山东省枣庄市台儿庄区2023-2024学年中考数学模试卷含解析

山东省枣庄市台儿庄区2023-2024学年中考数学模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A。£C°^°"修

2.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

10965

3.在平面直角坐标系xOy中，将点N（-l,-2）绕点。旋转180。，得到的对应点的坐标是（）

A.(1,2)B.(-1,2)

C.(-1,-2)D.(1,-2)

4.下列运算，结果正确的是()

,1

A.m2+m2=m4B.2m2n-r—mn=4m

2

C.(3mn2)2=6m2n4D.(m+2)2=m2+4

5.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那

么剩下矩形的面积是（）

C.21cm2D.20cm2

6.若一个凸多边形的内角和为720。，则这个多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

7.如果kVO,b>0,那么一次函数y=kx+b的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

8.菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则它的面积是（）

A.6cm2B.12cm2C.24cm2D.48cm2

9.如图，AABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（-2,3）,先把AABC向右平移6个单位得到

△AiBiCi,再作△AiBiCi关于x轴对称图形△A2B2c2,则顶点A2的坐标是（）

10.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）

A.1.8xl05B.1.8xl04C.0.18X106D.18xl04

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

_3

11.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直

4

线AB上的一个动点，则PM的最小值为

12.关于x的方程丝?-1=0有增根，则。=.

X-1

13.如图，路灯距离地面6根，身高1.5机的小明站在距离灯的底部（点。）15,"的A处，则小明的影子的长为

4

4

OAV

14.一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m,然后，原地逆时针方向旋转角2（0。＜"180。）.被称为一次操作.若五

次操作后，发现赛车回到出发点，则角a为

15.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1,以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三

角形ACD,再以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE……依此类推，直到第五个等

腰直角三角形AFG,则由这五个等腰直角三角

形所构成的图形的面积为

16.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8加，两侧离地面4根高处各有一盏灯，两灯

间的水平距离为6/及，则这个门洞的高度为m.（精确到0.1和）

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）先化简，再求值：\j—7p---其中＜7=6+1

[a+1a-1Ja+\

18.（8分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，

某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点

的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示

的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元.（毛利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛

利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

图①图②

19.（8分）已知关于x的方程x2—（m+2）x+（2m-1）=0。求证：方程恒有两个不相等的实数根；若此方程的一

个根是1,请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

/v\、_u笛/3X2+4x+4

2O0A./（o8分）计算：（-----%+1）4-----------.

x+1x+1

21.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.

(1)证明：ZBAC=ZDAC.

(2)若NBEC=NABE,试证明四边形ABCD是菱形.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，ZAOB=90°,点A(2,1).

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；

(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P,使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

23.(12分)(定义)如图1,A,B为直线1同侧的两点，过点A作直线1的对称点A，，连接A，B交直线I于点P,

连接AP,则称点P为点A,B关于直线1的“等角点”.

(运用)如图2,在平面直坐标系xOy中，已知A(2,，),B(-2,-7)两点.

(1)C(4,),D(4,-),E(4,；)三点中，点是点A,B关于直线x=4的等角点；

(2)若直线1垂直于x轴，点P(m,n)是点A,B关于直线1的等角点，其中m>2,NAPB=a,求证：tanr=r；

(3)若点P是点A,B关于直线丫=2*+1>(a/))的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当NAPB=60。时，求b的

取值范围(直接写出结果).

24.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y="+左(左W0)与X轴，y轴分别交于A,B两点,且点6(0,2),点P

在y轴正半轴上运动，过点p作平行于x轴的直线丁=上

(1)求上的值和点4的坐标；

(2)当/=4时，直线y=/与直线/交于点"，反比例函数y=—(〃wo)的图象经过点求反比例函数的解析式;

X

(3)当/<4时，若直线y=f与直线/和(2)反比例函数的图象分别交于点C,D,当CD间距离大于等于2时，

求f的取值范围.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；

B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；

C.是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误.

