数学01（新高考卷新题型结构）-学易金卷：2024年高考考前押题密卷含解析

数学01（新高考卷，新题型结构）-学易金卷：2024年高考考前押题密卷2024年新高考考前押题密卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（

）A． B． C． D．3．金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（

）A．72种 B．48种 C．36种 D．24种4．已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（

）A．511 B．61 C．41 D．96．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，则（

）A．的值域为B．是周期函数C．在单调递减D．的图像关于直线对称，但不关于点对称10．已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（

）A． B．点的坐标为C．的方程可以是 D．的方程可以是11．已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则动点的轨迹长度为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，则的大小为定值第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是.13．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是.14．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.(1)求小张能全部回答正确的概率；(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.16．（15分）如图所示，三棱柱所有棱长都为，，为中点，为与交点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．17．（15分）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求实数的取值范围.18．（17分）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．19．（17分）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)设，，且，求的值；(3)记，，若集合中的元素个数为，求.2024年新高考考前押题密卷数学全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】或，，所以.故选：D.2．某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出总的平均工资，再根据分层抽样的方差公式求解即可.【详解】所有人的平均工资为千元，故该公司所有员工工资的方差为.故选：D3．金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（

）A．72种 B．48种 C．36种 D．24种【答案】A【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成组，然后分给剩余2个不同学校有种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有种，这2组分配到2个不同学校有种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有种不同的分法.故选：A4．已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性运算，将向量转化为进行数量积运算.【详解】设正六边形的中心为，．根据正六边形的对称性，以点在边上为例，当点在与顶点重合时，最大为2，当时，最小为，则，所以.故选：B5．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（

）A．9 B．41 C．61 D．511【答案】C【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由可得，即，所以，两式相除可得；即，由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列，偶数项是以为首项，公比为2的等比数列，所以.故选：C6．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到，从而利用锐角三角形的性质得到的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解.【详解】因为，则由正弦定理得，又，所以，则，因为是锐角三角形，则，则，所以，即，则，所以，解得，则，所以.故选：A.7．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设，由且轴，所以，所以，从而，即，设点，且它在双曲线上，，即，其中，，从而，.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解.8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果.【详解】因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的值域为B．是周期函数C．在单调递减D．的图像关于直线对称，但不关于点对称【答案】BCD【分析】对于A，利用三角恒等变换化简函数表达式为，但是注意到，由此即可判断；对于B，在定义域内，由诱导公式可得，由此即可判断；对于C，在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断.【详解】对于A，．因为，且，所以的值域是，A错误．对于B，的定义域且，对任意恒有，B正确．对于C，在有意义，当时，，所以在单调递减，C正确．对于D，，的图象关于直线对称，且的定义域关于对称，所以的图像关于直线称．，的图象关于点对称，但的定义域不关于点对称，所以的图象不关于点对称，D正确．故选：BCD．10．已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（

）A． B．点的坐标为C．的方程可以是 D．的方程可以是【答案】BCD【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，即可求出，再求出过点与直线垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为点坐标，再设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可得解.【详解】圆圆心为，半径，则圆心到直线的距离，因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为，故A错误；设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得，所以，由，解得，所以，故B正确；显然过点的切线的斜率存在，设切线的方程为，则，解得或，所以切线的方程为或，故CD正确.

