin2x-Asinx<。"为假命题，

贝Ij"X/xG（0,7i）,sin2x-feinx..0〃为真命题,

所以2sinxcosx..feinx,则鼠2cosx,

解得左，-2,所以上的取值范围为（-8,-2].故选：A

【例3-3]（2023•吉林・吉林省实验校考模拟预测）已知命题p:3x«0,3）,尤2一。一21n*40.若P为假命题，则

。的取值范围为.

【答案】（/1）

【解析】P为假命题

iP：e（0,3）,厂一a—21nx>0为真命题，故avY—zlnx,

令/（力=幺-21nx,xe（O,3）,则广⑺=2尤_2=（0,3），

令用X）>0解得1<X<3,令/'（力<0解得0<x<l,

所以广（X）在（0,1）上单调递减,在（1,3）上单调递增，所以〃力*=;'⑴=1,所以a<L

故答案为：（一叫1）.

【例3-4]（2023秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式ae3，+2x+lnqNlnx对任意

xe（O,y）成立，则实数。的最小值为.

【答案】工

3e

【解析]因为ae'+2%+lna2111%对任意了£（。,+00）成立，

不等式可变形为:ae3x+3%+lna21n%+%,即*73%+（3%+1口〃）之山1+斓，，

即e3"+ln£Z+（3尤+Ina）2elnx+Inx对任意x£（0,内）成立,

记g（x）=e"+x,则g<x）=e"+l>0,所以g（x）在R上单调递增,

贝Ue3x+lna+（3x+ln«）>elnx+lnx可写为g（3x+lna）之g（lnx）,

根据g（x）单调性可知，只需3x+Ina21nx对任意iw（0,y）成立即可,

即InaNin%—3%成立，记/z（x）=ln九一3九，即只需Ina之力（九）惭,

因为〃34_3=必故在xe[o,'上，h\x）>Q,%（x）单调递增,

XX

在xeg+8)上，h'(x)<0,//(x)单调递减，所以/z(x)1n叱=/z，J=lng-l=ln：,

所以只需丘吟即可，解得心。故答案为金

【变式】

1.(2023•四川成中校考模拟预测)命题"*目1,2],使得f+lnx-aVO"为假命题，则。的取值

范围为.

【答案】

【解析】若"*句1,2],使得Y+m元”<0"为假命题，

可得当xe[l,2]时，尤2+加尤)a恒成立，只需。<(f+lnx)1nhi.

又函数y=/+lnx在[1,2]上单调递增，所以a<l.

故答案为：(—(50,1)

—+x,xW1

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=logM，x>l，贝厅(〃3))=;若对任意的xeR，

、3

都有/(%)<|"1|成立，则实数上的取值范围为.

35

【答案】—2(-^,-]J[-,+^>)

44

(、

【解析】/(/(3))=/log,3=/(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,

\37

对任意xeR,都有;'(x)W%T成立，即/(无)1||,

画出函数“X)的图象，如图所示

—X2+X,X<1]

观察/(%)=log]X,x>l的图象可知，当％=5时，函数/(%)

max4

、3

iQ5

所以解得左v：或左

3535

国实数人的取值范围为(-8,不匕,+8).答案：-2；(-«,-][-,+<»).

4444

3.(2023•全国•高三专题练习)若命题"玉0c[0,e],使得x；e“T>l成立."为假命题，则实数。的最大值为?

【答案】--

e

【解析】由题意得知命题"Vxe[0,e],Ye"一<1成立

(1)当x=0时，不等式x2e"iW1成立；

(2)当0<xWe时，由尤则e"T«L

不等式两边取自然对数得依-lW-21nx,可得a《l21nx,

X

构造函数〃彳)=匕也，其中o<x《e,则(⑺=劲口，

XX

令尸(x)=0,得了=£>e，当。<xVe时，/'(“<0,

所以函数y=〃x)在区间(0,e]上单调递减，则[〃尤)L,=〃e)=T，

所以aV-L,因此实数。的最大值为-L

ee

考法四双变量的恒成立或能成立

【例4-1](2023•辽宁大连)已知/(x)=lg(x2+l),g(_r)=2*7〃，若存在占耳。,3],使对任意的.W1,2],有

/(尤1)08(9)成立，则实数加的取值范围是.

