2024年高考数学考前信息必刷卷（新高考新题型专用）（附答案）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（1—奴）6的展开式中V的系数为160,则（）

B.-2D.-4

2.设是等比数列｛%｝的前〃项和，若其=4,4+%+/=8,

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,X,13.24,则下列说法错误的是（）

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155,贝鼠=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,贝鼠=13.15

C.若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.90VxV13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

4.在“8C中，C=y,AB=413,AC+BC=5,则OBC的面积为（）

A.GB.2GC.373D.4A/3

兀.17

5.已知0</?<cr<5，sinasin〃=历,cosacos/=历，贝|cos2a=（）

724

A.0B.—C.—D.1

2525

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3

个场馆4民。开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆8仅有2

名志愿者的概率为（）

321「63

A.—B.—C.—D.一

550114

TT

7.在平行四边形N8C。中，AB=2AD=4,ZBAD=-,E,反分别为48,。的中点，将V/OE沿直线

折起，构成如图所示的四棱锥4-8CDE,尸为4c的中点，则下列说法不正确的是（）

A'

A.平面平面4OE

B.四棱锥体积的最大值为3

c.无论如何折叠都无法满足⑷DLBC

D.三棱锥H-DE"表面积的最大值为2g+4

8.曲线C是平面内与三个定点片（-1,0）,巴0,0）和玛（0」）的距离的和等于2后的点的轨迹.给出下列四个

结论：

①曲线C关于x轴、了轴均对称；

②曲线C上存在点P,使得|尸闾=手；

③若点?在曲线C上，则△片尸&的面积最大值是1；

④曲线C上存在点尸，使得/耳尸鸟为钝角.

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数/（xhcos,x+zGsinxcosx-sii/x,则下列说法正确的是（）

A.最小正周期为万

B.函数〃x）在区间（-兀，动内有6个零点

C.“X）的图象关于点住,寸称

D.将〃x）的图象向左平移:个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在［0川上的最大值为g（0）,贝旷

的最大值为5兀?

6

10.已知直线/:（。+2）%—（4+1刀—1=0与圆。：/+必=4交于点45,点尸（1,1）,48中点为。，

则（）

A.的最小值为2企

B.|2用的最大值为4

C.可.而为定值

D.存在定点使得为定值

11.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,若/(X)是奇函数，〃2)=-〃1)40,且对任意

xjeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则()

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.后)=1D.''㈤=-i

左=1k=\

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

­2023_

12.若复数z=^—,则「=_______

1-21

n—2c

13.已知三个实数a、b、c,当c>0时，6W2a+3c且6c=",则的取值范围是________.

b

14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中

间部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为一

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数8(无)='--ax?-2xlnx+2尤.

4

(1)当a=1时，求g(x)的图象在点(1,g(l))处的切线方程；

(2)若g'(x)20,求实数。的取值范围.

22

16.(15分)已知椭圆C:鼻+5=1(。>6>0)的右焦点外与抛物线必=4x的焦点重合，且其离心率为

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知与坐标轴不垂直的直线/与椭圆C交于N两点，线段M2V的中点为尸，求证km-kOP(O

为坐标原点)为定值.

17.(15分)如图，在正四棱台/BCD-4片GA中，/8=2/4=4.

(1)求证：平面48CD1平面/CG4；

(2)若直线4c与平面ACQ4所成角的正切值为正，求二面角B-CQ-A的正弦值.

6

18.(17分)某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙

餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据

a=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

就餐区域

性别合计

南区北区

男331043

女38745

合计711788

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为g；如果前

12

一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为可，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去

甲，乙餐厅的概率均为;.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为工，--

2442

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；

(ii)求第〃(〃eN*)天他去甲餐厅用餐的概率p“.

n(ad-be)?

附：z2n=a+b+c+d；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

19.(17分)已知定义域为R的函数〃(x)满足：对于任意的XER,者B有〃(x+2兀)=%(1)+〃(2兀)，则称函

数〃(x)具有性质p.

(1)判断函数/(x)=2x,g(x)=cosx是否具有性质p；(直接写出结论)

(2)已知函数/(xbsiMox+dmvov'MvlJ，判断是否存在。，?，使函数“X)具有性质?？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(3)设函数/(x)具有性质P,且在区间［0,2向上的值域为［〃。),/(2兀)］.函数8@)=5词〃切，满

足g(x+27t)=g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(27I)=2K.

绝密★启用前

2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

/--------------------------------------------------------------------------------

随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填空题）+5（解

答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分

三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分

值依次为13分、15分、15分、17分、17分。

新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合

题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度

大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些

变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作

用。

九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念

的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现

了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数

学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的

思维素养。

试卷的命制体现‘多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递

进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现

了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，

建构高中数学的知识体系。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（1—奴）6的展开式中V的系数为160,则（）

A.-4B.2C.4D.-2

【答案】D

【解析】二项式（1—奴）6展开式的通项为£+1=晨（—"），（其中0<r<6且reN）,

令厂=3可得［=C：（—ax?=C：（—ay./,所以C：（—不=160,解得。=-2.

故选：D

2.设$“是等比数列｛%｝的前〃项和，若$3=4,为+%+〃6=8,贝（）

»6

753

A.2B.-C.-D.

337

【答案】B

【解析】由题意得$6-$3=8,Se=$3+8=4+8=12,

因为$3,5一反，$9—及成等比数歹U，故（$6—$3）2=邑（§9一5）,

即82=4（S「12）,解得$9=28,

成$6123■

故选：B

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,x,13.24,则下列说法错误的是（）

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155,则x=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,贝鼠=13.15

C.若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.90VxV13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

【答案】A

【解析】对A,因为8x75%=6,当x=13,八名选手成绩从小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故该八名选手成绩的第75%百分位数为且”詈丑=13.155,但

X=13N13.15,故A错误；

对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确;

对C,当x<12.9,极差为13.24-x>0.34,不符合题意舍去；

当12.90MxM13.24,极差为13.24-12.9=0.34,符合题意

当x>13.24,极差为。-12.9>0.34不符合题意舍去,综上，12.90<x<13.24,C正确;

j皿d12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+X.切〜小八—

对D,平均数为-----------------------------------------=13.095,解得x=13.15,故D正确.

O

故选：A

4.在。8C中，C=],AB=4U,AC+BC=5,则的面积为()

A.4GB.2A/3C.373D.百

【答案】D

【解析】在“8C中，C=y,AB=C=屈,AC+BC=b+a=5,

由余弦定理可得c?=/+〃-2aZ?cosy=(a+b'f-lab-ab,解得出?=4,

所以S/Be='a6sinC=!，4，—=^3,

加2322

故选：D

7t17

5.已知0</?<a<5，sinasin/?=5,cosacos/7=历，则cos2a=()

724

A.0B.—C.—D.1

2525

【答案】A

17

【解析】已知sinasin/?=m，cosacos/=m，

714

贝ijcos(a-/?)=cosacos/?+sinsin/?=—+—=j,

713

cos(tz+/)=cosacos-sin6ifsin=---=—,

兀71

'：Q</3<a<—,<a-(3<a+/3<TI,

i-------------------3i-------------------4

贝lJsin(a-/)=Jl-cos2(a—a)=—,sin(6r+J3)=y]l-cosi2(3*5a+y0)=—,

则cos2a=cos[(cr+/7)+(a-/7)]=cos(a+/7)cos(a-77)一sin(a+0)sin(a-/7)

3443c

=—x------x—=0.

5555

故选：A.

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3

个场馆4瓦。开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆3仅有2名

志愿者的概率为（）

二213

B.—c.gD.

50114

【答案】B

【解析】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为

2

甲去场馆42,C的概率相等，所以甲去场馆8或C的总数为150x§=100,

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆B,场馆8有两名志愿者共有C：GW=24种;

情形二，甲去场馆C,场馆B场馆C均有两人共有C；C；=12种,

场馆3场馆A均有两人共有C；=6种，所以甲不去场馆A时，

场馆3仅有2名志愿者的概率为分版上=急=合.

故选：B.

TT

7.在平行四边形/BCD中，AB=2AD=4,ZBAD=-,E,H分别为AB,CD的中点，将V4DE沿直线

DE折起，构成如图所示的四棱锥4-BC£>£,尸为4c的中点，则下列说法不正确的是（）

B.四棱锥4-8CAE体积的最大值为3

C.无论如何折叠都无法满足

D.三棱锥4表面积的最大值为2月+4

【答案】C

【解析】选项A,平行四边形”80,所以2E//DH,又/2=2/。=4,瓦"分别为/瓦。。中点，所以

BE=D”,即四边形BEDH为平行四边，所以8"/,又AWO平面/为E,DEu平面A^DE，所以8〃//平

面/DE，又尸是HC中点，所以"///'。,又"/'a平面期平面期OE,所以9//平面才力£,又

FHC]BH=Hu平面BHF,所以平面BHF//平面A，DE,故A正确；

TT

选项B,当平面平面8coM四棱锥/-8CDE的体积最大，因为/540=§,所以最大值为

1I—（2+4）X\/3itT

K=-xV3x-^---1----二3，故B正确；

32

选项C,根据题意可得，只要BCLHB,=u平面HOB,所以3C1平面

4DB,即5C_LH。,故C错误；

选项D,当£〃，H£,根据对称性可得。此时的面积最大，因此三棱锥4-表

面积最大，最大值为s=SAA,DE+S.WDH+S.DEH+S：=；x2xgx2+；x2x2x2=2百+4，选项D正确.

故选：C

8.曲线C是平面内与三个定点片（TO）,月。,0）和鸟（0,1）的距离的和等于2万的点的轨迹.给出下列四个

结论：

①曲线c关于X轴、夕轴均对称；

②曲线C上存在点P,使得户闾=半；

③若点p在曲线C上，则△与尸耳的面积最大值是1；

④曲线C上存在点尸，使得/KP&为钝角.

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

【答案】C

【解析】设曲线C上任意一点尸（X/）,由题意可知C的方程为

J（X+1/+/,|_+/=2^2.

①错误，在此方程中用-x取代x,方程不变，可知c关于了轴对称；

同理用r取代了，方程改变，可知c不关于x轴对称，故①错误.

②错误，若忸阊=孚，则阀|+附|=殍＜阳阊=2,

曲线C不存在，故②错误.

③正确，|尸胤+|尸鸟归尸耳|+|尸马+|尸阊=2&,

丫2

尸应该在椭圆D：—+y2=l^（含边界），

曲线C与椭圆。有唯一的公共点鸟（0,1）,此时E勾=2,|。阊=1,

当点P为月点时，△片仍的面积最大，最大值是1,故③正确；

④正确，由③可知，取曲线C上点£（0,1）,此时/4片月=90。，

下面在曲线C上再寻找一个特殊点P（0j）,0<y<l,

贝!12gy。+］-尸2会，

把2J1+/2=2也-1+。两边平方,

整理得3/+（2-4亚）了+4应-5=0,

解得k4也-2±（8-4扬,即尸1或逑二1

63

因为0<拽二则取点尸。,空二1］,

3I3）

此时/耳尸6>90°.故④正确.

故答案为：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=cos4x+2Gsinxcosx-sin4x,则下列说法正确的是（）

A.最小正周期为乃

B.函数/（%）在区间（-兀，兀）内有6个零点

C.“X）的图象关于点］1,o］对称

D.将〃x）的图象向左平移二个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在［0用上的最大值为g⑼，贝/

的最大值为?

