2023-2024学年邢台市一中高二数学下学期期中测试卷附答案解析

-2024学年邢台市一中高二数学下学期期中测试卷本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．求的值为（

）A．12 B．18 C．24 D．302．已知，则（

）A． B．2 C． D．3．在数列中，，，则的值为（

）A． B． C． D．4．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．5 D．5．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．6．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A．， B．，C．， D．，7．令，则当时，a除以15所得余数为（

）A．4 B．1 C．2 D．08．设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知.则（

）A． B． C．1 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝210．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（

）A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B．A与同学不相邻，共有种站法C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则有两个极值点B．若是的唯一极值点，则C．有唯一极值点的充要条件是D．若有三个极值点，，，则.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.（用数字作答）13．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为．14．已知函数，若，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15．已知，函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围．16．“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（）个，第3层（）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?”(1)第12层有多少个?（写出计算过程）(2)若用表示第n层的物体个数，请做如下计算：①的值为多少；②求数列的前2024项和.17．已知双曲线的右焦点F到其渐进线的距离为，又P为双曲线上一点，且满足：轴，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），且与交于Q点，问：是否存在常数t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.18．已知函数(1)若，求的取值范围；(2)若既存在极大值，又存在极小值.①求a的取值范围；②当时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围.19．在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．1．B【分析】利用排列数的计算方法即可得解.【详解】.故选：B.2．A【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.【详解】故选：A.3．C【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到规律，从而求出.【详解】数列中，由，，得，同理可得，，…，所以，则.故选：C.4．B【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以，即.故选：B.5．C【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【详解】依题意，设，则，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，显然，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系.6．A【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.【详解】设直线与曲线的切点为且，与曲线的切点为且，又，，则直线与曲线的切线方程为，即，直线与曲线的切线方程为，即，则，解得，故，故选：A.7．D【分析】当，利用二项式定理化简得，结合二项式的展开式公式即可求解.【详解】，当时，故a除以15所得余数为0.故选：D.8．B【分析】设，，，，由导数的几何意义求得，由，，可得，则有，又，得，可求的值.【详解】由题意可设，，，.抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为，，，，因此，即，平行于轴，，则点D到直线和直线的距离相等，即.又，，所以.所以.故选：B.9．BCD【详解】解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．10．ABD【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论的位置即可判断D．【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，故A正确；对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，共有种，故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；故选：ABD．11．ABD【分析】根据导数的零点情况可判断A，根据导数有唯一零点，转化为恒成立求范围判断B，结合B可判断C，由题意转化为，构造函数利用函数单调性证明即可判断D.【详解】时，由可知，由函数，图象，显然方程有唯一负根，即有变号零点，所以有两个变号零点，所以函数有两个极值点，故A正确；若是的唯一极值点，则恒成立，若，为增函数，时，不成立，若，则恒成立，令，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以，B正确；，即当时，，此时由，由可得，当，当，所以函数在单调递减，在单调递增，显然可得，所以，又，故存在使，所以函数有两个零点3和，是的不变号零点，是的变号零点，所以3不是的极值点，时，有唯一极值点，C错误；有三个极值点，，必有两个零点且都不为3，不妨设，则必有两个不同零点，，不妨设，则单调递增，且有唯一零点，故，此时零点，当时，，单调递减，当时，单调递增，由有两零点可知，即，，又，所以存在零点，时，，所以必存在，且，令，即，令，下面证明，令，则是增函数，又∵，时，，即.当时，，即由可知，当时，，在单调递减，，，，即，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D选项中，由原问题可转化为有两个零点，转化为中，为证明，构造函数，由函数的单调性得出，，即，是解题的关键.12．120【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.故答案为：13．10【分析】连接，，则由椭圆的中心对称性将的周长转化为，所以当取最小值时，周长最小【详解】解：椭圆的方程为，∴，，，连接，，则由椭圆的中心对称性可得的周长，当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，．故答案为：1014．【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可.【详解】解法l：隐零点处理策略函数的定义域为，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，由，，得在上存在唯一的零点，即，于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以.解法2：同构变形依题意，，令，，设，求导得，当时，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故答案为：15．（1）2；（2）．【分析】（1）根据题意知切线的斜率为，求导代入可得，求解即可；（2）根据题意可得在上恒成立，参变分离可得，求函数的最值即可得解.【详解】（1）因为，所以曲线在点处的切线斜率．而直线的斜率为，则，得．（2）由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立．又时，，所以，所以的取值范围是．16．(1)78(2)①；②【分析】（1）由每一层的数量规律，求第12层的数量；（2）由每一层的数量规律，求的值，再利用裂项相消求数列的前2024项和.【详解】（1）第12层的物品个数为：.（2）①；②，.17．(1)(2)存在，【分析】（1）由右焦点F到其渐进线的距离为可得，由轴，且可得，从而可得双曲线的标准方程；（2）根据题意，先写出直线直线方程，并求的坐标，然后直线与双曲线联立方程组，消去，得一元二次方程，进而求的取值范围，从而通过的计算化简可得结论.【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，右焦点到渐近线的距离，得.设，则，得，即，于是由，得双曲线标准方程为：.（2）由（1），不妨令，且，因为过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），所以直线的斜率存在，即直线方程为，则，因此.由联立并化简得，令，，则，∵直线与双曲线右支相交，，或，.存在，使得成立.【点睛】易错点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题.解决该问题应该注意的事项：（1）写直线方程的时候要考虑斜率是否存在；（2）直线与双曲线右支相交的时候.18．(1)(2)①；②【分析】（1）利用导数求出在单调递增，在单调递减，得在处取得极大值，即为的最大值，无最小值，从而可得结果；（2）①求出导数，依题意方程有两个不等实根，得出且，反之，当时和时分别求出函数的单调区间可得结果；②由①可知的极大值点为，极小值点为，将已知条件转化为恒成立，构造函数，利用导数对变量m进行分类讨论可得结果.【详解】（1）当时，，则有，令，所以在单调递增，令，所以在单调递减，所以在处取得极大值，即为的最大值，无最小值.所以.（2）.因为存在极大值和极小值，所以方程有两个不等实根.所以且.这是必要条件，下面证明充分性.令，解得或.①当时，，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得时，所以在单调递减.故当时，取得极大值；当时，取得极小值.当时，，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在单调递减.故当时，取得极小值；当时，取得极大值.综上所述，a的取值范围为.②当时，由①可知的极大值点为，极小值点为，所以，.因为，令，可得对任意恒成立.由于此时在上单调递减，所以，故，故，即.设，则，令（*），，（I）当时，，故，在上单调递增.故，即，符合题意.（Ⅱ）当时，，设（*）的两根为和，且，则，，故，则当时，，单调递减.故当时，，即矛盾，不符合题意.综上，，即，所以，故k的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问中的第②小问关键是由①可知的极大值点为，极小值点为，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数对变量m进行分类讨论，从而可得结果.19．(1)数列不是“数列”(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求出即可判断；（2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解出，由此求出，即可求