【答案】[3,+8)

【解析】当xe[0,3]时,/⑴叱=”3)=1.当xe[1,2]时,g(x)加=g(2)=4-m.

若存在不«0,3],使对任意的有存在安g(%)成立,

等价于/Wmax2g(X)max，可得124-租，所以丁23.

故答案为：[3,+8)

【例4-2】(2023秋•江苏•高三宿迁中学校联考开学考试)已知e为自然对数的底数，若对任意的士e[0,1],

总存在唯一的马目-1』，使得%+考e勺-a=。成立，则实数。的取值范围是.

【答案】(1+Le]

e

【解析】由玉+—a=0,得=a-xx,

令f(x)=X2CX,XG[-1,1],求导得/'(%)=(x2+2x)ex=x(x+2)ex,

当xe[-l,O)时，((无)<0,函数/(x)在[-1,0]上单调递减，函数值从工减小到0,

e

当尤w(0,l]时，f'(x)>0,函数"X)在[0,1]上单调递增,函数值从0增大到e,

令g(x)=a-尤,xe[0,l],显然函数g(x)=a-x在[0,1]上单调递减，函数g(x)的值域为[a-1,a\,

由对任意的占总存在唯一的x,w[T』，使得为+x；e*-a=0成立，得团-l,a]=(2,e],

e

'1I

ci-I>—I

因止匕1e,解得1+—<aVe,

,e

a<e

所以实数。的取值范围是(1+Le].

e

【变式】

1.(2023秋•湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习)已知/(x)=log2(r),g(尤)=2”",

“e[-4,-2],川e[-4,-2],使"&)一(&)区1成立.则a的取值范围()

A.[-3,-2]B.[-5,-2]

C.[-3,-1]D.[-A-2]

【答案】B

【解析]由题设V±e[-4,-2],王2©[-4,-2],使g(%)-l</(占)<g(%)+l成立，

所以《在“4,-2]上成立,

/("maxTWgOOm

pW„+1=/(-2)+1=2

对于/(%)=log2(-%)m

1raol=1，

g(x)min

对于g(x)=2…,有

g(无)max

2—<2-4-a<l

所以即可得—5Wa4—2.故选：B

2-2一">i-2—a>0

2.(2023•全国•高三专题练习)已知f(x)=lnx-ax+l,g(x)=xe、,且对xe(0,+«)都有/(无)<g(x)成立，则实

数°的范围为_______________

【答案】[-L—)

【解析】由题意，函数/(x)=ln尤-or+Lg(x)=xe，，

要使得〃尤)<g5),即xe，21nx-ax+l,即。2巨1七旦对xe(0,+s)恒成立，

X

即qN[(x+lnx)-ei]+l-x对16(0,+OT)恒成立,

X

令M尤)=e*-x-l,可得/z'(x)=e*-1,

当x>0时，//(x)>0,/z(x)单调递增；当x<0时，h'(x)<0,%(x)单调递减，

所以函数h(x)在(-甩0)单调递减，在(0,+◎单调递增，

所以/7(X)N/Z(0)=0,即e，-x-120,即e*2x+l,当且仅当元=0时，等号成立，

设a(x)=x+ln尤,则u(x)在(0,+8)上为增函数，

而"⑴=1>0,故“(无)在(0,+8)上存在零点飞,

ee

故(x+Inx)—e%+ln%<x+Inx—(x+Inx+1)=—1,当且仅当x=/时等号成立，

即[(x+ln^-e'+Ml+l—Xg—],所以a2—1,

X

即实数，的取值范围是[T，+8).

