专题07 垂直平分线的性质与判定（六大类型）（解析版）

专题07垂直平分线的性质与判定（六大类型）【考点1：线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】【考点2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【考点3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【考点4：线段垂直平分线的性质的综合运用】【考点5：线段垂直平分线的判定】【考点6：线段垂直平分线的作法】【考点1：线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，则AB＝（）A．10cm B．16cm C．24cm D．30cm【答案】B【解答】解：∵CE垂直平分线段AD，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝∠DCE，∵CD平分∠BCE，∴∠BCD＝∠DCE，∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，∴∠ACD＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝16cm，故选：B．3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（）cm．A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝CE，∵△ABC的周长为17cm，∴AB+BC+AC＝17cm，∵△ABD的周长为11cm，∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，∴AC＝17﹣11＝6（cm），∴CE＝3cm，故选：B．4．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解答】解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD＝2，故选：D．6．如图，在△ABC中，边AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC＝10，△BDC的周长为22，边AC的长为（）A．12 B．32 C．17 D．11【答案】A【解答】解：∵边AB的中垂线DE交AC于点D，∴DA＝DB，∵△BDC的周长为22，∴BD+BC+CD＝22，∴AD+CD+BC＝22，即AC+10＝22，∴AC＝12．故选：A．7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】A【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长是13，∴AB+AD+BD＝13，∴AB+CD+BD＝13，∴AB+BC＝13，∵AB＝5，∴BC＝8，故选：A．8．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故选：A．【考点2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】9．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】C【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE，∴∠EBC＝∠C＝∠ABE，∴∠A+3∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝40°，∴∠CED＝90°﹣∠C＝50°，故选：C．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣25°＝85°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∴∠BAD＝85°﹣25°＝60°，故选：B．11．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（）A．100° B．128° C．108° D．98°【答案】A【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠BDE＝∠CDE＝64°，∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，∵∠A＝28°，∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．故选：A．12．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（）A．50° B．100° C．130° D．150°【答案】B【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，解法二：∵AB、AC中垂线角与点P，∴点P为△ABC外接圆圆心，∴∠BPC＝2∠BAC＝100°，故选B．13．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）A．140° B．130° C．120° D．110°【答案】D【解答】解：设∠BAC＝α，∴∠C+∠B＝180°﹣α，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，∴α＝110°，∴∠BAC＝110°，故选：D．14．如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且AB+BN＝BC，则∠B的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：连接AN，∵∠CAB＝105°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠CAB＝75°，∵MN是AC的垂直平分线，∴AN＝CN，∴∠NAC＝∠C，∴∠ANB＝2∠C，∵CN+BN＝BC，AB+BN＝BC，∴AB＝CN，∴AB＝AN，∴∠ANB＝∠B，∴∠B＝2∠C，∴∠B＝50°，故选：B．15．如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∵DM，EN分别垂直平分AB、AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC，∵∠DAE＝20°，∴∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°，∴∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，∴∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝20°，解得：∠BAC＝100°，故选：A．16．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）A．65° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EB＝EA，FA＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∵△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∴∠BAE+∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；故选：D．17．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，故选：B．18．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，则∠A的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，∴FE垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∵∠CFD＝∠FBC+∠FCB＝60°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∵∠ACF＝40°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠FBC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，故选：B．19．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AP＝BP，CQ＝AQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，∵∠BAC＝110°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，故选：A．20．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（）A．160° B．140° C．130° D．125°【答案】D【解答】解：连接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三边垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝130°，则∠EAF＝80°．【答案】80．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AF＝CF，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，∴∠BAE+∠CAF＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝130°﹣50°＝80°．故答案为：80．【考点3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】22．如图，小艳用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，关于这个支起的这个位置，以下说法正确的是（）A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条中线的交点 D．三角形三边的垂直平分线的交点【答案】C【解答】解：小艳用铅笔支起这张质地均匀的三角形卡片，这个点是三条中线的交点，即这个三角形的重心，故选：C．23．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处【答案】C【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选：C．24．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】B【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：B．25．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】D【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．26．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点【答案】A【解答】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选：A．【考点4：线段垂直平分线的性质的综合运用】27．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝6，求△ADE的周长；（2）若∠BAC＝130°，求∠DAE的度数．【答案】（1）6；（2）80°．【解答】解：（1）在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DB＝DA，EA＝EC，又BC＝6，∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6；（2）∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠BAD+∠EAC＝50°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°．28．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）设直线DM、EN交于点O．①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，∴∠BOC＝2∠MON＝160°．29．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E，∠CBA＝40°，（1）求∠BED的大小；（2）若BC＝4，AC＝3，△AEC的周长．【答案】（1）50°；（2）7．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴∠EDB＝90°，∵∠CBA＝40°，∴∠BED＝90°﹣40°＝50°．（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝4+3＝7．30．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠PAQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠PAQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．31．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．32．如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC，∵△APQ的周长为12，∴BC＝12；（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，∵∠BAC＝105°，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．【考点5：线段垂直平分线的判定】33．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上：【答案】．【解答】（1）证明：连接OA，∵AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上：34．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．求证：（1）OC＝OD，（2）OE是线段CD的垂直平分线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE＝CE，OE＝OE，在Rt△ODE与Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC＝OD；（2）∵△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．35．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．【考点6：线段垂直平分线的作法】36．直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，故选：C．37．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【答案】C【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．