
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文档简介
专题04恒成立与存在性求参(选填题6种考法)
考法解读
形如ax'+bx+c不等式在R恒成立或能成立
r「=0广誓照>判断是否符合题意
一元二次不等式
[a丰。——>开口+△
在R(能)恒成立
-分离参变量转化成最值
控制两端法----两端的函数值均为正为负
一元二次不等式分离参数法
一在某区间(能)-
J大于最大值
恒成立[小于最小值
分离参数法----参数与无参函数的最值=>
[大于最小值
L、于最大值
(注意:是否取“=”依题意决定)
一元一次不等式-£分离参数法
控制两端法
恒
成
单r分离参数法
变
立
量恒成立问题转化为的图象在上方(或下方),
与・-数形结合法----
模进而求得参数的范围
存
型
恒成立问题转化为最值问题,讨论求得函数的
在讨论最值法----
单调性与最值,列出不等式,从而求得参数的范围
性
求
一般地,已知函数y=f(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d],
参
分
离
@^Vxie[a,b],V再e[c,d],总有/(不)<€&)成立,故f(x)„,<g(x)11ttt
参
双
数
变
法@^Vx,e[a,h],3x2e[c,d],有/(W)<g(巧)成立,故f(x)11111Vg(x).;
量
不蜡切4则,3xe[c,rf],有成立,故
等2
式
L同构____构造同一种模型,同样部分变自变量,利用导数法求单调
导数法性进行求解
单变量等式(一元二次不等式-R+判别式
一分离参数转相交----转化成两个基本函数有交点
若忆€[<1出,3xe[c,rf],有/(%)=g(s),
分离参数2
双变量等式
转值域
则/(x)的值域是g(x)值域的子集.
J更换主元—谁已知范围谁做主元
典例剖析
考法一一元二次不等式在R考法四双变量的恒成立或能成立
恒成立或
考法二一元二次不等式在某区间考法五等式恒成立或能成立
能成立求参
考法三单变量的恒成立或能成立考法六更换主元
考法——元二次不等式在R
【例1-1](2023•青海西宁•统考二模)已知命题P:王eR,尤2+2尤+2一”0,若p为假命题,则实数。的
取值范围为()
A.B.口,+8)C.(一8,1)D.(fl]
【答案】D
【解析】因为命题P:炉+2尤+2—。<0,所以M:VxeR,x2+2x+2-a>0,
又因为P为假命题,所以力为真命题,即VxeR,f+2x+2-“20恒成立,
所以A40,即22-4(2-a)V0,解得故选:D.
【例1-2】(2023•四川•校联考模拟预测)"m>0"是汨xeR,(加一1)炉+2(l-/n)x+340是假命题''的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意,命题"HreR,(m-1)/+2(1-m)x+3V。是假命题”
可得命题“VxeR,(m-l)x2+2(1-in)x+3>0是真命题”
当加-1=0时,即〃?=1时,不等式3>0恒成立;
m-1>0
当根一IwO时,即机时,则满足|厂/\i2/、,解得1〈机<4,
[2(l-m)J-4(m-l)x3<0
综上可得,实数1W根<4,
即命题"3XGR,(m-l)x2+2(1-m)x+3<0是假命题〃时,实数加的取值范围是口,4),
又由>0〃是''"m<4〃的必要不充分条件,
所以"机>0"是"HXER,(加-1)%2+2(1-㈤x+34。是假命题〃的必要不充分条件,
故选:B.
【例1-3】(2023•全国■iWi二对口iWj考)已知命题P:三尤eR,使得"加2+2x+l<0成立"为真命题,则实数a
的取值范围是.
【答案】(f』)
【解析】因为命题P:士©R,使得"依?+2无+1<0成立"为真命题,
当。=0时,2x+l<0,贝故成立;
当a>0时,A=4-4«>0,解得:0<a<l;
当a<0时,总存在加+2x+l<0;
综上所述:实数a的取值范围为
故答案为:(一叫1)
【变式】
1.(2023・四川广安•四川省广安友谊中学校考模拟预测)若命题:“现eR,使":-皿。+1<。"是假命题,
则实数m的取值范围为.
【答案】[0,4)
【解析】由题意可知:命题:VxeR,Ara;。-7/zx+l>0.是真命题,
①当相=0时,结论显然成立;
fm>0
②当〃件0时,贝叫八2,解得0<〃2<4;
[A=/7j--4m<0
故答案为:[0,4).
