平行线（知识点精讲 易错点点拨 专题检测卷）-2023-2024年人教版七年级下册期末数学备考

2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷专题二、平行线知识点精讲知识点1平行线定义及平行公理定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a、b平行记作a∥b在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。3.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4.平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。名师点拨1.平行公理是通过画平行线得出的，正确掌握平行线的画法一落：把三角尺的一边落在已知直线a上二靠：紧靠三角尺的另一边放三推：沿直尺推动三角尺，使原来落在直线a上的那一边过已知点p四画：沿原来落在已知直线a上的这一条边画直线b.注意：推动三角尺时必须保持紧靠直尺，且直尺不能移动，否则画出来的直线与已知直线不平行2.平行公理中强调“直线外一点”，是因为若点在直线上，不可能有平行线。知识点2平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行名师点拨考虑两直线平行的判定条件，要弄清楚由那个条件可以得出这两条直线平行，其步骤是（1）找截线（2）确定被截线（3）确定什么位置的角，从而确定判定方法。知识点3平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。名师点拨同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。二、易错点拨易错点1平行公理例1-1.如图，内有一点；(1)过点画的垂线；(2)过点画交于点，画交于点．易错点拨1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2.基本作图方法（1）落（2）靠（3）推（4）画变式训练11如图，在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是（）A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．下列说法中错误的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两条直线相交，有且只有一个交点

D.若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直3如图，AB∥l,AC∥l,则A，B，C三点共线，理由是：_____．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4．若直线a∥b,a∥c,则直线b与c的位置关系是_____．易错点2平行线的判定例2-1．如图，点在上，已知，平分，平分，图中有哪些直线平行，并说明理由．易错点拨利用角平分线的定义可以找到相等的角，由相等角利用平行线的判定可以得到平行线变式训练21．如图，添加一个条件______，使AB∥CD．2．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代换）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠（）．∴AB∥DC（）．3．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．

已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

方法一

证明：如图，过点A作DE∥BC．

方法二

证明：如图，过点C作CD∥AB．

4．如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．

（1）求证：AE⊥CE；

（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD．易错点3平行线的性质例3-1．小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A.45° B.60° C.75° D.105°易错点拨只有“两直线平行”才有同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，否则不成立。变式训练31．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=91°，∠DCE=124°，则∠AEC的度数是（）A.29° B.30° C.31° D.33°2．如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（）A. B.

C. D.3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过．如果第一次拐的角∠A＝100°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）

A.120° B.130° C.140° D.150°4．如图，长方形沿对折后，若，则的度数是（）A. B.

C. D.易错点4平行线的判定性质综合例4-1.课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作，

，

，，．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）易错点拨平行线的性质是由线的位置关系得到角的数量关系，平行线的判定是由角的数量关系得到线的位置关系。利用平行线解决平行线间的拐点问题一般通过作平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，通过平行线的性质得到题目中所求角与已知角之间的关系，进而解决问题。变式训练41．古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠α≈7°），由此他得出∠α=∠β，那么∠β的度数也就是360°的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“∠α=∠β”所依据的数学定理是（）A.两直线平行，内错角相等

B.两直线平行，同位角相等

C.两直线平行，同旁内角互补

D.内错角相等，两直线平行2．如图，，点E是上任意一点（不与A，B重合）．下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的有_____．3．完成下面的证明：已知：如图，，．求证：．证明：∵（已知），∴__________//__________（__________）．∴（__________）．又∵（已知），∴（__________）．即．∴__________//__________（__________）．∴（两直线平行，内错角相等）．4．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度数．三、专题检测卷三、专题检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，已知一点A和直线l,现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（）A.1条 B.2条 C.0或1条 D.无数条2．a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A.若a⊥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

C.若a∥b,b⊥c,则b∥c D.若a∥b,b∥c,则a∥c3．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是（）A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠B=∠D D.∠B=∠DCE4．如图所示，下列推理不正确的是（）A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则5．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（）A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④6．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2=α，则∠1的度数为（）A.2α B.90°-α

C. D.7．小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A.45° B.60° C.75° D.105°8．如图，，则的度数为（）A. B.

C. D.9．已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（）

A.120° B.130° C.140° D.150°10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（）A. B.

