高考数学总复习课时跟踪练（十二）函数模型及其应用文（含解析）新人教A版

课时跟踪练(十二)A组基础巩固1．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)．答案：B2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元 B．105元 C．106元 D．108元解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：D3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份只有2个，D错误．答案：D4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的()A.eq\f(7,6)倍 B．10eq\f(7,6)倍 C．10倍 D．lneq\f(7,6)倍解析：由η＝10lgeq\f(I,I0)得I＝I010eq\s\up14(\f(η,10))，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以eq\f(I1,I2)＝10，所以70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的10倍．答案：C5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8 B．9 C．10 D．11解析：设该死亡物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．答案：C6．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))所以y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.答案：10247．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．解析：令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2.所以当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a28．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，总利润y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))当0≤x≤400时，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25000；当x>400时，y＝60000－100x<20000.综上，当x＝300天时，总利润最大．答案：3009．(2019·邯郸调研)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x≤180，))求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,100x（90－3\r(5)\r(x)），20<x≤180.))当0<x≤20时，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.当20<x≤180时，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，则f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240000.由于120000<240000.故该服装厂所获得的最大效益是240000元．10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2).解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．B组素养提升11．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033 B．1053 C．1073 D．1093解析：M≈3361，N≈1080，eq\f(M,N)≈eq\f(3361,1080)，则lgeq\f(M,N)≈lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈93.所以eq\f(M,N)≈1093.答案：D12．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×n元，经历n次跌停后的价格为a×n×(1－10%)n＝a×n×n＝a××0.9)n＝n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．答案：B13．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________．解析：由已知条件，得192＝eb，又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，所以e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up14(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up14(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝24.答案：2414．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人(a∈N*)．(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元．则y＝eq\f(2000＋60x,800＋ax)(a∈N*，1≤x≤10)．假设该企业的人均年终奖会超过3万元，又a＝10，则eq\f(2000＋60x,800