故选C.

【点睛】

掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后与原图重合.

2、A

【解析】

•.•密码的末位数字共有10种可能(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能)，

二当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是

故选A.

3、A

【解析】

根据点N(-L-2)绕点。旋转180。，所得到的对应点与点N关于原点中心对称求解即可.

【详解】

•••将点N(-1,-2)绕点O旋转180°,

得到的对应点与点N关于原点中心对称，

1•点N(-1,-2),

...得到的对应点的坐标是(1,2).

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得到的对应点与点N关于原点中心对称是解答本题的关键.

4、B

【解析】

直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案.

【详解】

A.m2+m2=2m2,故此选项错误；

,1〜

B.2m2*—mn=4m,正确；

2

C.(3mn2)2=9m2n3故此选项错误；

D.(m+2)2=m2+4m+4,故此选项错误.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则，解题的关键是熟练的掌握乘方运算法则、

合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则.

5、B

【解析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】

A___EC

RFn

解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

则矩形ABDCs矩形FDCE,

ABBD

则一=—

DFDC

68

设DF=xcm,得到：一=—

x6

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm1.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

6、C

【解析】

设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理得到(n-2)x180*720。，然后解方程即可.

【详解】

设这个多边形的边数为n,由多边形的内角和是720。，根据多边形的内角和定理得(n—2)180°=720°.解得n=6.故选

C.

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.

7、D

【解析】

根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限.

【详解】

Vk<0,

...一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限.

又时，

...一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴.

综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、

b的符号有直接的关系.k>0时，直线必经过一、三象限.k<0时，直线必经过二、四象限.b>0时，直线与y轴

正半轴相交.b=0时，直线过原点；bVO时，直线与y轴负半轴相交.

8、C

【解析】

已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积.

【详解】

根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=—ab=—x6cmx8cm=14cm1.

22

故选：C.

【点睛】

考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.

9、A

【解析】

直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置.

【详解】

如图所示：

顶点A2的坐标是（4,-3）.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.

10、A

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

180000=1.8x105,

故选A.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

28

11、——

5

【解析】

认真审题，根据垂线段最短得出PM_LAB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM^AABO,

即可求出本题的答案

【详解】

解：如图，过点P作PMLAB,贝!|：NPMB=90。，

3

因为直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,

4

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtZkAOB中，AO=4,BO=3,AB=732+42=5>

；/BMP=NAOB=90。，ZB=ZB,PB=OP+OB=7,

/.△PBM^AABO,

PBPM

：.—=——，

ABAO

所以可得：PM=y.

12、-1

【解析】

根据分式方程竺?一1=。有增根，可知x』=0,解得x=l,然后把分式方程化为整式方程为：ax+1-(x-1)=0,代入

%-1

x=l可求得a=-l.

故答案为-L

点睛：此题主要考查了分式方程的增根问题，解题关键是明确增根出现的原因，把增根代入最简公分母即可求得增根,

然后把它代入所化为的整式方程即可求出未知系数.

13、1.

【解析】

易得：AABMs^OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

【详解】

4

OAV

解：根据题意，易得AMBAsaMCO,

根据相似三角形的性质可知

AB_AM

OCOA+AM'

.1.5AM

即——=--------，

615+AM

解得AM=lm.则小明的影长为1米.

故答案是：L

【点睛】

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

14、72°或144°

【解析】

•••五次操作后，发现赛车回到出发点，.•.正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(()o<a<180。)，那么朝

左和朝右就是两个不同的结论所以

.•.角a=(5-2)•180°+5=108°,贝！]180°-108°=72°或者角a=(5-2)•180°-5=108°,180°-72°4-2=144°

15、12.2

【解析】

VAABC是边长为1的等腰直角三角形，••.SAABC=LX1X1=L=1N；

22

AC=J]?+]2,AD=4+(0)2=1,.'.SAACD=—Xy[2X\[2=1=11-1

・,•第n个等腰直角三角形的面积是HL・・・SAAEF=14-I=4,SAAFG=121=8,

由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为L+1+1+4+8=12.2.故答案为12.2.

