高中数学课时教学落实核心素养目标的一个框架

【摘要】数学学科核心素养是长远目标，系统思维、整体把握教学内容、整体设计教学，是发展学生数学学科核心素养的必由之路。课时教学是组成教学的基本单位，核心素养目标要依赖课时教学完成，课时教学要在核心素养目标引领下实施。文章以“数列”“两角和与差的正切”的课时教学为例，给出课时教学落实核心素养目标的一个框架。【关键词】核心素养；课时教学；排序；主线一、问题的提出《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017）》）在教学建议中指出，要将数学学科核心素养（以下简称“核心素养”）的培养贯穿于教学活动的全过程，教学目标制订要突出核心素养，情境创设和问题设计要有利于发展核心素养，整体把握教学内容，促进核心素养连续性和阶段性发展等。其中，核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个成分，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。［1］另外，史宁中等认为，核心素养是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法［2］，是在数学学习与应用的过程中逐步发展起来、并体现在数学学习与应用过程中的。这说明核心素养是长远目标，至少是阶段目标。发展核心素养，需要久久为功、潜移默化、春风化雨，方能水到渠成。基于核心素养发展的教学，需要系统思维、整体把握教学内容、整体设计教学。但就当前教学的组织形式而言，一定意义下，课时教学是组成教学的基本单位。基于核心素养目标的教学，要依赖课时教学去完成。无论怎样整体设计教学，具体的教學实施都是一个课时一个课时地去完成。如果课时教学不能为核心素养的发展做出应有的贡献，那么核心素养这个长远目标的达成将成为无源之水，无本之木。因此，核心素养目标要依赖课时教学完成，课时教学要在核心素养目标引领下实施。在课时教学中，如果只是基于主题（单元或章节）核心素养目标去谈落实，可能会“眉毛胡子一把抓”，泛泛而论，浮于表面，难以深刻。因此，教师可以通过研究如下问题，具体到课时教学核心素养目标的落实。如本课时主要含有哪些核心素养，哪些内容最有助于哪些核心素养的提升；统筹各个核心素养的关系，这些核心素养在该课时中的“分量”“轻重”怎样，并按照“分量”“轻重”进行排序；在排序的基础上，选择其中“分量”较重的核心素养，以它们为主要抓手，统领其他核心素养的协同发展，形成课时核心素养发展主线，进而探索课时教学落实核心素养目标的路径。本文以苏教版数学选择性必修第一册“数列”和苏教版数学必修第二册“两角和与差的正切”的课时教学为例，给出课时教学落实核心素养目标的一个框架。二、课时教学落实核心素养目标的探讨（一）知识是生成能力、发展核心素养的本源六个数学核心素养成分的表现都是一种能力，它们必须依附于知识，不能脱离数学知识而单独存在。［3］高中数学课程是以外显的知识发生发展的逻辑线索展开的，这就说明，核心素养目标的达成，必须通过知识实现，知识是生成能力、发展核心素养的本源，没有知识的教学，一切都无从谈起，发展核心素养也将是空中楼阁。数学思想方法既是数学的灵魂，也是发展核心素养的依托，思想方法的教学离不开知识。教师应该意识到：没有离开知识的方法，也没有离开方法的知识；教方法必须教知识，教知识又不能只教知识，必须渗透思想方法；渗透思想方法应该是抓住契机的、注意分寸的；等等。其中，度的把握，是教学实践的重要课题。（二）六个核心素养成分既彼此独立又相互融合核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，而是综合体现了对数学知识的理解，对数学技能方法的掌握，对数学思想的感悟，对数学活动经验的积累。一定意义下，关键能力就是核心素养［4］。在数学学习与应用的过程中发展核心素养，需要通过提高其关键能力来实现。六个核心素养成分既彼此独立又相互融合，是一个有机整体。例如，数学运算就是逻辑推理。又如，数学建模是对现实问题进行数学抽象，这表明数学建模的过程蕴含数学抽象。另外，建立数学模型的过程，还可能包括诸多核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数据分析等。