2.(2023秋•江苏连云港•高三校考阶段练习)若不等式如2+〃,_4<2/+2彳-1对任意实数兀均成立,则实
数机的取值范围是
【答案】(一1。,2]
【解析】因为不等式〃1r一4<2/+2彳-1对任意实数》均成立,
即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数尤均成立,
当机-2=0,即加=2时,有—3<0恒成立,满足题意;
m-2<0
当根-2片0,即时,则有L,c\2n>解得T0<〃z<2,
A=(m-2)+12(m-2)<0
综上所述,实数机的取值范围为(TO,2].故选:B.
3.(2023•广东潮州)若命题:"叫eR,使(疗-1濡-(9+1)%+120"是真命题,则实数m的取值范围为一.
【答案】
【解析】当苏-1=0即加=±1时,易得m=l时命题成立;
当加2一1vo即一1vm<1时,A=(m+1)2-4(m?-1)=-3m2+2m+5>0.\-l<m<l
当根2一1>0一根<一1或m>1时,贝IJ命题等价于A=(m+1)?-4(m2-1)=-3m2+2m+5>0.\l<m<-,
故答案为:—1<m<
考法二一元二次不等式在某区间
【例2・1】(2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测)已知命题-焉+3/+,>0〃为真命
题,则实数。的取值范围是()
A.(-oo,-2)B.(-oo,4)C.(-2,+oo)D.(4,+oo)
【答案】C
【解析】因为命题"*oc[-1,1],-%;+3%+。>0”为真命题,
所以,命题“土i)£>无;-3%〃为真命题,
所以,不«-1,1]时,(看一,
因为,y=/_3%=[一一(,
所以,当时,ymin=-2,当且仅当x=l时取得等号.
所以,不时,”(片-3/%=—2,即实数。的取值范围是(—2,依)
故选:c
【例2-2](2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)若命题〃丑qi,4],使西2+%—2>0成立〃
的否定是真命题,则实数丸的取值范围是()
A•(一8』B,
O
【答案】C
【解析】若"3x,[L4],使2牡+%_2>0成立"的否定是:
z,Vxe[l,4],使2£+x-2W0"为真命题,即XW—;令=丁=21:-£|
由xe[l,4],得所以〃x)1nm="4)=-:,所以2W-:,故选:C.
X[_4Joo
2
【例2-3】(2023•辽宁大连)(多选)已知pVxe[-l,l],x-ax-2<0,则使p为真命题的一个必要不充
分条件为()
A.-2<av1B.—1<a<1C.—1<a<2D.0<a<l
【答案】AC
【解析】令/0)=/-方-2,则/(X)的图象开口向上,
若Vxe[-l,r|,/(无)<0,解得-1<a<1,
/(-1)=1+。一2<0
对于A,当-l<a<l时,-2<a<l成立,而-2<a<l时,一1<a<1不一定成立,
所以-2<〃<1是p为真命题的一个必要不充分条件,所以A正确,
对于B,是0为真命题的充要条件,所以B错误,
对于C,当一1<。<1时,一1<。<2成立,当一/<。<2时,一1<。<1不——定成立,
所以7<a<2是〃为真命题的一个必要不充分条件,所以C正确,
对于D,当一1<。<1时,0Wa<l不——定成立,当0<a<l时,一1<。<1成立,
所以04。<1是〃为真命题的一个充分不必要条件,所以D错误,
故选:AC
【例2-4】(2023秋•湖北宜昌)若竺土1<0("件0)对一切x“恒成立,则实数机的取值范围是()
nvc+1
A.1m|m<3jB.[同m<-;}C.\n^m>21D.|m|—2<m<01
【答案】B
【解析】因为不等式"―-<0^>(m2x-l)(mx+l)<0(m^O),
mx+1
所以(机2犬-1)(如+1)=0=%=4或%=---(),
mm
①当机>0时,一~-<—r»
mm
所以不等式(〃72*一1)(〃《+1)<0的解集为{划一」~<尤<±},
mm
所以原不等式不可能对一切x24恒成立,故相>0不符合题意;
②当加《-1时,二<一~-,
mm
所以不等式(加工-1)(如+1)<0的解集为或x>-,},
mm
又因为原不等式对一切1之4恒成立,
m<-1?
