2024届南京市、盐城市高三一模数学试题+答案

南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分..

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知全集。与集合的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为

第1题图

A.AH[UBB/NU（曲C.8包〃D.

2.复数二满足（l=i）%=l+i（i为虚数单位），则|z|=

A-TB-fc.?D.i

3.等比数列（a”｝的前n.项和为S”，已知53=。2+5。1，05=4,则a1=

A-7B--Tc-fD.-j~

4.德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷•布拉赫等人的观测资料和星表，通

过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太

阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:

7=1嬴•花，其中以为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则

火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

高三数学试卷第1页（共4页）

5.关于函数/(1)=45出(3：+协(71>0,3>0,0<?><£),有下列四个说法：

①/Gr)的最大值为3

②“工)的图象可由y=3sinz的图象平移得到

③人工)的图象上相邻两个对称中心间的距离为彳一

④人工)的图象关于直线工■对称

若有且仅有一个说法是错误的，则/(£)=

A34口33n3c

A

--一T~B--2C-7D-~T~

6.设。为坐标原点，圆M：(x-l)2+(y-2)2=4与Z轴切于点力，直线z-Cy+2，T=0交

圆M于B,C两点，其中B在第二象限，则溢•炭=

AB.之/C.空D.守

哼442.4

7.在棱长为2a(a>0)的正方体ABCD-AiBCi。中，点M,N分别为棱AB,。©的中点.已知

动点尸在该正方体的表面上，且A/•时=o,则点尸的轨迹长度为

A.12aB.12naC.24aD.24m

8.用min{z,y}表示工,y中的最小数.已知函数/(H)=?则min(f(H),fQ：+ln2))的最大值为

A.4B.-C.野D.In2

e,e2

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知z,yGR,且12工=3,12，=4,则

A.y^>xB.X+J>1C.xy<Z~D.^^2

10.有，(〃GN・，,510)个编号分别为1,2,3,…,m的盒子,1号盒子中有2个白球和1个黑球，其

余盒子中均有1.个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子;再从2号盒子任取一

球放入3号盒子;…似此类推.记“从i号盒子取出的球是白球，，为事件A(i=l,2,3,…,，。，则

A.P(A4)=qB.P(A\I/I2)=-~

J5

C.PG4i+4)=卷D.p(alo)=^-

高三数学试卷第2页(共4页)

11.已知抛物线储=4》的焦点为尸，过尸的直线交E于点AGI，M）,5（NZ,“）,£在5处的

切线为。，过A作与。平行的直线右,交E于另一点C（N3,g）,记/3与，轴的交点为0,则

A.yiy2=1B・见+普=3x2

j

C.AF=DFD.△A5C面积的最小值为16

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在（工一/）6的展开式中，常数项为▲.

13.设双曲线C：5一£=l（a>0,6>0）的一个焦点为F,过F作一条渐近线的垂线，垂足为E若

线段£F的中点在C上，则C的离心率为▲.

14.巳知a，BW（0,与）,且sina—sinf=二卷,cosa—cosF="|■4!]tana+tanB=■.

Lt乙乙

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

在△ABC中，sin（5—sinA=sinC.

（1）求5的大小；

（2）延长BC至点M,使得2爱=说.若，求N5AC的大小.

q

16.（本小题满分15分）

如图，已知四棱台ABCD-A^C^的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面

44iOi0_L平面48c0,AIA=0Q=M7,点尸是梭。的中点，点Q在梭比上.

⑴若5Q=3QC,证明:PQ〃平面A5614;

⑵若二面角P-QD-C的正弦值为嗜,求8Q的长.

高三数学试卷第3页（共4页）

17.(本小题满分15分)

已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(22Q,202),其电压通常有3种状态：

①不超过200V；②在200V〜240V之间,③超过240V.在上述三种状态下,该机器生产的零

件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.

(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；

(2)从该机器生产的零件中随机抽取“(")2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为外,求外

取得最大值时”的值.

睨：若Z〜NQzd),取P(〃-dVZ<〃+a)=0.68,尸(〃一2oVZV〃+2o)=0.95.

18.(本小题满分17分)

已知椭圆C：§+£=l(a>6>0)的右焦点为尸(1,0),右顶点为A,直线/：1=4与工轴交于点

M,且|AM=a|AF|.

(D求C的方程；

(2)5为/上的动点，过5作C的两条切线,分别交y轴于点P,Q.