3(2023秋•重庆•高三统考阶段练习)已知/(%)=分2+],g(x)=；+；：：：，若对“21,叫wR使/(xJWgG)

成立，则实数。的取值范围是.

【答案】J"，-5

\16」

【解析]令%=；+；：：：,贝U左sinx+cosx=l—2左，BPV)t2+1sin(x+(p)=l-2k^

.,、l—2k1

所以sm(x+e)=及4^(。为辅助角，tan^)=-),

故即|1—2左归^^,解得0V左

/\4--丫/、2

由题可知，Vx^l,〃xjvg(x)a=.,即对fl<3=4m-_l.

x23x

令——^0<—<t=—,te(0,1],则y=1/T,

Q4Qa

当"5时，k#T的最小值为-2，即GL=-2，

oJ101O

3(3~

贝而n=一而,即"£「8'一记]’

故答案为：f-a),-77

I16」

考法五等式恒成立或能成立

金x<l

【例5-1](2023秋・福建三明•高三统考期末)已知函数/(%)=%25,g(x)=f—2x-4,设人为

ln(x+2),x>l

实数，若存在实数。，使得g(b)成立，贝伊的取值范围为()

A.(一00彳B.g,+8)

-37、r37-

C.D.--，-

i22)L22j

【答案】D

【解析】当a<1时，«)=攀=/+：=]+)4-

令t=—,由于a<1且。片0,所以f>l或f<0,所以~~4

.•■/(«)的取值范围是[-；,+©);

当时，"a)=ln(a+2),，/⑷的取值范围是[ln3,+8)；

综上可得/(a)的取值范围是一；，+8)；

要存在实数。，使得〃a)=l-g。)成立，则函数〃。)=1-g(b)2-；,

即g(6)Wj即g伍)=/一26-44“解得：故选：D

【例5-2](2023秋・江苏盐城•高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习)已知函数/'(力=必,

g(x)=&]-m.若％e[—l,2],3x2e[-3,l],使得〃xj=g(%)成立，则实数机的取值范围为()

，19

B.-4,——u-,8o

22

D.

【答案】C

【解析】设函数/⑺在[-1,2]上的值域为A,函数g(x)在[-3,1]上的值域为8,

因为若％e[-1,2],3x2e[-3,l],使得/(占)=gQ)成立，所以

因为〃幻=/,XG[-1,2],所以/⑺在[-1,2]上的值域为[0,4],

因为g(x)=[J-m,

当mWO时，g(x)=[g]-机在上单调递减，所以g(x)在[-3』上的值域为

---HlW01

因为AgB,所以2",m#-<rn<4,又mSO,所以此时不符合题意，

8-m>42

当机>0时，g(x)=]£|-相图像是将y=-加下方的图像翻折到X轴上方，

令g(x)=O得=0,即x=log]〃?

2

①当时，即相色时，g(x)在[-3,1]上单调递减，

g(*Lx=g(—3)=|8-叫，g。)*=g(l)=；-机，所以g(x)的值域，=；一他，|8-时

4N

—~m<01

又所以2，解得加=

|8-m|>4~

②当-3<logjw<l时，即1<加<8时，g(x)在(-3，bg〃)上单调递减，在

222

、

log:"7上单调递增,

27

g(x)min=g(log，=°,=g(—3)=|8-耳或g(x)1mx=g6=,

所以g(x)的值域B=[o,|8-Mi1或1o,，一机,又AgB,所以|8—用24或g-m24,

11

当|8-利24时，解得m44或相212,又万〈根<8,所以5<小44,

17919(1

当不一机24时，解得加工―或加之[,X-<m<8,所以相<8,所以加的取值范围W,4

乙乙乙乙乙IN9

③当-321og,”时，〃也8时，g(M在上单调递增，

所以g(x)max=g(l)=；-机，gCx)*=g(-3)=|8-m|,所以g(X)在[-3,1]上的值域3=|8-加一加

|8-m|<0

119

又A=所以1解得机=8,综上所述，加的取值范围为-,4u-,8.