所以11/解得根<一1,
——<4
、m
③当一lvmvO时,二〉一~-,
mm
所以不等式(m2x-l)(mx+1)<0的解集为{xI%工或x>,
mm
又因为原不等式对一切%之4恒成立,
-1<m<0^
所以11..,解得一1<根<一],
丁<4?2
、m
综述,<——.
故选:B.
【变式】
1.(2023春・河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)若命题〃*«1,3],炉+^+1>()〃是假命题,则实数
a的最大值为.
【答案】
【解析】由题知命题的否定"\/%£口,3],工2+改+1<0〃是真命题./(X)=X2+OX+1(XG[1,3]),则
[ff常(l]==a3+a+2<10,<0,解得小150,故实数。的最大值为一1寸0
故答案为:-
3.(2022秋•北京•高三统考阶段练习)若存在xe[0,1],有£+(l-a)x+3-a>0成立,则实数。的取值范围
是.
【答案】(-十,3)
【解析】将原不等式参数分离可得a<\+x+3,设〃X)=L+X+3,
x+1v7x+1
已知存在[。内,有龙2+(1—a)%+3—Q>0成立,则a</(x)1mx,
令"X+1,则/⑺=(I)2;I+3):+3=,+:_],/e[l,2],
由对勾函数知f(x)在
[1,若)上单调递减,在(若,2]上单调递增,
335
/⑴=1+「=3,/(2)=2+--1=-,
所以〃x)a=/(l)=3,即"3,
故答案为:(7,3).
2.(2022秋,重庆沙坪坝•高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习)若x>l时,4d-(3a+2)x+3a+72()恒成
立,则。的取值范围为.
【答案】a<6
【解析】解法1:x>l时,4x?-(3a+2)x+3a+72。恒成立,
4x~—2x+7
即3。(1)<4x2-2x+7恒成立,即〃-3(尤一1)恒成立.
4X2-2X+74(f+l)2-2(r+l)+7
令1-1=/(/>0),贝壮=r+1,
3(x-l)3t
当且仅当*=Q7,即,=3['等号成立,
故aW6,即。的取值范围为
解法2:令/(兀)=4x2—(3a+2)x+3a+7,
则由题意知,〃x)20,在时恒成立,即%>1时,”同而了。.
①当f«1,即时,在[1,+8)单调递增,
8
止匕时,/(x)n,n>/(1)=4—(3。+2)+3。+7=9>。成立,
所以,〃x)20恒成立;
②当的5>1,即。>2时,/(x)在上单调递减,
在(十,+-单调递增,所以十),
此时只需,即可,即-(3a+2)x[^^)+3a+720
解得,-2<a<6,02<a<6,
综上所述,。的取值范围为。<6.
故答案为:a<6.
3.(2023・全国•高三对口高考)3(©=浸一3尤+1对于总有/(尤)>0成立,则实数。的最小值
为.
【答案】4
【解析】由题意可得了'(%)=3加-3,
当aWO时,/'(%)=3依2-3<0在[-1,1]上恒成立,
故/(元)在[-1,1]上单调递减,则/。)*=八1)=。-2<。,不合题意;
当0<aWl时,f\x)=3ax2-3=3fl
由于521,一七4-1,故/'(力(。在[-1,1]上恒成立,
仅当。=1,元=±1时,等号成立,
则f(x)在[-1,1]上单调递减,则/。)血"=八1)=。-2<。,不合题意;
当a>l时,/'(尤)=362-3=3a
由于0<-<1,-1<--7=<0,故/(X)在(-y=,l),(一L上单调递增,
-Ja7ayja
在(--[,;)上单调递减,
7a7a
故令-0+42/刀1二」
+1>0,解得“24,
J7a
故实数。的最小值为4,故答案为:4
4.(2023秋•安徽铜陵•高三统考阶段练习)若命题"女目-1,2],使得尤2+小一〃.520"是假命题,则加的
取值范围是.