2

16、9.1

【解析】

建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标

【详解】

如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系

由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

设抛物线解析式为y=ax2+c(a#0)把B、D两点带入解析式

可得解析式为y=—则c(0,

64

所以门洞高度为亍ma9.1m

【点睛】

本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键

三、解答题(共8题，共72分)

【解析】

先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，最后代入求值.

【详解】

1一］一(〃-2)1

解：M^；=------------—x((2+l)=------

(a+l)(a—1)a—1

把。=百+1代入得：原式=正.

3

【点睛】

本题考查分式的化简求值，计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

18、(1)y=^x'.z=-fjx+30(0<X<100)；(1)年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；(3)今

年最多可获得毛利润1080万元

【解析】

(1)利用待定系数法可求出y与x以及z与*之间的函数关系式；

(1)根据(1)的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；

(3)首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.

【详解】

(1)图①可得函数经过点(100,1000),

设抛物线的解析式为y="i(存0),

将点(100,1000)代入得：1000=10000a,

解得：

故y与x之间的关系式为

图②可得：函数经过点(0,30)、(100,10),

100左+匕=20

设z=kx+b,则］,

k=—

解得：<10,

b=30

故z与x之间的关系式为z=-T^X+30(0<X<100)；

(1)W=zx-y=——x1+30x——x1

1010

=-x1+30x

=--(x1-150x)

5

=--(x-75)1+1115,

5

1

,:--<0,

5

.•.当x=75时，W有最大值1115,

/.年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；

(3)令y=360,得上/=363,

解得：x=±60(负值舍去)，

由图象可知，当0<好360时，0〈烂60,

由W=-g(x-75)1+1115的性质可知，

当0<烂60时，W随x的增大而增大，

故当x=60时，W有最大值1080,

答：今年最多可获得毛利润1080万元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.

19、(1)见详解；(2)4+而或4+2行.

【解析】

(1)根据关于x的方程x2—(m+2)x+(2m-l)=0的根的判别式的符号来证明结论.

(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角

形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一

边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：(1)证明：(m+2)2—4(2m—1)=(m—2)2+4,

，在实数范围内，m无论取何值，(m—2)2+4>4>0,即△>0.

・•・关于x的方程x2—(m+2)x+(2m-l)=0恒有两个不相等的实数根.

(2)・・•此方程的一个根是1,

/.I2—lx(m+2)+(2m—1)=0,解得，m=2,

则方程的另一根为：m+2—1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为国，该直角三角形的周长为1+3+河=4

+而.

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为20；则该直角三角

形的周长为1+3+2亚=4+272.

2-x

20、-----

x+2

【解析】

【分析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.

—1)X+1

【详解】原式二----X-------7

/+1%+1)(x+2)

=(x+2)(2-X),：x+1

x+1(x+2)-

_2-x

x+2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键.

21、证明见解析

【解析】

试题分析：由AB=AD,CB=CD结合AC=AC可得△ABC四△ADC,由此可得NBAC=NDAC,再证AABF^^ADF

即可得到NAFB=NAFD,结合NAFB=NCFE即可得到NAFD=NCFE；

(2)由AB/7CD可得NDCA=NBAC结合NBAC=NDAC可得NDCA=NDAC,由此可得AD=CD结合

AB=AD,CB=CD可得AB=BC=CD=AD,即可得至!］四边形ABCD是菱形.

试题解析：

(1)在4ABC^flAADC中，

VAB=AD,CB=CD,AC=AC,

/.△ABC^AADC,

/.ZBAC=ZDAC,

在4ABF和4ADF中,

VAB=AD,ZBAC=ZDAC,AF=AF,

/.△ABF^AADF,

/.ZAFB=ZAFD.