下面，笔者对“指数函数的概念”的核心素养进行分析。基于核心素养一定意义下表现为关键能力，从数学建模视角理解指数函数的概念的教学，应该包含如下过程：选取一些现实生活或数学内部情境组成一组对象，从一组对象中抽象出共同属性，并用符号表示，这属于数学抽象；画几个指数函数图象并观察其性质，属于直观想象；从几个具体的指数函数图象（位于同一平面直角坐标系中），概括出一般指数函数的性质，属于从特殊到一般的归纳推理（逻辑推理）；借用运算手段研究指数函数的单调性（包括比较大小等），则又蕴含数学运算等。显然，这些核心素养在本课中的“分量”是不同的，有轻有重。其中，数学抽象是重要的，因为建立了新的研究对象，这是数学研究新对象的基础；数学建模也是重要的，因为建立了新的数学模型，这是研究新对象的前提。相较于数学抽象与数学建模，画指数函数图象的过程中蕴含的直观想象、观察图象归纳性质中的逻辑推理、研究单调性比较大小中的数学运算，则处于次要地位，而且，它们是基于数学抽象与数学建模的需要而被调用的。因此，一定意义下，数学抽象与数学建模核心素养在本课处于核心地位，它们扮演着统领角色，其他核心素养则处于从属、被动地位。在教学中，教师要以发展核心素养为指向，以数学抽象、数学建模为核心，以解决问题（建立指数函数模型）为目标，辅助逻辑推理、直观想象、数学运算等，协同推进核心素养的全面发展。这就为课时教学落实核心素养提供了一个框架。（三）课时教学落实核心素养目标的一个框架笔者基于三条主线（知识主线、方法主线、素养主线）［5］，给出课时教学落实核心素养目标的一个框架（如图1）。其中知识主线是明线（知识明线），方法主线是暗线（方法暗线），素养主线是眼线（素养眼线）。三、举例：课时教学落实核心素养目标的一个框架笔者依据如图1所示课时教学落实核心素养的一个框架，给出两个具体的课时设计片段。其中，“数列”是章节起始课、核心概念课，“两角和与差的正切”是公式推导课，它们都具有一定的典型性。（一）数列笔者依据三条主线，对“数列”教学内容进行分析，同时对所析出的课时核心素养，判断其主次并排序。然后根据课时核心素养外在表现，确定本课核心素养主线，并基于核心素养主线进行教学设计。1.三条主线视角下的教学内容分析（1）知识明线“数列”主要的知识是数列的概念（包括数列的三种表示、分类、图象、通项公式、递推公式），数列是特殊的函数模型，以及数列知识的简单应用等。例如，由通项公式求前几项，画出数列的图象；给出前几项，写出符合条件的通项公式。其中，突出数列的函数本质是重点，教师需要引导学生把握多个契机：数列概念形成的过程，探索项数（形式是数，意义是序数）到项（数）的对应，体现数列符合函数的定义；数列的三种表示，应当定位为函数的三种表示在数列这个具体函数下的体现；例题中由通项公式或递推公式求通项；例题中画出数列的图象。（2）方法暗线方法暗线是蕴含在知识发生发展过程中的，方法离不开知识，知识的学习又离不开方法的引领。在教学中，教师要以知识发生发展的逻辑为基本线索，以数学研究的一般方法为主线，以解决问题为导向，引导学生发现与提出问题、分析与解决问题。同时，在运用数学研究的一般方法中应深化学生对方法的理解，并且适时地、抓住契机地、把握火候地突出这条方法暗线。如“数列”的基本线索如下：第一，教材中给出了6个日常生活和数学中的实例，教师引导学生观察分析，在此基础上抽象概括出数列的定义；第二，用符号表示数列，即给出数列的符号表示[an]；第三，对数列进行分类，即有穷数列与无穷数列；第四，探索数列的函数本质，突出数列是特殊的函数，并基于函数表示方法给出数列的三种表示；第五，借助于数列的解析式（通项公式与递推公式）表示，运用数学运算研究数列的基本性质。这个过程与方法正是数学研究的一般方法：情境—对象—性质—应用（如图2）。（3）素养眼线依据核心素养的定义，基于数列的教学内容，可以认定“数列”内容应该蕴含如下核心素养。［6］第一，数学抽象。数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。本课有如下内容有助于数学抽象核心素养的发展：一是由一组情境抽象出数列的概念，即用“概念获得”的方法建立数列的概念；二是从代数视角抽象出一般规律，如通项公式an=f（n）；三是由数列的部分项推理出一般规律，并用代数形式表达。特别是抽象数列的概念，建立数学学习的新对象，开启本单元学习的新征程，显然具有重要的基础作用。