天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（一）数学试卷（含答案解析）

天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测(一)数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合工=任帆＜4},集合3={x|/-5X-6＞0},则/n2=()

A.(4,6)B.(—4,2)C.(—1,4)D.(-4,-1)

2.设aeR,贝＞—2”是“函数/(x)=2/+4依+1在(2,+co)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知甲乙两组数据分别为20,21,22,23,24,25和23,24,25,26,27,28,则下列说法中不

正确的是()

A.甲组数据中第70百分位数为23B.甲乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为25.5D.甲乙两组数据的方差相同

4.函数/卜)=那用+881：的导数为8@),则y=g(x)的部分图象大致是()

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

6.一个体积为4百兀的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切,

则此正三棱柱的体积为()

A.18B.27C.36D.54

7.关于函数〃x)=|底i财+cosx有下述四个结论：

试卷第1页，共4页

①“X）是偶函数;

②〃X）在区间上单调;

③/（X）的最大值为最小值为加，则M-加=3；

④“X）最小正周期是27t.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.过双曲线C：♦-2=l（a>0,b>0）的右焦点厂作渐近线y=2尤的垂线/,垂足为“交

aba

另一条渐近线于点5,且点尸在点43之间，若BF=2AF,则双曲线C的渐近线方程

为（）

A.y=±3

C.y=+-x

2

9.如图，点C在以AB为直径的圆上,其中|/为=2,过A向点C处的切线作垂线，垂

足为尸，则衣•方的最大值是

C.0D.-1

二、填空题

10.i是虚数单位，复数z满足i（z+l）=2,贝ijz=.

11.若126-[=]的展开式中常数项为A,则/=.

12.直线x-y-1=0将圆（x-2）2+（y-3）2=8分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的

弧长之比为.

13.已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量药物。进行肺癌簇查，检查结果

分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存

在错误的，化验的准确率为98%,即患有肺癌的人其化验结果98%呈阳性，而没有患肺

试卷第2页，共4页

癌的人其化验结果98%呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率

为；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为.

11Q

14.已知。>0/>0,。+6=1,贝!］一+丁+―—万的最小值为______.

aba+b

x|x-l|-l,x>0,

15.函数/(x)=1八，若函数g(x)=/(l-x)+l("0)恰有两个不同的

----,x<0,

—1

零点，则实数。的取值范围为.

三、解答题

16.在AAS。中,角4在。的对边分别为凡瓦。,已知bcosC+ccosB=2acosA.

⑴求角A；

(2)若cosC=；,求cos［：+/］的值；

(3)若°=25,。为NC的中点，且5O=J7，求”3C的面积.

17.如图，三棱台44G中，/B，/C,/8=/C=4,44=4G=4/=2,侧棱

4/1平面4BC,点。是CCt的中点.

(1)求证：平面/3］C；

(2)求点用到平面ABD的距离：

(3)求平面AB.C和平面ABD夹角的余弦值.

18.设椭圆石:二+与=1(。>6>0)的离心率等于"月池物线/=4了的焦点厂是椭圆石

ab2

的一个顶点，48分别是椭圆的左右顶点.

(1)求椭圆£的方程；

(2)动点尸、。为椭圆上异于48的两点，设直线/尸,8。的斜率分别为勺,月，且质=2%,

求证：直线尸。经过定点.

19.已知｛%｝是等差数列，其公差d大于1,其前"项和为国,｛。｝是等比数列，公比为

q,已知q=仇也=2,4=",Ho=100.

试卷第3页，共4页

⑴求应｝和也｝的通项公式；

(2)若正整数"%P满足加<”<P,求证：耙乙不能成等差数歹！J；

(3)记c.=a：[cos?sin2岸],求｛g｝的前3〃项和P3H.

20.已知函数〃x)=xhu-x2.

⑴求“X)的单调区间；

x

(2)证明：/(x)<e--l;

(3)若4>0/>0,且9>1,求证：/(«)+/(6)<-2

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】先化简集合/、B,再求交集，即可得出结果

【详解】由/={尤帆<4}=同一40<4},

B=|x|x?-5x-6>0}=x>6或尤<-1},

所以=卜|一4<X<T},

故选：D

2.A

【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用,

即可得到结果.