(2)证明：VAB/7CD,

/.ZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,

:.ZACD=ZCAD,

/.AD=CD,

；AB=AD,CB=CD,

.,.AB=CB=CD=AD,

二四边形ABCD是菱形.

57

22、(1)B(-1.2);(2)y=：x?—⑶见解析.

66

【解析】

(1)过A作ACLx轴于点C,过B作BD，x轴于点D,则可证明△ACO丝△ODB,则可求得OD和BD的长，可

求得B点坐标；

(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作「£〃丫轴交线段OA于点E,可求得直线OA解析式，设

出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面

积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标.

【详解】

(1)如图1,过A作ACLx轴于点C,过B作BD，x轴于点D,

/.AO=BO,

VZAOB=90°,

，ZAOC+ZDOB=ZDOB+ZOBD=90°,

/.ZAOC=ZOBD,

在小ACO和/kODB中

ZAOC=ZOBD

<ZACO=ZODB

AO=BO

/.△ACO^AODB(AAS),

VA(2,1),

.\OD=AC=1,BD=OC=2,

AB(-1,2)；

(2)I•抛物线过O点，

二可设抛物线解析式为y=ax2+bx,

'_5

Ua+2b=la~6

把A、B两点坐标代入可得，°，解得〈；

a-ZF=277

ib=——

、6

57

，经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=：x2・：x；

66

(3)•・•四边形ABOP,

・•・可知点P在线段OA的下方，

过P作PE〃y轴交AO于点E,如图2,

设直线AO解析式为y=kx,

VA(2,1),

k=—，

2

直线AO解析式为y=；x,

571

设P点坐标为(t,-t2—t),则E(t,-t),

662

2666366

266

由A(2,1)可求得OA=OB=V^,

•••SAAOB=-AO*BO=一,

22

・5555/A210

・・S四边形ABOP=SAAOB+S^AOP=--（t-1）+—H—=（，—1）H-----,

6626V73

5

V--<0,

6

...当t=l时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（L-g），

综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P,其坐标为（1，-（）•

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面

积以及方程思想等知识.在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t

表示出四边形ABOP的面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

23、(1)C(2)W(3)bV-一且厚-2、匚或b>\7

【解析】

（1）先求出B关于直线x=4的对称点B，的坐标，根据A、B，的坐标可得直线AB，的解析式，把x=4代入求出P点的

纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线1的对称点A，，连A，B，，交直线1于点P,作BHL1于点H,根据对称

性可知NAPG=A，PG,由NAGP=NBHP=90。可证明△AGPs/\BHP,根据相似三角形对应边成比例可得m=〈i

根据外角性质可知NA=NA，二，在R3AGP中，根据正切定义即可得结论；(3)当点P位于直线AB的右下方，

NAPB=60。时，点P在以AB为弦，所对圆周为60。，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b(a邦)与圆相交，设圆与直

线y=ax+b(a#))的另一个交点为Q

根据对称性质可证明AABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b(aRO)与圆相切，易得P、Q重合，所以

直线y=ax+b(a邦)过定点Q,连OQ,过点A、Q分别作AM，y轴，QN，y轴，垂足分别为M、N,可证明

△AMO-AONQ,根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求

出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.

【详解】

(1)点B关于直线x=4的对称点为B'(10,-7),

直线AB，解析式为：y=-2二

♦J

当x=4时，y=-P，

i

故答案为：C

(2)如图，过点A作直线1的对称点A，，连A，B，，交直线1于点P

作BHL于点H

•.•点A和A，关于直线1对称

:.ZAPG=ZATG

,/ZBPH=ZATG

ZAPG=ZBPH

■:NAGP=NBHP=90°

/.△AGP^ABHP

.•,==「，即三=一2^,

□IJ□□-j

z

/.mn=2\7,BPm=zr9

VZAPB=a,AP=AP',

(3)如图，当