一一m>422

2

故选：C

【变式】

1.(2023秋・上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试)已知函数y=F(x)的表达式为

〃力=32-1,若对于任意占目0』，都存在々句0』，使得〃西)+〃々+m)=10成立，则实数机的取

值范围是.

【答案】[log23-l,l]

【解析】〃力=32-1在R上单调递增，

当xe[0,l]时，"41m"⑼=2,〃*飒=〃1)=5,

/(x()+/(x2+m)=10,与e[0,l],即10—〃石)目5,8],

[3・2加一1<5?

故[5,8]是/伍+〃。值域的子集，故~,解得log23-lWm〈l.

13•2—l^o

故答案为：[1223-1』.

2(2023秋•江苏镇江•高三统考开学考试)已知函数〃x)=]1+2*+<0,若%es,。],"e(0,同,

[Ainx-x,x>Q

使得/(为)=/(%)成立，则实数力的取值范围为.

【答案】(-°0,0)[e2,+co)

【解析】设“X)在(e,。]上的值域为A,在(0,+向上的值域为B,

若“e(-oo,0],3x2G(0,-KO),使得/(%)=/(%)成立，则

1.当xW0时，贝！|/(x)=—x2+2x+A=—(%—1)2+/1+1,

可知y=-(x-l)~+2+1开口向下，对称轴为x=l,

则在(f,0]上单调递增,可得/(x)</(0)=2,

所以〃x)在(f,0]上的值域为4=(-8,幻，所以(—以旭当

2.当x>0时，贝!]了(无)=/llnx—x,

(1)若2<0,则“X)在(0,+8)内单调递减，

且当X趋近于0时，“X)趋近于+8,当X趋近于+8时，〃X)趋近于

所以B=R,符合题意；

(2)若4=0,贝"(力=一尤<0,即A=(3,0],3=(—,0),不合题意；

(3)若2>0,则/(x)=2-l=^——,

XX

令制x)>0,解得0<x<:；令r(x)<0,解得x>4；

则/(X)在(0,4)上单调递增，在(4内)上单调递减，nJW/(x)<f(2)=^ln/l-2,

且当x趋近于0或+8时，f(x)均趋近于-s,所以3=(­乂山2-刃，

又因为AgB,则21n/l-2>2,

注意到2>0,即解得XZe?；

综上所述：实数2的取值范围为(-8,0)，32,+8).

故答案为：(-0,0)[e2,+oo).

考法六更换主元

【例6】(2024秋•吉林通化•高三校考阶段练习)若四e(g,2j,使得一兄无一1<0成立，则实数x取值范

围是()

【答案】B

【解析】若皿eg,2)使得3d一加-1<0成立,

贝1]一；1彳+3/一1<0,gpAX-3X2+1>0,

当x=0时，1>0成立,

当x>0时，令”/1）=忒-3/+1,在Xe/a]上单调递增，

即/'（2）=2X—3X2+1>0,则（3X+1）（X—1）<0,解得:-1<x<l,

因为％>0,所以0v尤vl,

当x<0时，令/⑷=疝-3炉+1,在2eg,2）上单调递减，

即/&]=）了-3/+1>0,W（2X+1）（3X-2）<0,解得：-1<x<|,

因为x<0,所以-g<x<0,综上：实数x取值范围是[-;,1].故选：B.

【变式】

1.（2023秋•广东珠海）若d+W-勺x+d-Z"〉。为真命题，则x的取值范围为（）

A.（fl]B.（1,3）

C.（一8,1）,（3,+«））D.[1,3]

【答案】C

【解析】由题意知，V//7e[-l,l],/+（机一4）x+4-2〃?>0恒成立，

设函数g（"z）=（x-2）〃z+（x-2）2,

即