C. D.二、填空题(共5题，共15分)11．下列四种说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；

③相等的角是对顶角；

④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．

其中，错误的是_____（填序号）．12．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．13．如图，若，则、、之间的关系为______.14．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．15．将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是_____（填写序号）．三、解答题(共8题，共75分)16．（8分）请补全证明过程及推理依据．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，AB∥EF，∠DEF＝∠B．求证：∠AED＝∠C．证明：∵AB∥EF，∴＝∠EFC（）．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝∠EFC（）．∴（）．∴∠AED＝∠C．17．（8分）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：．证明：∵，（

）∴（

）∴

（同位角相等，两直线平行）∴（

）∵（已知）∴

（

）∴（

）∴（

）18．（8分）如图，已知∠1＝38°，∠2＝38°，∠3＝115°36′．求∠4的度数．19．（8分）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”(1)我们易证：“已知，求证：”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．(2)结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．20．（9分）如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：；（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．21．（9分）如图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点P画已知直线b的平行线a.

（1）所画出来的直线a只有一条的理由是_____．

（2）下面是用直尺和三角板过直线外一点P画已知直线b的平行线a的操作步骤：

①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线a；④用三角尺的一边贴住直线b；正确的操作顺序是：_____．（填序号）

（3）图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a,使a经过点P且a∥b.（保留作图痕迹，不写画法）22．（12分）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）180°B.270°C.360°D.540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．23．（13分）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？

（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷专题二、平行线（解析版）知识点精讲知识点1平行线定义及平行公理定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a、b平行记作a∥b在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。3.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4.平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。名师点拨1.平行公理是通过画平行线得出的，正确掌握平行线的画法一落：把三角尺的一边落在已知直线a上二靠：紧靠三角尺的另一边放三推：沿直尺推动三角尺，使原来落在直线a上的那一边过已知点p四画：沿原来落在已知直线a上的这一条边画直线b.注意：推动三角尺时必须保持紧靠直尺，且直尺不能移动，否则画出来的直线与已知直线不平行2.平行公理中强调“直线外一点”，是因为若点在直线上，不可能有平行线。知识点2平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行名师点拨考虑两直线平行的判定条件，要弄清楚由那个条件可以得出这两条直线平行，其步骤是（1）找截线（2）确定被截线（3）确定什么位置的角，从而确定判定方法。知识点3平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。名师点拨同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。二、易错点拨易错点1平行公理例1-1.如图，内有一点；(1)过点画的垂线；(2)过点画交于点，画交于点．易错点拨1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2.基本作图方法（1）落（2）靠（3）推（4）画【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点画的垂线即可；（2）过点画交于点，画交于点．【详解】（1）解：如图即为所求，（2）如图：，，【点睛】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本作图方法是解答本题的关键．变式训练11如图，在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是（）A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．

解：在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

故选：D．2．下列说法中错误的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两条直线相交，有且只有一个交点

D.若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【答案】A【解析】分别根据平行线，相交线及垂线的定义解答即可．

解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，符合题意；

B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意；

C、两条直线相交，有且只有一个交点，正确，不符合题意；

D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，正确，不符合题意．

故选：A．3如图，AB∥l,AC∥l,则A，B，C三点共线，理由是：_____．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【解析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

解：∵AB∥l,AC∥l,

∴A，B，C三点共线．

理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

故答案是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．4．若直线a∥b,a∥c,则直线b与c的位置关系是_____．【答案】平行【解析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．