①证明:直线BP,BF,5Q的斜率成等差数列;

②。N经过5,P,Q三点，是否存在点B,桢嬉NPNQ=90。？若存在，求15ML若不存

在,请说明理由.

19.(本小题满分17分)

一,、穴

已知a>0,函数/Gr>=°Nsinx+cosaz—1,00V彳.

(D若a=2,证明：/(幻>0;

(2)若/(幻>0,求0的取值范围；

(3)设集合P=｛6函言不,”GN-｝,对于正整数胸，集合Q“=｛川协0<2»«),

记尸nQ.中元素的个数为力,求数列｛”｝的通项公式.

高三数学试卷第4页(共4页)

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数学参考答案2024.03

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.A2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小眄绐出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部允选对的得部分分，不选或有选错的得。分.

9.ACD10.BC11.ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分・

L8

12.1513.A/214.J

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•

15.(本小题满分13分)

解：(1)在△NBC中，A-[-B+C—it,所以sinC=sin(兀一C)=sin(/+2).

因为sin(B—N)+©sirb4=sinC,

所以sin(5—N)+港sirb4=sin(/+3),化简得RsinJ=2cosEsinz(...................................4分

因为/G(0,兀)，所以sirv4r0,cos5=乎.

因为OVBVe所以......................................................6分

(2)法1：设BC=x,/BAC=3则CM=2x.

由(1)知5=?又/C4四节所以在AZSM中，ZAMC=-0.

在ZX/BC中，由正弦定理得.即懵=盘①..................8分

smZBACsmBsin。,n

啊

在△NCW中，由正弦定理得与篙=4%，即—②..：.......10分

s.m9ZCAMs\nM.n

siqsin(~—(9)

亚

①+②，得熹=矍，即2sin8cose=+所以sin20=：............................................12分

2

因为昨(0,金，205(0,第，所以2。=2喏，故，=净唔..................13分

法2：设5C=x,则CM=2x,BM=3x.

因为/。”=手=8,所以△HCAfs△砌“，因此翟=携，

4BMAM

所以/M=5MCM=6X2,AM=y/6x.............................,............................................8分

在中,由正弦定理得嬴阳=给’即住应=贺,

2­

而三数学试卷第L页(共7页)

化简得sin/胡”=坐.....................................................

因为NA4MG(0,第，所以N切"=会或竽，^BAC=ZBAM~^,

故/切C=^或得..........................................................

16.(本小题满分15分)

解：⑴证明：取也4i的中点〃，连接MP,MB.

在四棱台428—45Q1O1中，四边形4力。口是梯形，小。|=2,AD=4,

M

又氤M,尸分别是棱4/,的中点，所以且MP，"12o=3....2分

在正方形4BCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以80=3.

从而幺50,所以四边形3Mp0是平行四边形，所以P0〃MB...............................4分

又因为Afflu平面P0(z平面/SB/”所以尸0〃平面ZMMi.…如……小6分

⑵在平面及皿。中，作40LW于。.R/C(

因为平面44iDpD_L平面NBCD,平面/L^OpDC平面428=40，

AxOA.AD,40u平面4401。，所以小。_1_平面力BCD二f|八

在正方形ABCD中，过O作为8的平行线交BC于氤N,则ONLOD.瓜____V\

以｛砺，0D,而｝为正交基底，建立空间直角坐标系。一盯z.B：------

因为四边形44。。是等腰梯形，为功=2,AD=4,所以/。=1，又AIA=DID=5,所

以4。=4.

易得8(4,-1,0),D(0,3,0),C(4,3,0),A(0,2,4),尸(0,|，2),所以虎=(4,0,

―»1-A

0),DP=(0,一点2),CB=(0,-4,0)........................

法1：设丽=；1在=(0,-42,0)(0W1/l),

所以双=皮+曲=(4,-42,0).

设平面尸90的法向量为〃z=(x,、，z),

—1

由””0,得-4+2Z=O,取-⑷，4,1).

mDQ=0,l4x—42y=0,

另取平面DCQ的一个法向量为“=(0,0,1)................................................................12分

设二面角P—@D—C的平面角为6,由题意得Icos引=-\/l-sin20=^=.

又|cosO|=|cosV"，'〃>1=鼎昌扁+17,所的&43+17=虚'

Q3

解得4=±米舍负)，因此CQ=1X4=3,BQ=1.