故选：BCD11．已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则动点的轨迹长度为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，则的大小为定值【答案】ACD【分析】对于A项，先证得面可得点轨迹为平面与内切球的交线，由到面的距离为面与面的距离可得，结合求解即可，对于B项，当三棱锥的体高经过球心时体积取得最大值，结合空间向量坐标法求得球心到平面距离，进而由计算即可，对于C项，运用极化恒等式可得，则将问题转化为求的范围，作出平面截球的截面，将空间问题转化为平面问题可得，进而可求得结果，对于D项，作出平面截球与椭球的截面图，结合椭圆与圆的对称性可判断D项.【详解】对于A项，由正方体性质得面，且内切球半径，分别取、、中点、、，如图所示，易知面面，故面，则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长，易知球心面，则到面的距离为面与面的距离，所以截面圆半径为.故点轨迹长度为，故A项正确；对于B项，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，所以到平面距离为，因为面，面，所以，又，所以三棱锥的体积的最大值为，故B项错误；对于C项，取中点，连接、、，如图所示，则，所以，平面截球的截面图如图所示，又，，则，所以当位于时，所以当位于时，，则，所以，即的范围为，故C项正确；对于D项，由题意知，，又，所以点在以、为焦点，长轴长为3的椭球面上，又因为点在以为球心，1为半径的球面上，所以点在椭球面与球面的交线处，则平面截球与椭球的截面图如图所示，由椭圆与圆的对称性可知，点位于、、、时，为定值，故D项正确.故选：ACD.【点睛】与球截面有关的方法点睛：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．第II卷（非选择题）三、填空题12．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是.【答案】【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，则.所以.由.故答案为：13．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是.【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围.【详解】当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，从而，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是．【答案】2【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得.【详解】设，则，，，因，则得．又因，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．故答案为：2.【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.四、解答题15．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.(1)求小张能全部回答正确的概率；(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.【答案】(1)；(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81.【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；【详解】（1）设小张答对的题数为，则. 3分（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，由题意知，，，则， 5分； 7分（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，且，， 9分设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，则，， 11分，. 13分16．如图所示，三棱柱所有棱长都为，，为中点，为与交点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）取中点，连接，，，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面．（2）由题意证明，，得出平面，即可证明平面平面．（3）依题意可得为直线与平面所成角，由直线与平面所成的角的正弦值求出，从而求出，再由余弦定理求出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算二面角的余弦值．【详解】（1）取中点，连接，，；因为，分别为和的中点，所以且， 1分又且，所以且，即四边形为平行四边形，所以， 3分又因为平面，平面，所以平面． 4分（2）因为三棱柱所有棱长都为，，所以，，为的中点，四点共面， 5分所以，且，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面． 7分（3）由题意知，，且，，平面，，所以平面，又，所以平面，所以为直线与平面所成角， 8分又，所以，因为，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，所以，所以，在中，，所以， 9分以为原点，作平面，以，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，由，所以，所以，， 11分设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以平面的一个法向量为， 13分记二面角的平面角为，由图可得为锐角，则，即二面角的平面角的余弦值为． 15分17．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足.【详解】（1）当时，，则， 2分所以切线斜率为，又，所以，切线方程是. 5分（2）①当时，因为，所以，所以.记，则， 6分令，则. 7分因为当时，，所以在区间上单调递增，所以，， 8分所以，在区间上单调递增，所以，，所以. 9分②当时，，因为当时，，令，则， 10分若，则，即在区间上单调递增. 11分若，则，所以在区间上单调递增. 12分所以当时，在区间上单调递增，因为，，所以，存在，使得，所以，当时，，即在区间上单调递减，所以，不满足题意.综上可知，实数的取值范围为. 15分18．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；（2）求出弦长及点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.【详解】（1）由题意得，，由，所以 4分（2）设，联立，，设方程的两根为，则， 6分由，所以，联立直线可得，代入方程中，得，即， 8分故的面积. 9分因为在圆上，所以且，于是，显然此式在上单调递增，故，也即，因此，由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为. 12分（3）由（2）知，,设，过的切线，即，过点切线交得，同理， 14分因为，.所以，即. 17分【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出，再由切线相交得出点坐标，求出三角形面积，再由点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键.19．已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)设，，且，求的值；(3)记，，若集合中的元素个数为，求.【答案】(1)7；(2)或10；(3)【分析】（1）根据集合新定义，确定中最小的元素即可；（2）根据集合中的元素可得，设，，分别讨论当时，当时，当时，的取值情况，即可得结论；（3）设，则，其中，，所以，根据组合数的运算性质确定与的关系，即可求得的值.【详解】（1）中的最小元素为. 3分（2）由题得，设，.①当时，或或或或或.经检验，当时，，符合题意，所以. 5分②当时，或或或.经检验，当时，，符合题意，所以. 7分③当时，不符合题意.因此，或10. 8分（3）设，则，其中，，所以，设，则. 10分因为，所以 12分.因为，所以，所以，又因为，所以. 17分【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合中的元素性质；（2）确定集合中的元素个数为时，结合组合数的运算性质确定与的关系.2024年新高考考前押题密卷数学·参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DDABCABD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011BCDBCDACD二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12． 13． 14．2四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）【答案】(1)；(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09