因此，数学抽象是本课重要的核心素养。第二，数学建模。数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。对于数列的学习，就是建构数学学习的新对象，同时建立重要的数学模型。前已述及，数学建模的过程，涉及多种关键能力，因此数学建模也是本课重要的核心素养。第三，逻辑推理。主要体现在合情推理，例如，从数列前几项到一般规律的归纳推理，这是比较简单的，相对于上述两个核心素养而言，只能处于次要地位。第四，直观想象。教材例2中，给出数列的通项公式，要求画出数列的图象，让学生深刻体会：数列是特殊的函数，其图象是离散的点，研究图象可以把握数列的变化趋势（本质上是函数的单调性）。由于本课只涉及具体函数的图象，通过列表、描点就可完成，學习挑战性并不大，故直观想象处于次要地位。第五，数学运算。教材例1、例2和例3中，给出数列的通项（递推）公式，要求学生计算出前几项，蕴含数学运算，但由于运算比较简单，或者是简单的字母运算，或者是一些具体数字的四则运算，因此一定意义下，本课可以忽略数学运算核心素养。2.课时核心素养主次的排序与素养主线的确定根据上述分析，可以对“数列”核心素养进行排序，并确定素养主线：第一，数学抽象与数学建模是本课的重要核心素养，处于核心、统领地位，逻辑推理、直观想象、数学运算等则处于次要地位；第二，照此主次关系排序，依据其顺序确定本课处于统领地位的核心素养；第三，根据核心素养的外在表现，取处于核心地位的核心素养的公共部分和主要成分，确定本课素养主线（见表1）。从表1可以看出，课时教学发展核心素养目标，要统筹多个核心素养，突出重点，围绕核心，构建素养主线；教学设计则要基于知识发生发展过程，突出问题导向，指向问题解决，回归“四基”“四能”，在提出问题与解决问题的过程中，实现核心素养发展目标。使得核心素养这个长远目标，在具体的课时教学中得以有目标地、有重点地、有针对性地、有可操作性地落实。3.基于素养主线的课时教学设计片段笔者依据“数列”素养主线，针对“数列”教学内容，基于由远及近、由难到易原则［7］，以问题串形式，给出“数列”课时教学的设计片段。同时，以第（1）组问题串为例，说明问题串设计的基本立意：通过暗示，引导学生思考，让学生通过思考，听出教师的弦外之音，把最后“捅破窗户纸”的机会留给学生。实施过程则需要教师基于学情、从距离目标较远的问题出发，逐步向距离目标近的问题靠拢。当然，在教学实践过程中，教师也要及时反馈，准确判断学情，相机改进、优化教学，并顺势而为。（1）由一组情境抽象概括数列的定义问题1：研究这一组情境，有什么样的意义？（让学生感悟学习新知识的理由，激发学习积极性。）问题2：面对这一组情境，你想到了什么？（元认知启发，距离目标较远，有一定的挑战性，面向优秀的学生，让他们“跳一跳，够得到”。）问题3：你打算怎样研究这一组对象呢？（问题稍容易，指向“研究”，给学生以暗示，面向学习基础较好的学生。）问题4：数学是怎样研究问题的？（指向具体的“数学研究”，问题稍加明确，面向中等层次的学生。）问题5：如果还没有想到，应该怎样想？（让学生回顾已有学习经验，类比迁移学习方法，具有方法论层面的意义。）问题6：观察这一组对象，你有何发现？（指向观察一组对象，暗示共性，是更加明显的暗示，面向中等层次的学生。）问题7：这一组对象有什么共同特点？（这是教材在给出一组问题情境后所提出的问题，指向比较明确，对优秀的学生来说不具有挑战性，教学不能从这里开始，而应当设计具有逻辑性、层次性、连续性、发展性的问题串，面向全体学生，否则只是照本宣科。）问题8：你能概括一下这一组对象吗？（这里指向已非常明确，就是要概括这一组对象的共性，面向学习基础薄弱的学生，但仍然没有捅破“谜底”，而是把机会留给学生。）……（2）让学生提出用符号表示数列的问题在抽象概括数列的定义之后，接下来要干什么？我们知道，应用符号表示它。但这个问题由谁提出，意义大不一样。是教师明示学生任务，还是启发学生基于基本活动经验，应用数学研究的一般方法，去探索学习任务的取向，提出用符号表示数列的问题？显然后者更加注重让学生发现并提出问题，具有重要的育人价值。至于如何表示，则是不必探究的问题，直接出示告知也是可以的。教师启发学生的问题如下：①建立了新对象的概念后，接下来要做什么？②以前有无类似的经历、经验？③研究新的数学对象，一般都要做什么准备工作？④如果还没有想到，应该怎样想呢