所以当二面角尸一0。一C的正弦值为^^时，8。的长为1..................................15分

法2：设0(4,/,0)(-1W/W3),所以丽=(4,/-3,0),

设平面产。。的法向量为加=(x，y>z)>

施三数学试卷第2页(共7页)

由吧=0,得卜5+2z=0,取—,1）,

、m，DQ=0,14x+«—3»=0,

另取平面。C0的一个法向量为〃=（0，o,1）..................................................................12分

设二面角P—QD—C的平面角为仇由题意得Icosel=Nl-sin%=;^.

又IcoseUlcosVm,〃>1=向而="_而7,所以7（3」）2说=标'

解得，=0或6（舍），因此8。=1.

所以当二面角尸一。。一。的正弦值为蜜时，80的长为1.........................................15分

法3：在平面AXADD\中，作PHUD,垂足为H.

因为平面小40。J■平面Z8CD

平面AiADDyD平面ABCD=AD,

PHLAD,

-尸Hu平面N/DDi，

所以PH_L平面4BCD,

又DQu平面ABCD,

所以

在平面038中，作垂足为G,连接PG.

因为尸班LD0,HG±DQ,PHCHG=H,PH,HGu平面PAG,

所以。0_L平面尸HG,

又尸Gu平面PHG,

所以。0LPG.

因为的_1_00,PG±DQ,

所以NPG"是二面角P-QD-A的平面角................................9分

在四棱台中，四边形小是梯形，

小。1=2,AD=4,AiA=DiD=p,点尸是棱的中点，

所以尸"=2,DH=\.

设30=x（0/x近4）,贝IJC0=4-x,£>0=^42+（4-^）5=^2-8^+32,

在△0/ZD中，^x^x4=-xy]x2'—8x+32xHG,

2

从而HG=/&।二・............12分

y/x2-Sx+32

因为二面角P-QD-C的平面角与二面角P-QD—A的平面角互补，

高三数学试卷第3页（共7页）

所以sinNPGH=2俊,

从而tanZPGH=5.

pH

所以在RtZkPHG中，前=双一8x+32=5,

解得x=l或x=7(舍).

所以当二面角尸一0。一。的正弦值为蜜时，BQ的长为1..............................15分

17.(本小题满分15分)

解：⑴记电压”不超过200V“、“在200V〜240V之间"、"超过240V”分别为事件4B,C,“该

机器生产的零件为不合格品”为事件D

因为gV(220,2()2),所以尸⑷=P(UW200)=l一尸".；2<〃+5=]一；6色16,

尸(8)=尸(200VUV240)=P0，-cVZV/+(r)=0.68,

„、\-P(ji-a<Z<n+o)1-0.68

尸©=P(CZ>240)=------比-2——~=-2-=0-16.......................................................4分

所以尸(。)=尸(4)尸(。|4)+P(3)P(D|2)+P(C)P(。10=0.16X0.15+0.68*0.05+0.16X0.2=0.09,

答：该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.....................................................................7分

⑵从该机器生产的零件中随机抽取"件，设不合格品件数为X，则45(〃，0.09)，

所以P"=P(Y=2)=C；O.91"T().O92..........................................................................................11分

Pn+lC3O.91"-LO.O92_〃+1

由XO.91>1,解得n<—..........................13分

Pn寸0.91心0.092—〃一］

所以当"W21时，Pn<Pn+]<当"222时，pn>Pn+W所以222最大.

因此当〃=22时，P”最大.....................................................15分

18.(本小题满分17分)

解：(1)由右焦点为网1，0),得c=l.

因为=a|"尸|,所以|4一=a(q—1)................................................................2分

若则a—4=a(a—1),得2a+4=0,无解.

22

若aV4,则4—a=a(a—1),得『=4,所以房=3,因此c的方程为^■+《=1........5分

(2)设8(4，。，易知过8且与。相切的直线斜率存在，

设为y-t=k(x—^.

仅一，=加—4),

联立3

消去y得(3+4dW+8HL4%)x+4(L4©2-i2=0.

由4=64砍/一4左)2-4(3+4羚[4(/一4©2—12]=0,

得12尸一8戊+/一3=0.

o#2/t"-3

设两条切线5H3。的斜率分别为如k29则高+后=登=亍，2#2=丁.........9分

高三数学试卷第4页(共7页)

①设昉的斜率为描则昼=s=/

因为总+k2=^=2后，所以期BF,50的斜率成等差数歹U.

