人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理（一）

6.4.3余弦定理、正弦定理第一课时余弦定理本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。课程目标学科素养A.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；B.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题；C.掌握给出三边判断三角形的形状问题；D.培养学生的数形结合的能力。1.数学抽象：余弦定理的推导过程；2.逻辑推理：余弦定理的证明；3.数学运算：利用余弦定理解三角形；4.直观想象：数形结合法；1.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；2.教学难点：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，温故知新1.向量的减法：【答案】。相同起点，尾尾相连，指向被减向量。2.向量的数量积【答案】3.证明三角形全等的方法有哪些？【答案】ASA，AAS，SAS，SSS。二、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？【解析】，所以。同理可证：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即应用：已知两边和一个夹角，求第三边．思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？由余弦定理变形得应用：已知三条边求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？【解析】探究2：当角C为直角时，有，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？【结论】当角C为锐角时，；当角C为钝角时，；当角C为直角时，。一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解这个三角形（角度精准到，边长精确到1cm.）解：由余弦定理，得所以，由余弦定理的推论，得，利用计算器，可得所以，例2.在中，已知a=7，b=8，锐角C满足，求B。（精准到)通过复习所学知识，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，推导余弦定理的推论，提高学生解决问题的能力。通过思考与探究，进一步推导余弦定理的变形结论，提高学生的观察、概括能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解余弦定理，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)【答案】B【解析】由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故选B.2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.故选C。3．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．【答案】等腰三角形【解析】∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，则cosA＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,3).5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三边长为4.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.余弦定理及其推论；2.利用余弦定理的解三角形。五、作业习题6.46（1）（2）题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。本课中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题解决问题、应用反思的过程,学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受