【答案】(-2,1)
【解析】由题意原命题的否定“Vxe[T,2],使得f+如一〃2-5<0"是真命题,
不妨设"X)=X?+M-m-5=[x+晟]-g-m-5,其开口向上,对称轴方程为x=-^,
则只需F(无)在[T,2]上的最大值1mx<0即可,我们分以下三种情形来讨论:
情形一:当-葭4-1即〃出2时,/(元)在[-1,2]上单调递增,
此时有[/(尤)L*=〃2)=加一1<0,解得m<1,
故此时满足题意的实数加不存在;
情形二:当-1〈-£<2即Y<2时,〃元)在-1,-y上单调递减,在-£,2上单调递增,
此时有o⑺L=max{〃2)J(_l)}<。,只需
解不等式组得-2<m<l,
故此时满足题意的实数加的范围为-2<唐<1;
情形三:当-122即机WT时,f(x)在[-1,2]上单调递减,
此时有[〃X)L*=F(T)=-2〃L4<0,解得机>-2,故此时满足题意的实数机不存在;
综上所述:加的取值范围是(-2,1).故答案为:(-2,1).
考法三单变量的恒成立或能成立
【例3-1】(2023•全国•高三对口高考)若存在负实数使得方程2工-。=一1成立,则实数。的取值范围是()
x-1
A.(2,+oo)B.(0,+oo)C.(0,2)D.(0,1)
【答案】C
【解析】由题意可得:a=T-一
x-1
令无)=2"--二(尤<0),因为y=2*,y=-一二在(一双。)上均为增函数,
X—LX~1
所以〃x)=2,-一、在(一00)为增函数,且〃0)=2,2工>0,
x-1X~1
所以0<2'-二:<2,所以实数a的取值范围是(0,2).
故选:C.
【例3-2](2023•江苏南通,三模)若Jxv(O/),sin2尤-尽inx<0”为假命题,则左的取值范围为()
A.(-a>,-2]B.(F,2]C.(-oo,-2)D.(~°0,2)
【答案】A
【解析】依题意知命题"*w(0,下),sin2x-Asinx<。"为假命题,
贝Ij"X/xG(0,7i),sin2x-feinx..0〃为真命题,
所以2sinxcosx..feinx,则鼠2cosx,
解得左,-2,所以上的取值范围为(-8,-2].故选:A
【例3-3](2023•吉林・吉林省实验校考模拟预测)已知命题p:3x«0,3),尤2一。一21n*40.若P为假命题,则
。的取值范围为.
【答案】(/1)
【解析】P为假命题
iP:e(0,3),厂一a—21nx>0为真命题,故avY—zlnx,
令/(力=幺-21nx,xe(O,3),则广⑺=2尤_2=(0,3),
令用X)>0解得1<X<3,令/'(力<0解得0<x<l,
所以广(X)在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以〃力*=;'⑴=1,所以a<L
故答案为:(一叫1).
【例3-4](2023秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)若不等式ae3,+2x+lnqNlnx对任意
xe(O,y)成立,则实数。的最小值为.
【答案】工
3e
【解析]因为ae'+2%+lna2111%对任意了£(。,+00)成立,
不等式可变形为:ae3x+3%+lna21n%+%,即*73%+(3%+1口〃)之山1+斓,,
即e3"+ln£Z+(3尤+Ina)2elnx+Inx对任意x£(0,内)成立,
记g(x)=e"+x,则g<x)=e"+l>0,所以g(x)在R上单调递增,
贝Ue3x+lna+(3x+ln«)>elnx+lnx可写为g(3x+lna)之g(lnx),
根据g(x)单调性可知,只需3x+Ina21nx对任意iw(0,y)成立即可,
即InaNin%—3%成立,记/z(x)=ln九一3九,即只需Ina之力(九)惭,
因为〃34_3=必故在xe[o,'上,h\x)>Q,%(x)单调递增,
XX
在xeg+8)上,h'(x)<0,//(x)单调递减,所以/z(x)1n叱=/z,J=lng-l=ln:,
所以只需丘吟即可,解得心。故答案为金
【变式】
1.(2023•四川成中校考模拟预测)命题"*目1,2],使得f+lnx-aVO"为假命题,则。的取值
范围为.
【答案】
【解析】若"*句1,2],使得Y+m元”<0"为假命题,
可得当xe[l,2]时,尤2+加尤)a恒成立,只需。<(f+lnx)1nhi.
又函数y=/+lnx在[1,2]上单调递增,所以a<l.
故答案为:(—(50,1)
—+x,xW1
2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=logM,x>l,贝厅(〃3))=;若对任意的xeR,
、3
都有/(%)<|"1|成立,则实数上的取值范围为.