解：若直线a∥b,a∥c,则直线b与c的位置关系是平行，

故答案为：平行．易错点2平行线的判定例2-1．如图，点在上，已知，平分，平分，图中有哪些直线平行，并说明理由．易错点拨利用角平分线的定义可以找到相等的角，由相等角利用平行线的判定可以得到平行线【答案】，，理由见解析【分析】根据，得出，根据平分，平分，得出，进而得出．【详解】解：，，理由如下，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行是解题的关键．变式训练21．如图，添加一个条件______，使AB∥CD．【答案】∠1＝∠2【解析】利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行，可得结论．解：当∠1＝∠2时，可得到AB∥CD；当∠A+∠ADC＝180°时，可得到AB∥CD；当∠ABC+∠C＝180°时，可得到AB∥CD．故答案为：∠1＝∠2（不唯一）．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．2．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代换）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠（）．∴AB∥DC（）．【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【解析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．

已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

方法一

证明：如图，过点A作DE∥BC．

方法二

证明：如图，过点C作CD∥AB．

【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，从而可求解；

方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求解．

证明：方法一：∵DE∥BC，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，

∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°；

方法二：∵CD∥AB，

∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，

∴∠B+∠ACB+∠A=180°．4．如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．

（1）求证：AE⊥CE；

（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD．【解析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；

（2）根据平行线的判定解答即可．

证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，

∴∠2=BEF，∠3=DEF，

∵∠BEF+∠DEF=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥CE；

（2）∵∠1=∠A，∠4=∠C，

∴∠1+∠A+∠4+∠C=2（∠1+∠4）=180°，

∴∠B+∠D=（180°-2∠1）+（180°-2∠4）=360°-2（∠1+∠4）=180°，

∴AB∥CD．易错点3平行线的性质例3-1．小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A.45° B.60° C.75° D.105°易错点拨只有“两直线平行”才有同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，否则不成立。【答案】C【解析】设AB与DF交于点O，根据平行线的性质可得∠AOF=∠F=45°，则∠1=180°-∠A-∠AOF=75°．

解：设AB与DF交于点O，

由题意得，∠F=45°，∠A=60°，

∵AB∥EF，

∴∠AOF=∠F=45°，

∴∠1=180°-∠A-∠AOF=180°-60°-45°=75°．

故选：C．变式训练31．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=91°，∠DCE=124°，则∠AEC的度数是（）A.29° B.30° C.31° D.33°【答案】D【解析】延长DC，交AE于点M，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠CME的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数．

解：延长DC，交AE于点M，如图所示．

∴AB∥CD，

∴∠CME=∠BAE=91°，

∴∠AEC=∠DCE-∠CME=124°-91°=33°．

故选：D．2．如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（）A. B.

C. D.【答案】B【解析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．∵，，∴，∵，∴，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过．如果第一次拐的角∠A＝100°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）

A.120° B.130° C.140° D.150°【答案】B【解析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A=∠1，∠2+∠C=180°，则可求得∠C的值．解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°，∵∠A=100°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=50°，∴∠C=180°∠2=180°50°=130°，故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见做法．4．如图，长方形沿对折后，若，则的度数是（）A. B.

C. D.【答案】A【解析】根据翻折的性质可得，进而求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．解：如图所示，∵长方形沿对折后两部分重合，，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．易错点4平行线的判定性质综合例4-1.课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作，

，

，，．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）易错点拨平行线的性质是由线的位置关系得到角的数量关系，平行线的判定是由角的数量关系得到线的位置关系。利用平行线解决平行线间的拐点问题一般通过作平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，通过平行线的性质得到题目中所求角与已知角之间的关系，进而解决问题。【答案】（1）；（2）（3）①；②【解析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；（3）①过E作，利用角平分线概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．【小问1详解】解：，，（两直线平行，内错角相等）；故答案为：；【小问2详解】解：过C作，，，，，，，；【小问3详解】解：①过E作，，，，平分，，，平分，，，，；②过E作，，，，平分，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．变式训练41．古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠α≈7°），由此他得出∠α=∠β，那么∠β的度数也就是360°的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“∠α=∠β”所依据的数学定理是（）A.两直线平行，内错角相等