【详解】函数/(x)=2尤2+4办+1的对称轴为x=p,

由函数/(X)=2尤2+4办+1在(2,+8)上单调递增可得-a<2,即a2-2,

所以“a>-2”是“函数/'(x)=2x2+4办+1在(2,+s)上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A

3.A

【分析】根据百分位数的定义可得甲组数据中第70百分位数为24；计算可知两组数据的极

差都为5；由中位数定义可求出乙组数据的中位数为25.5；利用方差公式计算可求得甲乙两

组数据的方差均为三.

24

【详解】对于A,每组数据为6个，因为6x70%=4.2,

所以甲组数据中第70百分位数为第5个数，即为24,所以A错误；

对于B,甲组数据的极差为25-20=5,乙组数据的极差为28-23=5,即B正确；

对于C,乙组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即”普=25.5,所以C正

确；

对于D,易知甲组数据的平均数为22.5,

则甲组数据的方差为

:[(20-22.5丫+(21-22.5了+02-22.5J+23-22.5j+Q4-22.5j+卷-22.55]=>；

乙组数据的方差为

答案第1页，共15页

|[(23-25.5)"+(24-25.5)2+^5-25.5J+©6-25.5)+8-25.5)+较-25.5)=；J；

因此甲乙两组数据的方差相同，即D正确.

故选：A

4.C

【分析】对函数/(%)求导可得g(x)=xcosx,再由函数奇偶性可排除BD选项，再由余弦

函数图象性质可知C选项符合题意.

【详解】根据题意可得g(x)=/，(x)=£siiix+x(sinx)'+(cosx)'=xcosx，

易矢口g(x)=_xcos尤的定义域为xeR,且y黄足g(-x)=-尤cos(-x)=-xcosx=-g(x),

即可得y=g«)为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD；

利用余弦函数图象性质可知，当时，g(x)=xcosx>0,该部分图象在x轴的上方,

可排除A,

C选项符合题意.

故选：C

5.D

3

1-lo3*1

【分析】首先化简°=]3了=([»>1，b=log71=§7<-c=log8|=l-log83<l,

再根据1叫3>1隔3即可得解.

3

8

【详解】a=^J=(Z)I>(2)0=1，即”1,

37

/?=log1-=log7-=l-log73<l,

7'J

38

c=log1-=log8-=l-log83<l,

8°3

又Iog73>log83,所以c>6,

所以a>c>b,

故选：D

6.D

【分析】先根据球的体积公式，求出内切球的半径，进而求出正三棱柱的高；再根据内切球

答案第2页，共15页

的半径等于底面正三角形内切圆半径求出正三角形的边长，进而利用公式求出结果.

【详解】设球的半径为五,

则由球的体积旷=，成3=46兀，尺=百，

...正三棱柱的高h=2R=2y[3.

设正三棱柱的底面边长为。，

・；球的半径等于底面正三角形内切圆半径，

底面正三角形的面积S=-a1sin-=-x62•sin火=94.

2323

正三棱柱的体积P=S/z=x26=54.

故选：D.

7.C

【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，〃x)=2sin]x+[J,根据

/(x)=/sin(0尤+?)的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④

根据周期函数的概念可得.

【详解】函数/(x)的定义域为R,因为/(-x)=@in(-x)|+cos(-x)yR)=㈣nr卜COST,

故f(x)是偶函数；

当时，sinx>0,此时/(x)=V^sinr+COST=2sin6+《)，

TTjrjr27rIT

对于左EZ,令---F2E<x-\■—<—■F2kn,得-----F2kn<x<—F"兀，

26233

令工+2kn<%+—<—+2k7i,得巴+2E<x<—+2E,

26233

又工昼,4],故/(x)在[()q)上单调递增，在[1e]上单调递减，故②错误；

当x£[2析,兀+2版]时sinx〉0,f(x)=V3sinx+COST=2sin[,

由②可知，/(X)在2fac,y+2far上单调递增，在三+2历T,兀+2左兀上单调递减，

此时了(%)的最大值为/1+2祈)=2,最小值为min{/(2砌J(兀+2砌}=—1,

当x£[兀+2版,2兀+2析]时，sinx<0,/(x)=|V3sinx|+cosx=-A^-sinx+cosx=-2sinlx-—I,

答案第3页，共15页

jrjrjrjr2.71.

令---\-2kn<x—<—+2fai,得---1-2kji<x<-----\-2kn,

26233

人兀—，/兀-37r,/口27i.,57r_.