35
【答案】—2(-^,-]J[-,+^>)
44
(、
【解析】/(/(3))=/log,3=/(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,
\37
对任意xeR,都有;'(x)W%T成立,即/(无)1||,
画出函数“X)的图象,如图所示
—X2+X,X<1]
观察/(%)=log]X,x>l的图象可知,当%=5时,函数/(%)
max4
、3
iQ5
所以解得左v:或左
3535
国实数人的取值范围为(-8,不匕,+8).答案:-2;(-«,-][-,+<»).
4444
3.(2023•全国•高三专题练习)若命题"玉0c[0,e],使得x;e“T>l成立."为假命题,则实数。的最大值为?
【答案】--
e
【解析】由题意得知命题"Vxe[0,e],Ye"一<1成立
(1)当x=0时,不等式x2e"iW1成立;
(2)当0<xWe时,由尤则e"T«L
不等式两边取自然对数得依-lW-21nx,可得a《l21nx,
X
构造函数〃彳)=匕也,其中o<x《e,则(⑺=劲口,
XX
令尸(x)=0,得了=£>e,当。<xVe时,/'(“<0,
所以函数y=〃x)在区间(0,e]上单调递减,则[〃尤)L,=〃e)=T,
所以aV-L,因此实数。的最大值为-L
ee
考法四双变量的恒成立或能成立
【例4-1](2023•辽宁大连)已知/(x)=lg(x2+l),g(_r)=2*7〃,若存在占耳。,3],使对任意的.W1,2],有
/(尤1)08(9)成立,则实数加的取值范围是.
【答案】[3,+8)
【解析】当xe[0,3]时,/⑴叱=”3)=1.当xe[1,2]时,g(x)加=g(2)=4-m.
若存在不«0,3],使对任意的有存在安g(%)成立,
等价于/Wmax2g(X)max,可得124-租,所以丁23.
故答案为:[3,+8)
【例4-2】(2023秋•江苏•高三宿迁中学校联考开学考试)已知e为自然对数的底数,若对任意的士e[0,1],
总存在唯一的马目-1』,使得%+考e勺-a=。成立,则实数。的取值范围是.
【答案】(1+Le]
e
【解析】由玉+—a=0,得=a-xx,
令f(x)=X2CX,XG[-1,1],求导得/'(%)=(x2+2x)ex=x(x+2)ex,
当xe[-l,O)时,((无)<0,函数/(x)在[-1,0]上单调递减,函数值从工减小到0,
e
当尤w(0,l]时,f'(x)>0,函数"X)在[0,1]上单调递增,函数值从0增大到e,
令g(x)=a-尤,xe[0,l],显然函数g(x)=a-x在[0,1]上单调递减,函数g(x)的值域为[a-1,a\,
由对任意的占总存在唯一的x,w[T』,使得为+x;e*-a=0成立,得团-l,a]=(2,e],
e
'1I
ci-I>—I
因止匕1e,解得1+—<aVe,
,e
a<e
所以实数。的取值范围是(1+Le].
e
【变式】
1.(2023秋•湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习)已知/(x)=log2(r),g(尤)=2”",
“e[-4,-2],川e[-4,-2],使"&)一(&)区1成立.则a的取值范围()
A.[-3,-2]B.[-5,-2]
C.[-3,-1]D.[-A-2]
【答案】B
【解析]由题设V±e[-4,-2],王2©[-4,-2],使g(%)-l</(占)<g(%)+l成立,
所以《在“4,-2]上成立,
/("maxTWgOOm
pW„+1=/(-2)+1=2
对于/(%)=log2(-%)m
1raol=1,
g(x)min
对于g(x)=2…,有
g(无)max
2—<2-4-a<l
所以即可得—5Wa4—2.故选:B
2-2一">i-2—a>0
2.(2023•全国•高三专题练习)已知f(x)=lnx-ax+l,g(x)=xe、,且对xe(0,+«)都有/(无)<g(x)成立,则实
数°的范围为_______________
【答案】[-L—)
【解析】由题意,函数/(x)=ln尤-or+Lg(x)=xe,,
要使得〃尤)<g5),即xe,21nx-ax+l,即。2巨1七旦对xe(0,+s)恒成立,
X
即qN[(x+lnx)-ei]+l-x对16(0,+OT)恒成立,
X
令M尤)=e*-x-l,可得/z'(x)=e*-1,
当x>0时,//(x)>0,/z(x)单调递增;当x<0时,h'(x)<0,%(x)单调递减,
所以函数h(x)在(-甩0)单调递减,在(0,+◎单调递增,
所以/7(X)N/Z(0)=0,即e,-x-120,即e*2x+l,当且仅当元=0时,等号成立,
设a(x)=x+ln尤,则u(x)在(0,+8)上为增函数,
而"⑴=1>0,故“(无)在(0,+8)上存在零点飞,
ee
故(x+Inx)—e%+ln%<x+Inx—(x+Inx+1)=—1,当且仅当x=/时等号成立,
即[(x+ln^-e'+Ml+l—Xg—],所以a2—1,
X
即实数,的取值范围是[T,+8).
