专题04 全等基本类型（解析版）

专题04全等基本类型实战训练一．一线三角类1．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是50．试题分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG，故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．答案详解：解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S=12（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝所以答案为50．2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是2cm、3cm，则线段EF的长为5cm．试题分析：根据正方形的性质可得出AB＝BC、∠ABC＝90°，由垂直的定义结合角的计算即可得出∠EAB＝∠FBC，利用全等三角形的判定定理AAS即可找出△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可得出BE＝CF＝2cm、BF＝AE＝1cm，由EF＝BE+BF代入数据即可算出结论．答案详解：解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠E＝∠F＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°．∵∠ABE+∠ABC+∠FBC＝180°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∴∠EAB＝∠FBC．在△ABE和△BCF中，∠E=∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF＝3cm，BF＝AE＝2cm，∴EF＝BE+BF＝3+2＝5cm．所以答案为：5．3．如图，点B，C，D共线，∠C＝∠ABE＝∠D＝90°，BC＝DE．（1）求证：AB＝BE；（2）连接AE，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．试题分析：（1）根据AAS证明△ABC≌△BED即可得结论；（2）由△ABC≌△BED，可得AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，AB＝BE＝c，再根据三角形的等面积法即可得结论．答案详解：（1）证明：∵∠ABE＝90°∴∠ABC+∠EBD＝90°∵在△ABC中，∠C＝90°∴∠ABC+∠A＝90°∴∠EBD＝∠A，在△ABC与△BED中，∠EBD=∴△ABC≌△BED（AAS），∴AB＝BE；（2）证明：由（1）可得△ABC≌△BED，∴AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，AB＝BE＝c，由面积法可知：S梯形ACDE＝S△ABC+S△BDE+S△ABE＝ab+12cS梯形ACDE=12（AC+DE）（BC+BD）=12（a+∴ab+12c2=12（a+∴a2+b2＝c2．4．如图（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：DE＝AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？请直接写出你的结论，不必说明理由．试题分析：（1）由条件可证明△ADC≌△CEB，再利用线段的和差可证得结论；（2）同（1）的方法可证得结论．答案详解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中∠ADC=∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）解：DE＝AD﹣BE，证明：在△ADC和△CEB中，∠ADC=∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．二．平移翻折类5．如图在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．试题分析：答案不唯一，如：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．只要证明△AFD≌△CEB即可；答案详解：答案不唯一，如：解：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．∵在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB∴∠B＝∠D．6．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．试题分析：（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．答案详解：证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠C∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．7．已知：如图，点B、C、D、E在一条直线上，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC．求证：（1）△ABC≌△FED；（2）AC∥FD．试题分析：（1）根据BD＝EC，即可得出BC＝ED．根据SAS即可判定△ABC≌△FED，（2）由全等三角形的性质可得到∠ACB＝∠FDE，进而得出AC∥DF．答案详解：证明：（1）∵BD＝EC，∴BC＝ED．在△ABC和△FED中，AB=FE∠B=∠E∴△ABC≌△FED（SAS）．（2）∵△ABC≌△FED，∴∠ACB＝∠FDE，∴AC∥DF．8．已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．试题分析：根据SAS证明△ABF≌△CDE（SAS），推出AF＝CE，可得结论．答案详解：证明：在△ABF和△CDE中，BA=DC∠B=∠D∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∴AE+EF＝EF+CF，∴AE＝CF．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．试题分析：（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．答案详解：（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC与△DEF中，∠ABC=∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝13m，BF＝4m，∴FC＝13﹣4﹣4＝5m．三．（平移）旋转类10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c试题分析：只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；答案详解：解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，所以选：D．11．如图，在△ABC与△ADE中，AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，连接CD、BE，取BE中点F，连接AF．（1）求证：BC＝DE；（2）猜想线段AF、CD之间的数量关系，说明理由．试题分析：（1）证明△BAC≌△DAE（SAS），可得结论．（2）结论：CD＝2AF．延长F到H，使得FH＝AF，连接BH，EH．利用全等三角形的性质证明CD＝AH，即可解决问题．答案详解：（1）证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE．（2）解：结论：CD＝2AF．理由：延长F到H，使得FH＝AF，连接BH，EH．∵AF＝FH，BF＝FE，∴四边形ABHE是平行四边形，∴AB＝HE＝AD，AB∥EH，∵AB⊥AD，∴EH⊥AD，∴∠AEH+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠AEH＝∠CAD，在△AEH和△CAD中，EA=AC∠AEH=∠CAD∴△AEH≌△CAD（SAS），∴AH＝CD，∵AH＝2AF，∴CD＝2AF．12．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AB∥CE．