—F2AJIWx----W-----F2kli,-----F2kTitK%W-----F2,kji,

26233

故在兀+5兀

/(x)2E,g+2左兀上单调递增，在？-+2左兀,2兀+2左兀上单调递减,

此时/（X）的最大值为/■1g+2桁

=2,最小值为min{/（兀+2桁）,/（2兀+2砌}=-1,

故M=2,m=-\,M-m=3,故③正确;

2sinx+殳”［2笈兀，兀+豕兀］

(6)

由③可知/(x)=,

-2sinfx-g,xe［兀+次兀,2兀+及无］

故④正确;

故选：C

8.B

【分析】设渐近线的倾斜角为6,贝UtanO=2,由点到直线的距离和双曲线的性质得到

a

M==6,再由题中几何关系得到，2tan0=3tan9,解方程即可求出.

尸=2

yja+bl-tan6>

aa

又尸到渐近线y=2x的距离为|4F|=be

22

a/a+b~'

又|O尸|=c,所以|ON|=a,

所以忸典=2|/尸|=26,所以|“同=36,

所以tanZ.AOB-tan20=—=3tan0,

a

即黑=3，皿。，解得ta*=±f,

答案第4页，共15页

所以双曲线C的渐近线方程为了=±4'，

故选：B.

9.B

【分析】连接BC,则NZC5=90。,则有就.丽=|定匕由心力改6区心人5可得

|PC|["!用，又由|/c「+|c时=|阴2,可得MC|C8|W2,即可求出就.而的最大值.

【详解】解:连接3。，则乙4。3=90。

-'-AC-PB=AC-(PC+CB)=AC-PC=(AP+PC)-PC=PC2=\PC\i,

PCAC\AC\\CB\

依题意可证RtA4PCsRt^NC8,则7^=一^,gP|FC|=J~_L,

CBAB112

•.1/Cf+阿=|时，

：.\AC^+\CB^=A>2\AC^CB\,即|/。.却<2,当且仅当|/C|=|C同时取等号,

.中华1,

AI4C-P5=|PC|2<1,

%•丽的最大值为1

故选:B

10.-l-2i

【分析】根据复数的除法、加减法运算求解.

2

【详解】由题意，z=--l=-l-2i.

1

故答案为：-l-2i.

11.-40

答案第5页，共15页

【分析】对于二项式问题先写出通项公式，再根据常数项X的次数为o得上的值，代入得到

常数项A.

_C[\k5-A_k5_5_

【详解】通项公式心=以2⑸5「k卜旷=C2*x〒卜1),三中5*口%厂1,

令£-|A=0,解得斤=3,得7；=仁25-3(_1)\。=_40,所以常数项/=一40,

故答案为：-40.

12.1:2

【分析】首先假设直线与圆的两个交点为42,圆心为C,ZACB=2a(0<a<哈,利用已

知求得&,再用两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比即可求得两段

圆弧的弧长之比.

【详解】设直线与圆的两个交点为48,圆心为C,ZACB=2a(0<a<^,

・・・圆心到直线的距离d=.二"=V2,

Vi+i

.V21

••COSCL-产——，

2V22

\'0<a<7rf

••CC—,

3

2%

AZACB=2a=——,

3

所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比为1:2.

故答案为：1:2.

49

13.0.0198—

148

【分析】根据题意，由乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再

利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率.

【详解】因为某地区烟民的肺癌发病率为1%,没有患肺癌的人其化验结果98%呈阴性，

则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为尸=(l-l%)x(l-98%)=0.0198；

设事件A表示某地区烟民患癌，则尸(4)=1%=0.01,尸⑷=1-1%=0.99,

设事件8表示检验结果为阳性，

贝1|尸(叫/)=98%=0.98,9(用％)=1-98%=0.02,

答案第6页，共15页

所以某烟民的检验结果为阳性的概率为:

尸(5)=尸(4)尸侬⑷+尸(彳P[B国

=0.01x0.98+0.99x0.02=0.0296，

所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为

网㈣二箫一七中0.01x0.9849

0.0296148

49

故答案为：0.0198；

148

14.18

【分析】根据"6=1配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即求解.

【详解】…)*4刍^^ab

abababa+baba+babcr+b

in匕16ab口2+b216ab

=18

ab'/+/f'Jaba1+b2

1石

-+一

224-

a+b_16ab2226

a+b=4ab或

(当且仅当<aba1+b2,即“解得1百时等号成立).

a+b=l6--一

a+b=\2-6

故答案为：18

15.—<a<l^a<-l

【分析】画出g(x)=/(i-x)+i,>=侬的图象，数形结合后可求参数的取值范围.

x\x-l\-l,x>0

【详解】因为/(%)=1八，

-----,%<0

—1

(l-x)|x|,x<1

所以“17)+1=1

-----F1,X〉1

、X

则函数g(x)=/(l-x)-ax+l恰有2个零点等价于/(I-无)+1=G有两个不同的解,

故y=/(l-x)+l,>=ax的图象有两个不同的交点，

(l-x)x,O<x<l

设g(x)=/(1-^)+1=<-x(l-x),x<0,

111

-----F1,X>1

又尸g(x)，尸"的图象如图所示，

答案第7页，共15页

由图象可得两个函数的图象均过原点，

当QW0时，

考虑直线片G与8(%)=%72(0«工41)的图象相切，

贝!j由QX=X-%2可得A=(4一1)2一0=0,即4=1,

考虑直线＞=⑪与g(x)=-'+1(x21)的图象相切，

X

由=+1可得a/_%+i=0,则A=1—4Q=0,即。=’.

X4

考虑直线歹=狈与g(x)=x2—x(x40)的图象相切，

由〃%=%2—X可得/一(〃+l)x=0,则A=(Q+1)2一0=0,即。=一1,

结合图象可得当!＜。＜1或。＜-1时，两个函数的图象有两个不同的交点，

4

综上，!＜。＜1或。＜一1.

4

故答案为：：＜。＜1或a＜-l.

【点睛】方法点睛：数形结合思想，分类讨论思想与转化思想的应用.解决本问题的方法是

把方程根的问题转化为函数g(x)与直线＞="交点个数问题，作出图形，结合图形求解，并

注意临界值的取舍问题.

TI

16.⑴/=§

V6-3

6

⑶36

【分析】(1)利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.

(2)利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.

(3)利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.

【详解】(1),/bcosC+ccosfi=2acosA,由正弦定理，得

答案第8页，共15页

sin^cosC+sinCcos5=2siib4cos4,sin+C)=siib4=2siib4cos/

v^4G(0,7i),siMwO,cos4=—,A=—

23

2

⑵...COSC=2COS£-1=1.COS^=2

2323

.•方+4。2-2庆=28,

^ABC中，由余弦定理，得cosA-J+人—--=—

2c・b2

/.b2+c2-be=2Sf

-[b2+4c2-2bc=2S

联立＜,，得3c2=bc，b=3c,

[b2+c2-bc=2S

代入〃+4/—26c=28,解得6=6,c=2

:.AABC的面积S--besinA=—x2x6xsin-=—x2x6x^-=3/-3.

22322

17.(1)证明见解析

⑶3面

--

5

吟

【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，平面分别以刀、

衣、声的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建系，求得84的方向向量和平面/月。的法向量

平行即可；

（2）求得直线/月的方向向量和平面N3Q的法向量，利用投影法即可得解；

（3）分别求得平面43。的法向量为成，平面的法向量为万，则平面44c和平面/3D夹

答案第9页，共15页

m-n

角的余弦值COS8=|cos（m,n）|=,代入即可得解.

\m\\n\

【详解】(1)•.・44，平面力5。,45，力。，以A为原点，分别以方、

X、声的方向为％轴，V轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

・.・45=40=4,44=4G=AXA=2,点。是CG的中点,

.•./（0,0,0）,B（4,0,0）,C（0,4,0）,

4（0,0,2）再（2,0,2）,。（022）,0（0,3,1）,

则函=（-2,0,2）,AC=（0,4,0）,福=（2,0,2）.

m-AC=0,

设平面44c的法向量为丽=(xj,z),则有，

m.AB1=0,

4y=0,

不妨令x=l得y=0,Z=—1,

2x+2z=0,

.•.w=（1,0-1）.

•••5^=（-2,0,2）=-2m

/.BBX1平面ABXC,

（2）刀=（4,0,0）,25=（031）,

/\—五.4B=0,

设平面48。的法向量为五=（x,y,z）,则有＜一.

n-AD=0,

C4x=0

k；不妨令）=1,得x=0,z=_3,

[3y+z=0,

答案第10页，共15页

...福=(2,0,2),则d=M=缪，

点耳到平面ABD的距离为亚.

5

(3)设平面431c与平面的夹角为0,

平面4"C的法向量为而,平面ABD的法向量为五=(0」,-3),

m-n33V5

COS0=|cos（而，亢/=

|mlln\V2xVw-10

•••平面ABXC和平面ABD夹角的余弦值等于述.

10

18.(1)±-+/=1

⑵证明见解析

【分析】(1)由抛物线的方程可得焦点尸的坐标，由椭圆的离心率的值和它的一个顶点，

可得。、6的值，即可求出椭圆的方程

(2)设直线AP的方程，与椭圆的方程联立，可得P的坐标，同理可得Q的坐标，进而求

出直线PQ的方程，可证得直线经过定点

【详解】(1)f=4y的焦点下的坐标(0,1),由a>b>0,6=l,e=^=~,

2a

a2=b2+c29得/=4,

2

椭圆的方程为Yr+r=l.

(2)/(-2,0),3(2,0),

由题意可知，直线4P的斜率存在，且不为0,设直线4P的斜率匕=左,

直线/P的方程为>=左(》+2),

y=左（1+2）,

联立X22।消去儿

=1，

得（1+4左2）^2+16左2尤+16左2_4=0.

答案第11页，共15页

16左2-4

直线/尸过点4(-2)/>

1+4F

2—8左2

P1+4左2

代入y“(x+2),得力=K'

/2-8〃4k]

11+4/4+4FJ'

同理：直线2。的方程为了=2左(》-2),

y=2后(x-2),

2

联立x2,消去儿

彳+…,

得(1+1642)》2—64左?x+6442-4=0.

64"2.4

•••直线BQ过点B,2xo=:,

°1+16F

32k2-2

代入了=2人@-2),得坨=Ur，

1+lo/c

’32产-2-8k}

.■2

、1+16芯'1+16芯-

1

2—8人〜32k2-292

若Xp力X。w------------彳即k^-

1+4人21+16左28

4k

H-------亍"(1+161+2+81)

直线尸。的斜率怎0=*柠1+16父=

Z—o/C32k2-2-4-256-

1+4/1+16F

3M1+8⑹_3k

(1+8*2)(1-8*2)-1-8V

Ak3”(2-84]

直线尸。的方程为iTTFp

32左2一46—2442882+2_2_

令k°,解得、=而吟+正，,3。+4r[3)

・・•直线7°过定点1,0).

答案第12页，共15页

若=1此时%=X2=|2",直线尸°也过点（"l，。

83

・・・直线P0过定点t，o）.

19.(1)%=2〃-1也=2"“

(2)证明见解析

(3)18/+2〃

【分析】（1）根据题意，由等差数列与等比数列的通项公式以及等差数列的前"项和公式，

列出方程，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由等比数列的通项公式分别可得〃“=2T“=2"T,4=2"T,再由等差数列

的性质代入计算，即可证明；

（3）根据题意，由数列｛cj的通项公式分别表示出。3",，31，。3片2,再由并项求和法代入计算,

即可得到结果.

10x9

【详解】(1)由题意q也=4夕=4〃=2,夕="百0=104+—^—d=100.

Z?2=b1q=a、d—2,

axd=2,

联立10x9即

810=10%+-^—d=100,2ax+9d=20,

代入整理，9屋-204+4=0,

d〉1,..d=2,4—b[=1,q=2.

an=1+2(M-1)=2H-1,Z>„=1-2"-'=2"-'

m1tlp1

(2)b,„=2-,bn=2'-,bp=2-,

若以也,2成等差数列,

-1

则有b,n+bp=Zb,,即2小+2X=2-2"=2"，

等式的左右两边同时除以2"i，

可得l+=

"：m<n<p,p-m>2,n-m+l>2f

2。-叫为偶数，2"0+1为偶数，而1是奇数,

等式不成立，

答案第13页，共15页

也,与不能成等差数列.

/、2(2〃兀.2秋、22m

(3)cn=a\cos--sm—I=ancos—^~,

C3"=41cos等=(6"1)2,

C

3„-1=41Tcos