3(2023秋•重庆•高三统考阶段练习)已知/(%)=分2+],g(x)=;+;:::,若对“21,叫wR使/(xJWgG)
成立,则实数。的取值范围是.
【答案】J",-5
\16」
【解析]令%=;+;:::,贝U左sinx+cosx=l—2左,BPV)t2+1sin(x+(p)=l-2k^
.,、l—2k1
所以sm(x+e)=及4^(。为辅助角,tan^)=-),
故即|1—2左归^^,解得0V左
/\4--丫/、2
由题可知,Vx^l,〃xjvg(x)a=.,即对fl<3=4m-_l.
x23x
令——^0<—<t=—,te(0,1],则y=1/T,
Q4Qa
当"5时,k#T的最小值为-2,即GL=-2,
oJ101O
3(3~
贝而n=一而,即"£「8'一记]’
故答案为:f-a),-77
I16」
考法五等式恒成立或能成立
金x<l
【例5-1](2023秋・福建三明•高三统考期末)已知函数/(%)=%25,g(x)=f—2x-4,设人为
ln(x+2),x>l
实数,若存在实数。,使得g(b)成立,贝伊的取值范围为()
A.(一00彳B.g,+8)
-37、r37-
C.D.--,-
i22)L22j
【答案】D
【解析】当a<1时,«)=攀=/+:=]+)4-
令t=—,由于a<1且。片0,所以f>l或f<0,所以~~4
.•■/(«)的取值范围是[-;,+©);
当时,"a)=ln(a+2),,/⑷的取值范围是[ln3,+8);
综上可得/(a)的取值范围是一;,+8);
要存在实数。,使得〃a)=l-g。)成立,则函数〃。)=1-g(b)2-;,
即g(6)Wj即g伍)=/一26-44“解得:故选:D
【例5-2](2023秋・江苏盐城•高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习)已知函数/'(力=必,
g(x)=&]-m.若%e[—l,2],3x2e[-3,l],使得〃xj=g(%)成立,则实数机的取值范围为()
,19
B.-4,——u-,8o
22
D.
【答案】C
【解析】设函数/⑺在[-1,2]上的值域为A,函数g(x)在[-3,1]上的值域为8,
因为若%e[-1,2],3x2e[-3,l],使得/(占)=gQ)成立,所以
因为〃幻=/,XG[-1,2],所以/⑺在[-1,2]上的值域为[0,4],
因为g(x)=[J-m,
当mWO时,g(x)=[g]-机在上单调递减,所以g(x)在[-3』上的值域为
---HlW01
因为AgB,所以2",m#-<rn<4,又mSO,所以此时不符合题意,
8-m>42
当机>0时,g(x)=]£|-相图像是将y=-加下方的图像翻折到X轴上方,
令g(x)=O得=0,即x=log]〃?
2
①当时,即相色时,g(x)在[-3,1]上单调递减,
g(*Lx=g(—3)=|8-叫,g。)*=g(l)=;-机,所以g(x)的值域,=;一他,|8-时
4N
—~m<01
又所以2,解得加=
|8-m|>4~
②当-3<logjw<l时,即1<加<8时,g(x)在(-3,bg〃)上单调递减,在
222
、
log:"7上单调递增,
27
g(x)min=g(log,=°,=g(—3)=|8-耳或g(x)1mx=g6=,
所以g(x)的值域B=[o,|8-Mi1或1o,,一机,又AgB,所以|8—用24或g-m24,
11
当|8-利24时,解得m44或相212,又万〈根<8,所以5<小44,
17919(1
当不一机24时,解得加工―或加之[,X-<m<8,所以相<8,所以加的取值范围W,4
乙乙乙乙乙IN9
③当-321og,”时,〃也8时,g(M在上单调递增,
所以g(x)max=g(l)=;-机,gCx)*=g(-3)=|8-m|,所以g(X)在[-3,1]上的值域3=|8-加一加
|8-m|<0
119
又A=所以1解得机=8,综上所述,加的取值范围为-,4u-,8.
一一m>422
2
故选:C
【变式】
1.(2023秋・上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试)已知函数y=F(x)的表达式为
〃力=32-1,若对于任意占目0』,都存在々句0』,使得〃西)+〃々+m)=10成立,则实数机的取
值范围是.
【答案】[log23-l,l]
【解析】〃力=32-1在R上单调递增,
当xe[0,l]时,"41m"⑼=2,〃*飒=〃1)=5,
/(x()+/(x2+m)=10,与e[0,l],即10—〃石)目5,8],
[3・2加一1<5?
故[5,8]是/伍+〃。值域的子集,故~,解得log23-lWm〈l.
13•2—l^o
故答案为:[1223-1』.
2(2023秋•江苏镇江•高三统考开学考试)已知函数〃x)=]1+2*+<0,若%es,。],"e(0,同,
[Ainx-x,x>Q
使得/(为)=/(%)成立,则实数力的取值范围为.
【答案】(-°0,0)[e2,+co)
【解析】设“X)在(e,。]上的值域为A,在(0,+向上的值域为B,
若“e(-oo,0],3x2G(0,-KO),使得/(%)=/(%)成立,则
1.当xW0时,贝!|/(x)=—x2+2x+A=—(%—1)2+/1+1,
可知y=-(x-l)~+2+1开口向下,对称轴为x=l,
则在(f,0]上单调递增,可得/(x)</(0)=2,
所以〃x)在(f,0]上的值域为4=(-8,幻,所以(—以旭当
2.当x>0时,贝!]了(无)=/llnx—x,
(1)若2<0,则“X)在(0,+8)内单调递减,
且当X趋近于0时,“X)趋近于+8,当X趋近于+8时,〃X)趋近于
所以B=R,符合题意;
(2)若4=0,贝"(力=一尤<0,即A=(3,0],3=(—,0),不合题意;
(3)若2>0,则/(x)=2-l=^——,
XX
令制x)>0,解得0<x<:;令r(x)<0,解得x>4;
则/(X)在(0,4)上单调递增,在(4内)上单调递减,nJW/(x)<f(2)=^ln/l-2,
且当x趋近于0或+8时,f(x)均趋近于-s,所以3=(乂山2-刃,
又因为AgB,则21n/l-2>2,
注意到2>0,即解得XZe?;
综上所述:实数2的取值范围为(-8,0),32,+8).
故答案为:(-0,0)[e2,+oo).
考法六更换主元
【例6】(2024秋•吉林通化•高三校考阶段练习)若四e(g,2j,使得一兄无一1<0成立,则实数x取值范
围是()
【答案】B
【解析】若皿eg,2)使得3d一加-1<0成立,
贝1]一;1彳+3/一1<0,gpAX-3X2+1>0,
当x=0时,1>0成立,
当x>0时,令”/1)=忒-3/+1,在Xe/a]上单调递增,
即/'(2)=2X—3X2+1>0,则(3X+1)(X—1)<0,解得:-1<x<l,
因为%>0,所以0v尤vl,
当x<0时,令/⑷=疝-3炉+1,在2eg,2)上单调递减,
即/&]=)了-3/+1>0,W(2X+1)(3X-2)<0,解得:-1<x<|,
因为x<0,所以-g<x<0,综上:实数x取值范围是[-;,1].故选:B.
【变式】
1.(2023秋•广东珠海)若d+W-勺x+d-Z"〉。为真命题,则x的取值范围为()
A.(fl]B.(1,3)
C.(一8,1),(3,+«))D.[1,3]
【答案】C
【解析】由题意知,V//7e[-l,l],/+(机一4)x+4-2〃?>0恒成立,
设函数g("z)=(x-2)〃z+(x-2)2,
即
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