高三数学一轮复习讲义点直线平面之间的位置关系教师

课题：点、直线、平面之间的位置关系知识点一、平面1.平面的表示：为了表示平面，我们常把希腊字母、、等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内；也可用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面、平面或者平面等；2.用符号语言来表达下列图形的位置关系：图①中,点在直线上,记作；点不在直线上,记作

图②中,点在平面内,记作；点不在平面内,记作

图③中,直线在平面内,记作

图④中,直线不在平面内,记作；直线不在平面内,记作

3.平面的基本公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面②经过两条相交直线，有且只有一个平面③经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）符号语言：知识点二、空间中直线、平面的位置关系1.概念：异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围）2.定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）3.位置关系：公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：直线与平面的位置关系有三种：5.平面与平面之间的位置关系有两种：【典型例题】【例1】已知下列命题：①若直线平行于平面内的无数条直线，则；②若直线在平面外，则；③若直线，则；④若直线，那么直线平行于平面内的无数条直线．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A试题分析：①当直线时，直线也可以平行于平面内的无数条直线，故①是假命题；②直线与平面的位置关系有三种，故②也是假命题；③直线则或故③也是假命题；由③知，直线a平行于平面内的无数条直线，所以=4\*GB3④是真命题．故选A．【例2】已知是两相异平面，是两相异直线，则下列错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】在A中，若，则由直线与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；在B中，若，则由平面与平面平行的判定定理得，所以直正确的；在C中，若，则由平面与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；在D中，若，则与平行或异面，故是错误的，故选D.【例3】已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】C【解析】①，，，则可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.【例4】设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】由是两条不同的直线，,是两个不同的平面，知：在中，若，则与相交或平行，故错误；在中，若，则，所以，故正确；在中，若，则与相交,平行或异面，故错误；在中，若，则与相交,平行或,故错误。故答案选【举一反三】1.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．【答案】③④解：∵A、M、C、C1四点不共面∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；故答案为：③④2．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若∥，，则∥B.若，，则∥C.若，，则∥D.若，∥，则【答案】D【解析】对于，当中，不成立，对于，当中，不成立，对于，当中，不成立，故答案选3．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n,m⊥α，则n//α；②若α//β,m⊥α，则m⊥β；③m⊥β,α⊥β，则m//α；④若m//α,n//α，则m//n.其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】①存在反例n⊆α，所以错误；②正确；③存在反例m⊆α，所以错误；④直线m,n可能相交或异面，所以错误。所以正确的是②，个数为1，故选B。点睛：空间的点、线、面位置关系的判断题型，可以通过现实中的动手操作来寻找是否存在反例情况来判断。比如①中，直线n可以在满足m⊥n的情况下上下移动，得到反例情况n⊆α，所以错误。4．已知是互不垂直的异面直线，平面分别经过直线，则下列关系中不可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾

故选C5．在空间中，下列命题正确的是（）．A.如果直线平面，直线直线，那么直线平面B.如果平面平面，那么平面内的任一直线平面C.如果平面与平面的交线为，平面内的直线直线，那么直线平面D.如果平面内的两条直线都平行于平面，那么平面平面【答案】B【解析】项错误，可能平行于平面，项错误，可能仅与平面相交，项错误，平面内两条相交直线都平行于，则有两平面平行，项正确，故选．6．对于平面α和异面直线m，n，下列命题中真命题是（）．A.存在平面α，使m⊥α，n⊥αB.存在平面α，使m⊂α，n⊂αC.存在平面α，满足m⊥α，n∥αD.存在平面α，满足m∥α，n∥α【答案】D【解析】A选项，如果存在平面α，使m⊥α，n⊥α，则m∥n，与m，n是异面直线矛盾，故A不成立；B选项，如果存在平面α，使m⊂α，则m，n共面，与m，n是异面直线矛盾，故B不成立；C选项，存在平面α，满足m⊥α，n∥α，则m⊥n，因为m，n是任意两条异面直线，不一定满足m⊥n，故C不成立；D选项，存在平面α，使m∥α，n∥α，故D成立．综上所述，故选D．【课堂巩固】1．若、是两个不重合的平面，①如果平面内有两条直线、都与平面平行，那么//；②如果平面内有无数条直线都与平面平行，那么//；③如果直线与平面和平面都平行，那么//；④如果平面内所有直线都与平面平行，那么//，下列命题正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B试题分析：若，则平面内所有平行于的直线都与平面，故①错误，②错误；若，且，则与平面，平面都平行，故，③错误；若平面内所有直线都与平面平行，则平面内存在两条相交直线都与平行，于是，故④正确．故选：B．2．平面α、β和直线m，给出条件，为使应选择下面四个选项中的条件（）A、①⑤B、①④C、②⑤D、③⑤【答案】B试题分析：∵m⊂α，α∥β，∴m∥β．故①④⇒m∥β．故选B3．以下命题为真命题的个数是（）①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；②若直线在平面外，则；③若直线，，则；④若直线，，则平行于平面内的无数条直线.A．1个B．2个C.3个D．4个【答案】A试题分析：①③直线有可能含于；②直线可能和平面相交；④是正确的，故选A.4．已知立方体，分别是棱中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有（）条A．0B．2C．4D．6【答案】D【解析】试题分析：连接，∵，且，∴四点共面．由，，，，可得平面与平面平行，所以平面内的每条直线都符合条件，选D．5．不同直线和不同平面，给出下列命题：①；②；③；④，写出所有假命题的序号为．【答案】①②③④试题分析:由题设①中的直线可能异面；②中的直线会在平面中；③中的两直线可以共面；④中的两直线可以相交和异面．故应填答案①②③④．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】对于A：根据线面平行的性质可知，对；对于B：则或或故B错；对于C：则或或异面故C错；对于D：或异面故D错故选A7．下列结论中错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则或【答案】C【解析】对于A：若，则根据线面垂直的性质得，A对；对于B：若，则根据线面平行的性质可得，B对；对于C：若，则或与异面，故C错；对于D：若，则或，D对；故选C8．已知平面平面，直线，直线，且与相交，则和的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.上述三种都有可能【答案】C【解析】若与平行，因为所以与与相交矛盾所以A错；若和相交，因为直线直线，平面平面，则和都和相交且在同一点处，这与矛盾，所以B错；因为两条直线的位置关系有平行，相交，异面这三种情况，故和只能异面故选C9．若、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则【答案】D【解析】对于A，由可得∥或与异面，故A不正确；对于B，由可得与的位置关系有相交、平行、在内三种，故B不正确；对于C，由可得与的位置关系不确定，故C不正确；对于D，由，设经过的平面与相交于直线，则∥，又因为，故，又因为，所以，故D正确.故选D.10．已知m,n是不重合的直线，α,β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；；④若其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B【课后练习】正确率：_____________1．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③④B．②④C．②③④D．②③【答案】A显然①②正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°,正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选A．2．已知直线l,m，平面，下列命题正确的是（）A．l//,l//B．l//,m//,l,m//C．l//m,l,m//D．l//,m//,l,m,lm=M//【答案】D试题分析：由题意得，对于A中，与可能相交，所以是错误的；对于B中，，如果，可能相交，故是错误的；对于C中，与可能相交，所以是错误的；对于D中，满足面面平行的判定定理，所以，是正确的，故选D．3．下列结论正确的是（）A．若直线平面，直线平面，则B．若直线平面，直线平面，则C．若两直线与平面所成的角相等，则D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则【答案】A试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A．4．以下命题（其中表示直线，表示平面）：①若，，则；②若，，则；③若，，则；其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A试题分析：若，，则或，故①不正确；若，，则或异面，故②不正确；若，，则或相交，故③不正确．故选A．5．E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，则AC与平面EFGH的位置关系是【答案】平行【解析】解：利用三角形的中位线平行于底边，我们可以得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论。6．若平面//平面，平面平面=直线m，平面平面=直线n，则m与n的位置关系是【答案】平行【解析】解：如果第三个平面都与两个平行平面相交，则交线平行，这是面面平行的性质定理。7．已知、是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若；②若，则③若；④若；其中正确的命题是________【答案】③④【解析】试题分析：①若，则可能平行或异面，②若，则可能或或，可见①②是错误的，③若正确，④若正确.8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．【答案】②④【解析】试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM与直线C1C异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行,（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面．9．在下列命题中，正确的是（）A.垂直于同一个平面的两个平面互相平行B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行C.平行于同一个平面的两条直线互相平行D.平行于同一条直线的两个平面互相平行【答案】B【解析】对于：垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平行，故不正确；对于：由线面垂直的性质定理可得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；：平行于同一个平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故不正确；：平行于同一条直线的两个平面互