O

【答案】AD

【解析】/（X）=COS4X+2A/3sinxcosx-sin4x

二（cos2x-sin2%）（cos？x+sin2x）+2百sinxcosx

=cos2x+A/3sin2x

=2sinf2x+^

对于A：T=—=TZ,A正确；

对于B：当-兀<X<71时，-坐<2x+5〈学，则2x+?分别取-私0,兀,2兀时对于的X的值为函数〃x）在区

6666

间（-兀，兀）上的零点，只有4个，B错误;

对于C：/S=2sin2x^+7=2$也9=石片0,故点3,0不是〃x)的对称中心，C错误;

viz/V12o73\12)

兀

对于D：由己知g（无）=2sin+=2cos\2x+—

6I6

yrJTJi

当/时，一《2x4—«2/T—,/>0,

666

因为g（x）在［0,4上的最大值为g（o）=2cos5，

6

TT11jrSjr

所以21+?4丫，解得0</49,D正确.

6oo

故选：AD.

10.已知直线/：（。+2）》一（4+1A一1=0与圆。：/+必=4交于点45,点尸。,1）,48中点为。,

则（）

A.的最小值为2J5

B.目的最大值为4

C.莎.而为定值

D.存在定点M,使得|九@|为定值

【答案】ACD

【解析】直线/：（a+2）x-（a+l）歹一1=0,即a（x—y）+2x-y—1=0,

故直线过定点尸（1,1）,且圆C:一+r=4的圆心为（0,0）,半径为2,

­/12+12<4.故尸（U）在圆。内，

对于A,当c尸和直线/垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=|c?=J5,

此时,司最小，|幺同=2〃^67^=2泥,故A正确；

对于B,当|48|=4时，4s为圆的直径，此时直线过圆心，

•.•（a+2）x0-.+1）x0-1=0方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；

对于C,设4（再,必）,3（孙力）,则

P^-P5=（X1-1）（X2-1）+（J1-1）（J2-1）=X1X2-（X1+X2）+V1J2-（J1+J2）+2,

当直线/斜率不存在时，l；X=l,联立圆=4得，y=±5

止匕时万•方=1—3—2+2=—2

当直线/斜率存在时，设直线^-1=左（》一1）,联立圆。：/+/=4,

得一+[左（》_1）+17即（r+1）%2+（2左一2-）%+《2一2左一3=0,

-2k—2k2

+x=-------------

,192F+l

k2-2k-3

I12k2+l

yx+>2=4（再+々）+2—2左，

%为=[%（》1—1）+1]义[左（》2—1）+1]=左〜X]/+（"—+》2）+（1—k）一,

PA-PB=X[X2—（X[+x,）+—（乂+,2）+2=（左，+]）西工。-（k~+l）（x[+x2）+左〜+1,

带入得：PA-PB=k2-2k-3+2k-2k2+k2+1=-2，

故》•而为定值-2，故C正确；

对于D,Z5中点为。，故23,且尸（U）在45上，

所以C。，尸。，故△尸0c是直角三角形，

当M为尸C中点时，的0|=3尸。|=字为定值，故D正确.

故选：ACD

11.已知函数/（x）及其导函数/'（无）的定义域均为R,若〃x）是奇函数，/（2）=-/（1）^0,且对任意

x/eR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'[x}f{y},则()

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.£/(左)=1D.

k=\k=\

【答案】ABD

【解析】因为f(x+y)=/(x)/'(力+/'(x)/3,

令x=y=l得：〃2)=2〃1)/”)，又因为〃2)=-7•⑴wo,所以r(1)=一；，故A正确;

因为/(x)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,且/'(X)为偶函数.

令尸1,可得:/(x+i)=〃x)—(i)+r(x)/(i)①

再用一%代替x可得:/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/(x)r(i)+/,(x)/(i)

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)=>/(x+l)=-/W-/(x-l)

所以：/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

/(x+3)=-/(^+2)-/(x+l)=/(x+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以〃x)是周期为3的周期函数，所以：/(6)=/(3)=/(0)=0,故B正确.

因为:/(0)=0,/(2)=-/(1)^/(1)+/(2)=0,所以:/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：笈)=674X[〃1)+〃2)+〃3)[+[〃1)+〃2)]=0,故C错误；

k=\

又因为了'(X)亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以r(_2)=/p)=/''⑵

令x=i,y=o可得：/(i>/(i)r(o)+r(i)/(o)r(o)=i=r(3)-

所以/'⑴+/'(2)+/'(3)=0.

2024

所以：£/")=674x〃⑴+八2)+八3)]+[/⑴+/⑵]=一1.故D正确.

k=\

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

•2023_

12.若复数z=^—,则「=_________

l-2i

【答案】I

「河*白、•・一产--iM23_-i_-i(l+2i)_2i_2+i-1

［斛析］•z=---z=}~~^=；­^=7\""oxm=£一£，则mz=—^―,ZZ--.

1-211-211-21(1-21)(1+21)5555

a—2c

13.已知三个实数a、b、c,当c>0时，6V2a+3c且儿=",则的取值范围是__________.

b

【答案】1

【解析】当。>0时满足：a,2a+3c且bc="2,

2a+3c,即/-2QC—3c2V0,®ffO(_)2-2•--3„0,解得一1”2,3.

cccc

c

所以二1或c

a3a

a-2£=a£-2r=£_y£Y/(£))

ba2a\a)a

令—=t、te—,+oolu(-co-l］,

f(t)=-2t2+1=-2^t+1,

由于te1,-Ko^u(-oo-l］

所以/«)在fe(一如-1］单调递增，在fe；,+，(单调递减，

当/=；时，当/=-1时，/(-1)=-3,

所以&)4

故答案为：^-00,—.

14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中间

部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为

【答案】4871

【解析】如图:

设。为正四面体尸—4SC的外接球球心，Q为△44G的中心，〃为A48C的中心，M为BC的中点,

因为正四面体尸—48C棱长为8,易得尸平面4BC,

易得AH=@~X8=M3,P//，平面28。，2/7匚平面88,

33

则PH1AH,PH=卜2_(?>=半,

由正四面体外接球球心为0,则。在,则。尸=CU=火为外接球半径，

由=5。2得(容尸+(半一及)2=及2,解得R=2直，

即P0=246,

在正四面体尸—4片。1中，易得4a=gj?=F=213，尸。]=『二半=当,所以

OO[=PO-PO[=乎，

则该八面体的外接球半径4。=Joo；+4。；=26,

所以该球形容器表面积的最小值为4兀(2道『=48兀.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)己知函数g(x)=；/-ax?-2xlnx+2x.

(1)当。=1时，求g(x)的图象在点(l,g⑴)处的切线方程；

⑵若g，(x)20,求实数。的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，g(x)=—x4-x2-2xlnx+2x,求导得g，(x)=V-2x-21nx,

559

则g'⑴=T，而g(l)=]，于是F一^=一("—1)，即x+y-4=0,

所以g(x)的图象在点(Lg⑴)处的切线方程是％+尸：9=0.

4

(2)函数g(x)=；%4一。%2一2x]nx+2x定义域为(0,+oo),求导得g<x)=/—2q%—21nx,

由g'(x)20,得令/(X)=、2_£^^〉0,

XX

求导得/'(x)=2%-2~2h.x=2d+2?x-2，令函数以幻=2d+2In尤-2,尤>0,

XX

显然函数力⑴在(0,+8)上单调递增,而〃(1)=0,则当O<X<1时,Kx)<0,f'(x)<0,

当x>l时，h(x)>0,f'(x)>0,函数，(x)在(0,1)上递减，在(1,+功上递增,/«in=/(1)=1,

因此2a<1,解得。,

所以实数。的取值范围是

22

16.(15分)已知椭圆C:=+2=l(a>6>0)的右焦点与与抛物线/=4x的1焦点重合，且其离心率为］

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知与坐标轴不垂直的直线/与椭圆C交于M,N两点，线段九W的中点为P,求证kMN-kOP为坐

标原点)为定值.

【解析】(1):抛物线/=4x的焦点为(1,0),

•••椭圆C的半焦距为c=l,

c1______

又e=—=不，得。=2，b=yla2—c2=>/3•

a2

22

J椭圆。的方程为土+匕=1

43

(2)证明：由题意可知，直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=Ax+加(左。0),

y=kx+m

22

联立xy,得(3+4左2)12+8左加x+4加2-12=0

T+T=

A>0,即加2<4左2+3,

设必),

rm8km7/\c6m

则$+%2=_j，必+/2=后(再+工2)+2加=R，

J-r4/C3~r^TK

,(4km3m)

3m

一3+4左2—3

4km4人•

~3+4k2

17.(15分)如图，在正四棱台/8CD-4片GA中，AB=2AlB1^4.

(1)求证：平面48CD1平面/CC/i；

(2)若直线BXC与平面ACC.A,所成角的正切值为正,求二面角B-CC.-A的正弦值.

6

【解析】(1)延长叫,CCMA交于一点p,连接助交/c于。

由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点尸，且四棱锥尸-/BCD为正四棱锥,

^PA=PB=PC^PD,又点。分别为NC,8。的中点，

故尸。L/C,P。，50,^jAC^BD=O,/C,RDu平面/BCD,

故尸。/平面/BCD,又尸Ou平面NCQ4,

故平面ACCXAX1平面ABCD,即平面ABCD1平面ACC}A}；

（2）由（1）知两两垂直，

故分别以方，砺，而为x，%z轴建立空间直角坐标系，

设棱台的高为刀，则Cj啦,0,0）,4（0,后,〃

又平面ACQA,的法向量可取为应=（0,1,0），而配=（-2V2,-V2,-A）,

由题意知直线qC与平面NC£4所成角的正切值为也，

6

61

则其正弦值为高春［无’

\m-B［C\y［21

则sin6=解得〃=4,

尻H窕「赤奇一而

BC-n=-2y/2x-2y/2y=0

设平面2CC4的法向量为。=（》//）,贝卜

函.万=_伍+42=0

令z=l,贝U力=（-20,2痣,1）,

\m-n\2^2

故cos〈流元〉=KT=y,而二面角范围为［0,兀］,

\m\-\n\V17

故二面角B-CC「4的正弦值为1一（婆了=处

VVI717

18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙

餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据a=0.100

的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

就餐区域

性别合计

南区北区

男331043

女38745

合计711788

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为g；如果前一天

12

在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为鼻，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐

厅的概率均为;.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为,，

2442

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;

(ii)求第天他去甲餐厅用餐的概率

n(ad-be)2

附：z2n=a+b+c+d；

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.010

%2.7063.8415.0246.635

288x(33x710x38)

【解析】(1)依据表中数据，z=~-«0.837<2.706=x0,,

43x45x71x1701

依据a=0.100的独立性检验，没有充分证据推断5。不成立，因此可以认为80成立，即认为在不同区域

就餐与学生性别没有关联.

(2)设&="第i天去甲餐厅用餐"，耳="第i天去乙餐厅用餐”，C="第i天去丙餐厅用餐”，

则4、4、G两两独立，i=l,2,

根据题意得尸(4)=尸⑻=jp(G)=g尸(4/4)=；,尸(4/g)=r(4+/G)=；,

119

尸(加⑷=5，尸(加IG)=5，P(G+I国)=j-

(i)由层=与4+44,结合全概率公式，得

尸(生)=尸(生4+与6)=尸(4)尸(鸟|4)+尸(G)尸(鸟|G)=；x；+