②法1：在y—f=%i（x—4）中，令x=0,得力=f-4舟，所以尸（0,

同理，得0（0,/—4%，所以尸。的中垂线为＞=/-2（而+心）.

易得3尸中点为（2,/—2鬲），

所以5尸的中垂线为y=一缶-2）+1—2鬲...............

KT

，=/—2(舟+后)，

联",=_如_2)+/_2鬲,解得M2鬲后+2,，-2（舟+团））.

所以福=（一2后的一2,2后一2衔），福=（一2鬲舄一2,2鬲一2斤2）.

要使林•施=0,即4%次2+1）2—4出一月2）2=0,

整理得I"#2+11=1e一舄I................................................................................................15分

而|用一四|=北质+k*-4k#2=N号

所以1乙葭+1।解得尸=7，/=土巾，因此|AM|=市....................17分

故存在符合题意的点8,使得元？•愈=0,此时归射=明.

法2：在》—/=卮（*—4）中，令x=0,得力=/一4后，因此尸（0,f—4后1）.

同理可得。（0,r—4⑸，所以尸0的中垂线为＞=/-2出+初.

因为3尸中点为（2,t—2k\）.'o

1

所以8尸的中垂线为y<x-2)+/-2i|.分

k\13

>=/—2肉+用)，

联立解得以=2林2+2.

y=—^(x-2')+t—2k],

要使萨・福=0,则/尸遇=多所以隘1=辱^，

即|2鬲波+2|=2|鬲一才|・..........................................................

而।由一心।r（鬲+⑸2—4而后=4给

所以1号+1|=咛^，解得』=7,/=±巾，因此|5M=巾...................17分

故存在符合题意的点5，使得福通=0,此时|飒=市.

法3：要使NPAQ=90°,即/尸80=45°或135°.

从而ItanN尸5。|=1,又tanN尸5。=心券，所以将含=八

1+k]K2\\-\-k\k2\

因为|南一左2|=.（%]+k2）2_4%化2=^（与）2-4，^^=1'；+9,.

所以亚奥=1+七3,解得『=7,/=士巾，所以18M=市，

而三数学试卷第5贝（共7页）

故存在符合题意的点3,使得萨•福=0,此时|8M|=巾.

法4：要使NPN0=9O。，即NPB0=45。或135°.

从而IcosNPBQ尸"妖巴=乎...........................................13分

闻I•国I外一

在y—1=左]（工一4）中，令x=0,得力=，一4肩，故尸（0,/—4^i）.

同理可得。（0,7—伍）.7

er—~\0\~F//A7-T

因此2尸=（一4,一4鬲），5。=（一4,一4后）,7

所以一曲质_=及1华平,1/

\BP\-\BQ\可1+用《打卜后22

故镇（1+所切=3+F豆+用2+用2,即2+2肩2后2+4向用=1+^2^2+^2+i221

整理得后:+6上曲+1=出+后）2.............................................15分

所以（"iUy+6《U+l=（歌整理得'+2/2-63=0,解得’=7或一9（舍去），

因此/=士巾，出网=巾・....................................................17分

故存在符合题意的点8,使得林•施=0,此时出M=巾.斗）

法5：要使NPAQ=90。，即/尸30=45°或135。.

在y一片肩。-4）中，令x=0,得力=/一4高，故尸（0,L%）.小….•……”分

同理可得0（0,/—4⑸.'k0一'

由等面积法得!\PQ\-\XB\=Sa，BQ=3旧尸।,18。卜当，]/

即,421—4左2I,4=/4*\/1+后/，4"\/1+左2,,乎,整理得出+笈2）2=%2后2+6左角+1......15分

27

所以（与2=（目）2+6目+1,整理得/+2,-63=0,解得产=7或一9（舍去），

因此r=±由，\BM\=yfl....................................................17分

故存在符合题意的点8,使得沥,福=0,此时|咽=市.

19.（本小题满分17分）

解：（1）因为a=2,

所以/(x)=2xsinx+cos2x—1=2(x—sinx)sinx,0<x<^,2sinx>0..................2分

设,g(x)=x—sinx，0VxV7C

则g'(%)=2(1—cosx)>0,

所以g(x)在(0,力上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,

因此/(x)>0.....................

(2)法1：/'(x)=a(sinx+xcosx—sinax),

向三数学试卷第6页