B.两直线平行，同位角相等

C.两直线平行，同旁内角互补

D.内错角相等，两直线平行【答案】A【解析】根据平行投影的定义以及平行线的性质解答即可．

解：由题意可知，“∠α=∠β”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．

故选：A．2．如图，，点E是上任意一点（不与A，B重合）．下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的有_____．【答案】①③④【解析】根据平行线的性质得到，进而推出，可证明，即可判断①；如图，过点E作，则，由平行线的性质得到，进而可证明，即可判断③；根据平行线的性质和三角形内角和定理得到，，可证明，即可判断④；根据先有条件无法证明②⑤．解：∵，∴，∵，∴，∴，故①正确，符合题意；如图，过点E作，则，∴，∵，∴，故③正确，符合题意；∵，∴，∵，∴，故④正确，符合题意；根据题意，无法证明，故②⑤错误，不符合题意；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．3．完成下面的证明：已知：如图，，．求证：．证明：∵（已知），∴__________//__________（__________）．∴（__________）．又∵（已知），∴（__________）．即．∴__________//__________（__________）．∴（两直线平行，内错角相等）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；BF；EG；内错角相等，两直线平行．【解析】根据平行线的判定与性质进行推理填空即可．证明：∠ABE+∠BEC=180°（已知），

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠ABE=∠BED（两直线平行，内错角相等）．

又∠1=∠2（已知），

∴∠ABE-∠1=∠BED-∠2（等式的性质）．

即∠FBE=∠GEB．

∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．

∴∠F=∠G（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；BF，EG，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．4．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．（1）证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．三、专题检测卷三、专题检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，已知一点A和直线l,现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（）A.1条 B.2条 C.0或1条 D.无数条【答案】C【解析】分两种情况讨论：当A在直线l上时，过A不能作直线l的平行线，所以为0条，当A在直线l外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可．

解：当A在直线l上时，过A不能作直线l的平行线，所以为0条，

当A在直线l外时，

同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

故选：C．2．a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A.若a⊥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

C.若a∥b,b⊥c,则b∥c D.若a∥b,b∥c,则a∥c【答案】D【解析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可．

解：A、在同一平面内，若a⊥b,b∥c,则a⊥c,原说法错误，不符合题意；

B、在同一平面内，若a⊥b,b⊥c,则a∥c,原说法错误，不符合题意；

C、在同一平面内，若a∥b,b⊥c,则a⊥c,原说法错误，不符合题意；

D、若a∥b,b∥c,则a∥c,正确，符合题意．

故选：D．3．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是（）A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠B=∠D D.∠B=∠DCE【答案】B【解析】结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．

解：A、∠1=∠2，则AB∥CD，故A选项不合题意．

B、∠3=∠4，则AD∥BC，故B选项符合题意．

C、∠B=∠D，则不可判断AB∥CD，故C选项不符合题意．

D、∠B=∠DCE，则AB∥CD，故D选项不符合题意．

故选：B．4．如图所示，下列推理不正确的是（）A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】根据平行线的判定定理即可判断．A、若∠1=∠B，则BC∥DE，不符合题意；

B、若∠2=∠ADE，则AD∥CE，不符合题意；

C、若∠A+∠ADC=180°，则AB∥CD，不符合题意；

D、若∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD，符合题意．

故选：D．【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握平行线的判定定理．5．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（）A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④【答案】B【解析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．解：∵，，∴，故①正确；∵故②正确；∵，∴，，∴BC与AD不平行，故③错误；∵，即，又∵，∴,故④正确；综上，①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．6．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2=α，则∠1的度数为（）A.2α B.90°-α

C. D.【答案】D【解析】先由折叠可得：∠AEF=∠A'EF，则，再根据矩形得AB∥CD，即可由平行线的性质求解．

解：由折叠可得：∠AEF=∠A'EF，

∴，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB∥CD，

∴，

故选：D．7．小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A.45° B.60° C.75° D.105°【答案】C【解析】设AB与DF交于点O，根据平行线的性质可得∠AOF=∠F=45°，则∠1=180°-∠A-∠AOF=75°．

解：设AB与DF交于点O，

由题意得，∠F=45°，∠A=60°，

∵AB∥EF，

∴∠AOF=∠F=45°，

∴∠1=180°-∠A-∠AOF=180°-60°-45°=75°．

故选：C．8．如图，，则的度数为（）A. B.