试题分析：（1）根据等边三角形的性质可以得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，然后即可得到较BAD＝∠CAE，再根据SAS即可证明结论成立；（2）根据（1）中的结果和平行线的判定，可以得到AB∥CE．答案详解：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE，∵∠B＝60°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，∴∠B+∠BCE＝180°，∴AB∥CE．13．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝80°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？请说明理由．试题分析：（1）先由AD＝AB得到∠B＝∠ADB，然后由∠B＝80°求得∠BAD的大小，再求出∠CAE的大小，最后利用AE∥BC求得∠C的度数；（2）先由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠DAE，然后结合AB＝AD、AC＝AE得证△ABC≌△ADE，进而得到∠B＝∠ADE，再结合∠ABD＝∠ADB得到∠ADB＝∠ADE，最后得到DA平分∠BDE．答案详解：解：（1）∵∠B＝80°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝20°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝20°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝20°．（2）AD平分∠BDE，理由如下，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴AD平分∠BDE．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为2．试题分析：由BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB＝90°，可得∠ACD＝∠CBE，然后根据AAS证出△ACD≌△BCE，得出BE＝CD，AD＝CE，再根据DE＝4，AD＝6，即可求解．答案详解：解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ACD与△CBE中，∠ACD=∴△ACD≌△CBE（AAS），∴BE＝CD，AD＝CE，∵DE＝4，AD＝6，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2．所以答案为：2．15．如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）若BE＝9，AC＝4，求CD的长．试题分析：（1）先利用平行线的性质得∠C＝∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB；（2）结合（1）根据全等三角形的性质可得BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，进而可得结果．答案详解：（1）证明：∵AC∥BE，∴∠C＝∠DBE．在△ABC和△DEB中，∠C=∴△ABC≌△DEB（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．四．中点+平行16．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝2．试题分析：利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．答案详解：解：∵AB∥CF，∴∠A＝∠FCE，∠B＝∠F，∵点E为BF中点，∴BE＝FE，在△ABE与△CFE中，∠A=∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF＝6，∵AD＝4，∴BD＝2，所以答案为：2．17．如图，AB、CD相交于点O，且O是AB的中点，AC∥BD．求证：O是CD中点．试题分析：根据全等三角形的判定定理ASA证得△ACO≌△BDO，然后由全等三角形的对应边相等即可证得结论答案详解：证明：因为AC∥BD，所以∠A＝∠B，因为O是AB的中点，所以OA＝OB．在△AOC和△BOD中，∠A=所以△AOC≌△BOD（ASA）．所以OC＝OD，即O是CD中点．五．对称类18．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、BD相交于点E．求证：∠ABE＝∠DCE．试题分析：根据“AAS”判定△ABE≌△DCE即可证得结论．答案详解：证明：在△ABE和△DCE中，∠A=∴△ABE≌△DCE（AAS），∴∠ABE＝∠DCE．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD、CE相交于点O．求证：OA平分∠BAC．试题分析：利用等腰三角形的定义、性质以及角平分线的定义证明OB＝OC，进而判定△ABO≌△ACO即可证得结论．答案详解：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=1∴∠CBD＝∠BCE，∴OB＝OC，在△ABO和△ACO中AB=ACAO=AO∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，即OA平分∠BAC．20．已知如，图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C．试题分析：连接BD，已知两边对应相等，加之一个公共边BD，则可利用SSS判定△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可证得．答案详解：证明：连接BD，∵AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．∴∠A＝∠C．21．如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）AO＝DO；（2）∠OBC＝∠OCB．试题分析：（1）由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；（2）根据全等三角形的性质得到OB＝OC，再由等边对等角得结论．答案详解：证明：（1）在△ABO和△DCO中，∠AOB=∴△ABO≌△DCO（AAS），∴AO＝DO；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．六．半角模型22．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=12∠BAD，此时（试题分析：（1）延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，证明△ADF≌△ABM，然后再证明△EAM≌△EAF，进而得证；（2）延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，先证明△ADF≌△ABM，再证明EAM≌△EAF，进而得证．答案详解：解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF=∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．七．手拉手23．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．试题分析：（1）根据等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，即可解决问题；（2）结合（1）根据对顶角相等即可得∠BPC的度数．答案详解：（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AMB＝∠PMC，∴∠BPC＝∠BAC＝40°．24．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．求证：（1）∠CAM＝∠CBN；（2）CM＝CN．试题分析：（1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质、三角形内角和可以求得∠APB的度数；（3）证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．答案详解：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAM＝∠CBN