直线的交点坐标与距离公式14题型分类（原卷版）

直线的交点坐标与距离公式14题型分类一、两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关．2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).三、点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长图示公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))（一）求相交直线的交点坐标1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解.2、求两相交直线的交点坐标．(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．题型1：求相交直线的交点11．（2023秋·全国·高二阶段练习）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：(1)，；(2)，；(3)，．12．【多选】（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）若三条直线，，交于一点，则a的值为（

）A． B．3 C．1 D．213．（2023秋·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考阶段练习）三角形的三个顶点是，则它的外心坐标是.14．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为.15．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为.题型2：求过两条直线的交点的直线方程21．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程．22．（2023秋·安徽合肥·高二校联考阶段练习）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是.23．（2023秋·辽宁丹东·高二凤城市第一中学校考阶段练习）求经过直线，的交点M，且满足下列条件的直线l的方程：(1)过原点；(2)与直线平行；(3)与直线垂直.题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数31．（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为．32．（2023秋·高二课前预习）直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且33．（2023秋·高二课前预习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．34．（2023秋·全国·高二期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．35．（2023秋·高二课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.36．（2023·全国·高二专题练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为37．（2023·全国·高二随堂练习）已知直线与的交点在y轴上，求m的值．题型4：三条直线能否构成三角形问题41．（2023·江苏·高二专题练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个42．（2023·江苏·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为．43．（2023秋·全国·高二期中）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？44．（2023秋·高二课前预习）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．

45．（2023·江苏·高二专题练习）若三条直线与能围成一个直角三角形，则．（二）两点间的距离1、两点间的距离公式：(1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2、计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．题型5：求两点间的距离51．（2023·全国·高二随堂练习）（1）已知点和，求；（2）已知的顶点为，，，求的周长．52．（2023秋·广西南宁·高二校考阶段练习）已知点为中点，则．53．（2023·全国·高二课堂例题）已知的三个顶点分别为，，．(1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形．54．（2023·全国·高二专题练习）以为顶点的的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形题型6：由两点间的距离求参数61．（2023秋·全国·高二期中）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（

）A． B． C．或 D．1或62．【多选】（2023秋·高二课时练习）（多选）已知点，且，则a的值为（

）A．1 B． C．5 D．63．（2023秋·高二课时练习）已知点、、，且，则.64．（2023秋·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.题型7：运用两点间的距离公式求最值71．（2023·江苏·高二专题练习）的最小值为．72．（2023·全国·高二随堂练习）求函数的最大值．73．（2023秋·高二课时练习）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值.（三）运用坐标法解决平面几何问题1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形．2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．题型8：用坐标法解决平面几何问题81．（2023·全国·高二课堂例题）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．82．（2023·高一课时练习）在中，，D，E为斜边AB的三等分点，，求斜边AB的长．83．（2023·高一单元测试）已知：为实数，两直线相交于一点．求证：交点不可能在第一象限及轴上．（四）点到直线的距离点到直线的距离的求解方法：(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．题型9：求点到直线的距离91．（2023秋·北京昌平·高二校考期中）点到直线：的距离是92．（2023·全国·高二课堂例题）分别求点到下列直线的距离：(1)；(2)．93．（2023秋·全国·高二专题练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．94．【多选】（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（

）A． B．10 C．5 D．095．（2023秋·全国·高二期中）已知点在直线上，求的最小值．96．（2023秋·重庆涪陵·高二校联考阶段练习）已知点在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型10：直线围成的图形面积问题101．（2023·全国·高二随堂练习）求以，，三点为顶点的三角形的面积．102．（2023·全国·高二随堂练习）已知平行四边形中三个顶点的坐标为，，，求这个平行四边形的面积．103．（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求的面积．104．（2023秋·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求：(1)求点坐标；(2)求的面积.105．【多选】（2023秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知三边所在直线分别为，则（

）A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为C．的面积为 D．是直角三角形题型11：点到直线距离公式的应用111．（2023秋·高二课时练习）已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程．112．【多选】（2023秋·全国·高二期中）若点在直线上，且点到直线的距离是，则点的坐标为（

）A． B． C． D．113．【多选】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知，两点到直线：的距离相等，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4（五）两平行线间的距离求两条平行直线间距离的两种方法：(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).题型12：求两平行线间的距离121．（2023秋·全国·高二阶段练习）求下列两条平行线之间的距离：(1)，；(2)，．122．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）两条直线：；：．则与之间的距离为．123．（2023秋·江苏连云港·高二东海县石榴高级中学校考阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A．1 B． C．3 D．4124．（2023秋·全国·高二阶段练习）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B． C． D．125．（2023秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）已知两条平行直线：，：间的距离为，则．126．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．－1题型13：距离公式的综合应用131．【多选】（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是B．若直线：，则C．点到直线的距离是1D．过点与直线平行的直线方程是132．【多选】（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，，，，P，Q分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点M到直线的距离为 B．若，则点Q的坐标为C．点M关于直线对称的点的坐标为 D．周长的最小值为133．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（

）A．周长的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为4134．【多选】（2023秋·江苏·高二阶段练习）已知直线，，，则下列结论正确的是（

）A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在C．当时，直线在轴上的截距为2 D．当时，直线与直线平行（六）直线的对称问题有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．题型14：直线的对称问题141．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知直线，则点关于l的对称点的坐标为.142．（2023秋·江苏·高二专题练习）点关于直线的对称点的坐标为．143．（2023秋·高二单元测试）已知点与点关于直线对称，则的值为．144．（2023秋·高二课时练习）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．145．（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程为．146．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.147．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（

）A． B． C． D．2148．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．149．（2023·全国·高二课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程．1410．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．1411．（2023秋·广西南宁·高二校考阶段练习）已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.1412．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．1413．（2023·全国·高二专题练习）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．1414．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为.1415．（2023秋·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点、，在直线上，则的最小值等于.1416．（2023·全国·高二专题练习）在直线上求两点P，Q，使得：(1)P到与的距离之差最大；(2)Q到与的距离之和最小．一、单选题1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·四川成都·高二校联考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C． D．5．（2023秋·全国·高二期中）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（

）．A． B． C． D．6．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或7．（2023秋·高二课时练习）两平行直线和间的距离是（）A． B． C． D．8．（2023秋·高二课时练习）点，P在直线上，，则P点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）已知直线过直线和的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（

）A． B．C． D．10．（2023·江苏·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（

）A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是11．（2023秋·云南昆明·高二校考阶段练习）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D