C. D.【答案】C【解析】根据平行线的性质即可求解．如图，设交于点，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．9．已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（）

A.120° B.130° C.140° D.150°【答案】D【解析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．解：如图，

根据题意得：∠5=30°，∵，∴∠3=∠1=120°，∴∠4=∠3=120°，∵∠2=∠4+∠5，∴∠2=120°+30°=150°．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（）A. B.

C. D.【答案】C【解析】根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．二、填空题(共5题，共15分)11．下列四种说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；

③相等的角是对顶角；

④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．

其中，错误的是_____（填序号）．【答案】①②③【解析】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可．

解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；

∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；

∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；

∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；

故答案为：①②③．12．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．【答案】5秒或95秒【解析】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠ACD＝∠BAC，即120°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝5；如图②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°−(3t)°−60°＝300°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即300°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝95；如图③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∠DCF＝(3t)°−(180°−60°＋180°)＝(3t)°−300°，∠BAC＝t°−110°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即(3t)°−300°＝t°−110°，解得t＝95，此时∠BAC＝t°−110°＜0°，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．故答案为：5秒或95秒．【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．13．如图，若，则、、之间的关系为______.【答案】【解析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论．过点E作EF∥AB，如图所示．∵AB∥CD,EF∥AB，∴EF∥CD∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.又∵∠AEF+∠CEF=∠β，∴∠α+∠β−∠γ=180°.故答案为∠α+∠β−∠γ=180°.【点睛】考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.14．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．【答案】##度【解析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．解：如图所示，依题意，，∴，∵，，∴

∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是_____（填写序号）．【答案】①②③④【解析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．

解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，故①正确；

②∵∠1+∠2+∠2+∠3=180°，

∴∠CAD+∠2=180°，故②正确；

③∵∠2=30°，

∴∠1=∠E=60°，

∴AC∥DE，故③正确；

④∵∠2=45°，

∴∠3=∠B=45°，

∴BC∥AD，故④正确．

故答案为：①②③④．三、解答题(共8题，共75分)16．（8分）请补全证明过程及推理依据．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，AB∥EF，∠DEF＝∠B．求证：∠AED＝∠C．证明：∵AB∥EF，∴＝∠EFC（）．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝∠EFC（）．∴（）．∴∠AED＝∠C．【答案】∠B；两直线平行，同位角相等；等量代换；DE∥BC；内错角相等，两直线平行【解析】利用平行线的性质可得∠B＝∠EFC，利用∠DEF＝∠B，根据等量代换可得∠DEF＝∠EFC，根据内错角相等，两直线平行可得DE∥BC，再利用两直线平行，同位角相等可得结论．详解】证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝∠EFC（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．∴∠AED＝∠C．故答案为：∠B；两直线平行，同位角相等；等量代换；DE∥BC；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，利用等量代换得到∠DEF＝∠EFC，进而得出DE∥BC，这是解题关键．17．（8分）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：．证明：∵，（

）∴（

）∴

（同位角相等，两直线平行）∴（

）∵（已知）∴

（

）∴（

）∴（

）【答案】已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【解析】先根据垂线的定义得到，即可证明得到，等量代换得到则，即可证明．证明：∵，（已知）∴（垂线的定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）∵（已知）∴（等量代换）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．18．（8分）如图，已知∠1＝38°，∠2＝38°，∠3＝115°36′．求∠4的度数．【答案】64°24′【解析】如图，根据∠1=2可得a//b，根据平行线的性质可得∠3=∠5，根据邻补角的定义求出∠4的度数即可.∵∠1＝∠2=38°，∴a∥b，∴∠3＝∠5；∵∠4+∠5＝180°，∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣115°36′＝64°24′．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．19．（8分）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”(1)我们易证：“已知，求证：”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．(2)结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点C作，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明；（2）结合（1）中的结论，根据平行线的性质和判定进行推理论证．【详解】（1）解：命题：如果，那么，此命题是真命题，理由如下：过点C作，∵，∴，∴，∴，（2）证明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键．20．（9分）如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：；（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE