河南省南阳市邓州市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

河南省南阳市邓州市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一,单选题

1.下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.V14B，7O5C.D.A/12

2.下列计算正确的是（）

A.2百+40=6&B.强=4后C.后+6=3D.=-3

3.在一个不透明的盒子里装有机个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每

次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到

红球的频率稳定到0.2附近，那么可以估算出机的值为（）

A.16B.20C.24D.30

4.关于方程x（3x+2）=6（3x+2）的描述，下列说法错误的是（）

A.它是一元二次方程B.解方程时，方程两边先同时除以（3x+2）

C.它有两个不相等的实数根D.用因式分解法解此方程最适宜

5.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长

或缩短.它是由长度相等的两脚A。和交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺

丝钉固定在刻度3的地方（即同时使。L=3OD,05=300,然后张开两脚，使

A,5两个尖端分别在线段/的两个端点上，若量得CD的长度，便可知的长度.本

题依据的主要数学原理是（）

A.三边成比例的两个三角形相似

B.两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等

C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

D.平行线分线段成比例

6.在RtZVlBC中，ZC=90°,AB=娓,BC=6则ZB的度数（）

A.30°B.45°C.60°D.无法确定

7.下列关于二次函数y=（x+2）2-3的说法正确的是（）

A.图象是一条开口向下的抛物线B.图象与x轴没有交点

C.当x<0时，y随x增大而增大D.图象的顶点坐标是（-2,-3）

8.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草

坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）

A.32x20-32x-20x=100B.（32-x）（20-%）+^2=100

C.32x+20x=100+x2D.（32-x）（20-x）=100

9.如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径5C为1米，在距地面2米的A

处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为。、E,依据题意建立如图所示的平面直角

坐标系，其中点。的坐标为（2,0）,则点E的坐标是（）

B.（3,0）C.（3.6,0）D.（4,0）

10.如图①，在RtZVLBC中，NACB=90。，ZA=30°,动点。从点A出发，沿

AfCf5以lcm/s的速度匀速运动到点3,过点。作。石，于点E,图②是点。

运动时，△AOE的面积Men?）随时间x（s）变化的关系图象，其中图象最高点的纵坐

标是126，则的长为（）

卜y/cm2

AEBO

图①图②

A.4cmB.4j^cmC.8cmD.80cm

二、填空题

ii.已知色女=3,则3的值为.

b5b

12.请在横线上填写一个恰当的整数，使方程2f-5x+=0有两个不相等的实

数根.

13.新高考“3+1+2”选科模式是指除，语文、数学、外语”3门科目以外，学生应在2

门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、

生物”中选择2科.小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和

生物”的概率为.

14.在平面直角坐标系中，将抛物线>=必—2x+6向右平移2个单位，再向上平移3

个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作

47，%轴于点。，以AC为对角线作矩形连接3。，则对角线5。的最小值为

15.在菱形ABCD中，AB=4,NA=120。，点”是对角线5。的中点，点P从点A

出发沿着边按由AfOfC的路径运动，到达终点C停止，当以点P、M、。为顶点

的三角形与△相£>相似时，则线段AP的长为.

三、解答题

16.(1)计算：A/5xV15+3tan300-2sin45°；

(2)解方程：％2一8尤—2=0.

17.如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且NE=/4BC.

(1)求证：△ACDs^ABE；

(2)若点C是AE的中点，AC=4,求菱形ABCD的边长.

18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列

(2)以原点。为位似中心，在第一象限内出画出△△52c2，使得△A^C］与△4与。2

位似，且相似比为1:3.并写出AABC与△4鸟。2的面积之比为；

(3)在(1)、(2)的条件下，设△ABC内一点P的坐标为(口力)，则△4员。2内与

点P的对应点P2的坐标为.

19.某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制

了一个简易测角仪，如图1所示.

（1）如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,3两点均在视

线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为a,设仰角为/3,请直接用含a的代

数式表示（3-

（2）如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在

点3,C分别测得气球A的仰角NABD为37。，ZACD为45。，地面上点3,C,。在

同一水平直线上，BC=26m,求气球A离地面的高度AD.（参考数据：

sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75）

20.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的

顶端A处安装一个喷头向外喷水.柱子在水面以上部分的高度。4为3m.水流在各个方

向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m

处达到最大高度为4m,如图所示.

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出

自变量取值范围）；

（2）张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离

为2.5m处，通过计算说明身高1.8m的张师傅是否被淋湿？

（3）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时，

才能使喷出的水流都落在水池内？

21.“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段.某主播小红在直播间销

售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销

售单价x（元）满足一次函数关系y=-lOx+400（注：在计算利润时，不考虑快递费

用等其他因素）.

（1）设小红每天的销售利润为攻元，求攻与x之间的函数关系式（要求函数关系式

化为一般式，并写出自变量x的取值范围）；

（2）若小红每天想获得的销售利润攻为750元，又要尽可能地减少库存，应将销售单

价定为多少元？

（3）当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润

22.请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.

利用图象法解一元二次方程

数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一

次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？

例如，解方程：X2-2X-3^-3.

王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流，

智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为好一2%=0,如图1,画出二次

函数丁=》2一2》的图象，发现抛物线与x轴的相交于（0,0）和（2,0）两点，当％=0或

%=2时，止匕时y=0,所以必―2x=0,即％2_2%_3=_3,所以此方程的解为西=0,

x2=2.

善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数y2x-3的图象

和直线y=-3.如图2所示，它们相交于（0,-3）和（2,-3）两点，当x=0或x=2时，此时

丁=—3,即％2_2%—3=—3,所以此方程的解为±=0,々=2.

任务：

(1)利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是()

A.利用图象法解方程体现了数形结合思想

B.画出抛物线>=必和直线y=2x,观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根

C.画出抛物线丁=必-3和直线y=-2x+3,观察图象交点的横坐标，也可得出该方程

的根

D.画出抛物线y=f+3和直线y=2x+3,观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的

根

(2)请你利用图象法解方程必一4%=-3,把函数图象画在图3的平面直角坐标系

中，并写出解方程的分析过程.

(3)若方程f—4x=a无实数根，从图形的角度看就是抛物线丁=必一以与直线

无交点，此时。的取值范围是;

(4)拓展迁移：方程4x=|x-2|的根的情况是.

23.综合与实践：

(1)问题发现：如图，在△ABC中，AB^AC,是外角NC4E的平分线，则AD

与的位置关系如何，并加以证明.

E

AA_____D

/\2

B

(2)问题解决：如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=8,点E是的中点，将

△ABE沿直线AE翻折，点3落在点R处，连结。尸，求cosNECF和线段的值.

(3)拓展迁移：如图，正方形ABCD的边长为10,E是边AZ)上一动点，将正方形沿

CE翻折，点。的对应点为。，过点。作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的

边于点M、N(点〃在点N上方)，若2AM=CN,请直接写出OE的长为.

参考答案

1.答案：A

解析：A、是最简二次根式，本选项符合题意；

B、屈=变，不是最简二次根式，本选项不符合题意；

2

c、不是最简二次根式，本选项不符合题意；

D、712=273,不是最简二次根式，本选项不符合题意.

故选：A.

2.答案：C

解析：A、2石与4&不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意;

B、m=2垃/4拒,本选项不符合题意；

C、厉十百=，27+3=囱=3,本选项符合题意；

D、J（-3）2=3—3,本选项不符合题意；

故选：C.

3.答案：D

解析：大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，

二任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2,

—=0.2,

m

解得m=30,

经检验：加=30是原方程的解，

故选：D.

4.答案：B

解析：A、方程x（3x+2）=6（3x+2）整理得为3/一I6x—12=0,

故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；

B、解方程时，方程两边先同时除以（3x+2）,会漏解，

故该说法错误，符合题意；

C、由31—1612=0得：

A=(-16)2-4x3x(-12)=412>0,

故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；

D、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意;

故选：B.

5.答案：C

解析：OA=3OD,OB=3OC,

OAOB.

---=---=3,

ODOC

ZAOB=ZCOD,

:.AAOBSADOC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

ABOB

AB=3CD,

~CD~~OC

二若量得。的长度，便可知A3的长度.

故选：C.

6.答案：B

解析：ZC=90°,ABM,BC=6

3於变=半=也,

AB屈2

.•.4=45。.

故选：B.

7.答案：D

解析：已知二次函数y=(x+2)2-3,

二图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意；

图象的顶点坐标为(-2,-3),故D选项正确，符合题意;

.,图象开口向上，顶点坐标在第三象限，

二图象与x轴有交点，故B选项错误，不符合题意；

图象的对称轴为X=-2,开口向上，

二当x<0时，y先随x的增大而减少，再随x的增大而增大，故C选项错误，不符合

题意；

故选：D.

8.答案：C

解析：根据题意，小路的长为（32+20）米、宽为x米，

故所列方程为（32+20）x-d=100,

即32x+20x=100+f,

故选：C.

9.答案：A

解析：如图所示：

由题意得：轴，BCIIDE,

:.ZXADOs八BDF,AABC^AADE,

49=2,BF=0.S,

.-.BD:AD^BF:AO^2:5,

:.AB:AD=3:5,

BCDE=AB:AD=3:5,

BC=\,

:,DE=-,

3

D（2,0）,

•4+>],

即：哈。）

故选：A.

10.答案：B

解析：根据题意，设AD=x,,

DE上AB,ZA=30°,

:.DE=-AD=-x,AE^yl3DE^—x,

222

°__14-丽_1石1_A/32

■■S^ADE=y=~AE-DE=-X—XX-X^—X,

根据图示，当点。与点C重合时，y的值最大，最大值为126,

:.—x2=12A/3,

8

解得，%=4^/6,

AC=4而，

ZACB=90°,ZA=30°,AC=476,

.•.在RtzXABC中，tanZA=tan30°=—=—,

AC3

3C=#AC=#x4痛=4®cm),

故选：B.

11.答案：|

解析：f

:.5a-5b-3b,

则5a=8b,

,a_8

.•—*

b5

故答案为：|.

12.答案：0（答案不唯一，小于生的整数均可）

8

解析：设常数项为c,

关于X的方程有两个不相等的实数根,

.-.A=(-5)2-4X2O0,

解得c<^,

8

。为整数，

二c可取0.

故答案为：0(答案不唯一，小于竺的整数均可).

8

13.答案：」

6

解析：在4门科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科的所有等可能结果有：

“思想政治和地理、思想政治和化学、思想政治和生物、地理和化学、地理和生物、化

学和生物，，共6种结果，

其中选中思想政治和生物的结果数为1,

,则恰好选中“思想政治和生物”的概率为L

6

故答案为：

6

14.答案:8

解析：y=%2-2x+6=+5>

••・将抛物线y=2x+6=(x—17+5向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得

平移后的抛物线y=(x-37+8,

抛物线的顶点坐标为(3,8),

四边形ABC。为矩形，

BD=AC>

而轴，

二.AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8,

二对角线的最小值为8.

故答案为：8.

15.答案：2或2石

解析：根据题意，作图如下，连接AM,

C

四边形ABC。是菱形，ZBAD=12Q°,

:.AB=BC^CD^AD^4,ZABC=ZADC60°,

ZABD=ZABD=30°,

点舷是的中点，

.-.AM±BD,即NAMB=/4"D=90°,

在Rt^AD暇中，AM=-AD=-x4=2,DM=0M=26,则

22

BD=2MD=2x26=4班,

①如图所示，当点P在上时，当时，

二型=丝，则W=泞=2,

ADBDBD473

,AP=A《=4。一《。=4—2=2；

②如图所示，当点尸在上时，当时，

连接AC,根据菱形的性质，ABAC=12Q°,可得△的）（?是等边三角形,

,根据上述证明可得，点［是A。的中点，且NAZ）5=NCDB=30。，

当MMDSAABD时，点鸟关于点片对称，

/.P?D=2,

二点鸟为的中点，且/ADC=60。，

AP21CD,即乙叫。=90。，

ZDAP,=30°,

.-.AP=AP,=y/3P,D=2s/3；

综上所述，AP的长为2或26，

故答案为：2或2币.

16.答案：（1）4V3--V2

4

（2）Xy=4+3A/2,x,=4—3A/2

解析：（1）原式=5凤正一6一0,

4

=4-\/3——V2；

4

（2）移项得：X2-8X=2,

配方得：x2-8x+42=2+16,

即：（%—盯=18,

直接开平方得x-4=±30,

石=4+3*\/2,%=4—3^/2.

17.答案：（1）证明详见解析

⑵4亚

ArAD

解析：（I）根据△ACDS2XABE,得出”=丝，代入数据进行计算，即可得出

ABAE

AB的值.

四边形ABCD是菱形，

:.ZABC=ZD,

又NE=ZABC,

:.ZD=NE,

AC为菱形ABCD的对角线，

ABAC=ADAC,

:.Z\ACD^Z\ABE.

(2)C是AE的中点，AC=4,

.-.AC=CE=4,

四边形ABC。是菱形，

AB=AD,

△ACD^Z\ABE,

ACAD

'^B~AE，

:.ABAD=ACAE,

AB2=4x8=32,

AB=4y/2,即菱形ABC。的边长为4a.

18.答案：(1)作图见解析

(2)作图见解析，1:9

(3)(~3a,3b)

解析：(1)ZVIBC关于y轴的轴对称图形△A4G，作图如下,

I和

.•.△4与G即为所求图形；

(2)以原点。为位似中心，在第一象限内出画出2c2，使得△4片和与

位似，且相似比为1:3,作图如下，

.-.△AB2C2即为所求图形,

与△4员。2位似，且相似比为1:3,

q

q

△ABC与△AB©关于y轴对称,

•q=q

v1

-------------------------——9

VQ

□△A232c2

故答案为：1:9；

（3）根据题意，△ABC与2c2的相似比为上3,

ZXABC内一点P的坐标为51）在第二象限,

：.a<Q,b>0,

•「△4打。2在第一象限，

P2(~3a,3b),

故答案为：（-3a,3b）.

19.答案：(1)j3=900-a

(2)78m

解析：（1）如图所示:

由题意知在Rt^PO。中，ODVPD,则No+N，=90。，即力=90。—0.

故答案为，=90。-

(2)设AD=jon,

ZACD=45°,ZADB=90°,

:.CD-AD-xm，

BC=20m,

/.BD=(20+%)m,

AH

在中，tanZABD=—,

BD

tan37°=—即0.75=—

26+x26+%

解得：x=78,

/.AD=78m.

答：气球A离地面的高度是78m.

20.答案：(1)y=-f+2x+3

(2)2.5m

(3)6米

解析：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(1,4),

,设抛物线的解析式为：y=a(x-炉+4,

将(0,3)代入得，«(0-1)2+4=3,解得a=-1,

抛物线的解析式为：y=—(%—+4=—/+2%+3；

(2)当x=2.5时，y=-(2.5-l)2+4=1.75<1.8

所以，张师傅站在与池中心水平距离为2.5m处，能被淋湿.

(3)令y=0,得，0=-(%-1)2+4,

解得X]=3,x2=-1(舍)，

.,.2x3=6(m),

答：水池的直径至少要6米，才能使喷出的水流都落在水池内.

21.答案：(1)w=-10x2+600x-8000(20<x<40)

(2)25

(3)销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元

解析：(1)由题意得：y=(x-20)(-10%+400)=-10x2+600%-800.

当0=—10x+400时，x=40,

.-.20<%<40,

W=-10X2+600X-8000(20<X<40)；

(2)由题意，令w=750,

.-.-10x2+600x-8000=750,

解得：%=25,々=35.

又尽可能地减少库存，

,•x-25.

答：应将销售单价定为25元；

(3)w=-10x2+600%-8000=-10(x-30)2+1000(20<x<40),

—10<0,

.•.当x=30时，W有最大值，最大值为1000,

.••当销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元.

22.答案：(1)C

(2)图见解析，分析过程详见解析

(3)y=a；a<—4

(4)有两个不相等的实数根.

解析：(1)A选项，图象法是画出函数图象，通过交点的情况研究方程的解的情况，

满足数形结合思想，因此A正确；

B选项，联立抛物线丁=k和直线y=2x,可得方程整理得V—2X=0,符合

题目的方程，因此B正确；

C选项，联立抛物线y=3和直线y=—2x+3,可得方程V一3=—2x+3,整理得

X2+2X=0,不符合题目的方程，因此C错误；

D选项，联立抛物线丁=_?+3和直线y=2x+3,可得方程f+3=2x+3,整理得

/一2%=0,符合题目得方程，因此D正确；

故答案为：C；

(2)将方程变形为％2_4%+3=0,如图，画出二次函数y=£—4x+3的图象，发现抛

物线与x轴交于(1,0)和(3,0)两点，则当x=l或％=3时，y=0,

所以4%+3=0,即V—4%=—3,

所以方程的解是％i=l,x2-3；

(3)如图，画出二次函数y=f-4x的图象,

通过图象可得若方程x2-4x^a无实数根，得抛物线y=f—4x与直线y=a无交点，

由图象可知直线y=T与抛物线有一个交点，得若方程必一以=。无实数根，即直线

y=a在直线y=-4的下方，此时a的范围是a<-4；

故答案为：y=a-,a<—4；

(4)当M2时，|x-2|=x-2,当尤<2时，\x-2\=-x+2,

x-2（x>2）

则卜-2|=<

-x+2（x<2）

即当xN2时，y-x-2,当x<2,时，y=-x+2,

如图，画出丁=炉-4x和y=|x—2|得图象，

由图象可得y=炉—4x和y=k—2|有两个交点,

即——以=忖-2|有两个不相等的实数根.

故答案为：有两个不相等的实数根.

23.答案：（1）AD//BC,证明详见解析

275166

55

（3）4或20-100

解析：（1）AD//BC,理由如下：

AB=AC,

;.NB=NC,

2。也是△ABC的外角，

:.ZCAE=ZB+ZC=2ZB,

是外角NC4E的平分线,

Z1=Z2=-ZCAE=ZB,

2

ADHBC；

(2)点E是5C的中点，

:.BE=CE=-BC=4,

2

四边形ABC。是矩形，

:.ZB=90°,

AE=VAB2+BE2=A/22+42=2A/5,

・将△ABE沿直线AE翻折，点3落在点R处,