决战2023年高考数学金榜押题预测卷1（江苏专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1决战2023年高考数学金榜押题预测卷1（江苏专用）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，解得或，即，所以.故选：B.2．已知向量、满足，则与的夹角是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以，，所以，，则，又因为，所以，，因为，因此，.故选：A.3．已知，其中为虚数单位，记为的共轭复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，，，所以，故选：B4．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．5．已知多项式，则（

）A．0 B．32 C．16 D．〖答案〗B〖解析〗设，则，令，则，的展开式中一次项为，常数项为1，的展开式中一次项为，常数项为16，所以，所以，故选：B．6．对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（

）A．，，是空间中三个不同的平面B．，，是空间中三条不同的直线C．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面D．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面〖答案〗D〖解析〗对于A：若，，是空间中三个不同的平面，且，，则平面和平面的位置不确定，故A错误；对于B：若，，是空间中三条不同的直线，且，，则直线和直线的位置不确定，故B错误；对于C：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则直线和平面的关系为直线平面或直线平面，故C错误；对于D：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则，故D正确，故选：D．7．已知，且，则的最大值为（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，由得，∴存在使得，∴∴∴，∴，由于，的取值范围达到余弦函数的半个周期，的值必能取到1，因此这里能够取到等号，所以的最大值为，故选：B8．设，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为，，构造函数，则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）9．如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位；套）与成交量（单位，套）作出如下判断，则判断正确的是（

）A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过平均成交量的只有1天C．10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率D．认购量的方差大于成交量的方差〖答案〗BD〖解析〗对于A，日成交量从小到大排列为：8，13，16，26，32，38，166，所以中位数是26，选项A错误；对于B，日成交量的平均数为，所以日成交量超过平均值的只有10月7日1天，选项B正确；对于C，10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，计算认购量增长率为，成交量增长率为，所以选项C错误；对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，所以日认购量的方差大于日成交量的方差，选项D正确．故选：BD．10．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（

）A．面积的最大值为2 B．的最小值为4C． D．若，则〖答案〗ACD〖解析〗A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以，所以，当，即，时，面积的最大值为2，A正确；B项：设，则，，所以，因为，所以．所以，即，所以当时，取得最小值，B错误；C项：当直线MB斜率存在时，则直线．令，可得，故．直线，令，可得，所以．故；当直线斜率不存在时，，，则，综上所述，为定值，C正确；D项：当时，，设，联立消去y可得，则，，则，D正确．故选：ACD11．已知函数，则下列结论正确的有（

）．A．为奇函数B．为偶函数C．，当时，D．，〖答案〗ABD〖解析〗对于A、B：因为的定义域为R，且，，所以为奇函数，为偶函数，故A，B正确；对于B：构建，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，故即在上恒成立，则在上单调递增，不妨令，则，即，整理得，且，则，C不正确；对于D：构建，则，当且仅当，即时等号成立，故在上单调递增，则，D正确．故选：ABD.12．佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（

）A． B．数列是等比数列C． D．白银比为〖答案〗ACD〖解析〗对于A：因为，，，，，，，，故A正确；对于B：因为，，，故B错误；对于C：设数列是公比为是等比数列，则，所以，所以，所以或；当时，，当时，，解得，故C正确；对于D：因为，因为，所以当时，，，故D正确，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________〖答案〗〖解析〗由题设成等差数列，所以，则，所以.故〖答案〗为：14．某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．〖答案〗〖解析〗先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，则总分法有种，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．故〖答案〗为：.15．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．〖答案〗〖解析〗当，函数在上单调递增，且时，，时，，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，当时，由于，所以，令，，其定义域为，则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由、，当时，画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），过点的直线介于、之间时满足条件，直线过点时，的值为2；该直线过点时，的值为，由图知的取值范围是．故〖答案〗为：.16．已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为___________.〖答案〗〖解析〗由条件知平面与平面平行，且点到平面和平面的距离之比为.设为的中心，与平面交于点，则平，平面，故.设为正三棱锥外接球的球心，则点在上.则，，设正三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，又，所以.设截面圆的半径为，则.解得，从而截面圆的周长为.故〖答案〗为：.解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列满足，，且．（1）计算，，猜测的通项公式，并加以证明．（2）求证：．（1）解：因为，，所以，．猜测．证明如下：①当时，显然成立．②假设当时成立，即，则当时，，即当时，结论成立．综上所述，．（2）证明：由（1）知，所以，故得证．18．记锐角的内角的对边分别为，已知．（1）求证：；（2）若，求的最大值．（1）证明：由题知，所以，所以,所以因为为锐角，即，所以，所以，所以.（2）解：由（1）知：，所以，因为，所以，因为由正弦定理得：，所以,所以，因为，所以，所以因为是锐角三角形，且，所以，所以，所以，当时，取最大值为，所以最大值为：.19．如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面；（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以．则．因为，所以．所以，所以．设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，所以．设二面角的大小为，则，所以．所以二面角的正弦值为..20．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，.所以试验一次结果为红球的概率为.（2）①因为，是对立事件，，所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为.②由①得，所以方案一中取到红球的概率为：，方案二中取到红球的概率为：，因为，所以方案二中取到红球的概率更大.21．平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点.设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.（1）求证：点在定直线上；（2）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标：（1）证明：由题意可得，抛物线的焦点为，即有，，解得，，可得椭圆的方程为；设,，可得，由的导数为，即有切线的斜率为，则切线的方程为，可化为，代入椭圆方程，可得，，可得.设，，，，可得，即有中点，，直线的方程为，可令，可得，即有点在定直线上；（2）解：直线的方程为，令，可得，则；，则，令，则，则当，即时，取得最大值，此时点的坐标为.22．已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，证明：.（1）解：由题意得，，令，则，在上单调递增，且，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，，得.（2）证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，，故，，设，则，故在上单调递增，，故，即，又在上单调递减，，.决战2023年高考数学金榜押题预测卷1（江苏专用）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，解得或，即，所以.故选：B.2．已知向量、满足，则与的夹角是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以，，所以，，则，又因为，所以，，因为，因此，.故选：A.3．已知，其中为虚数单位，记为的共轭复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，，，所以，故选：B4．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．5．已知多项式，则（

）A．0 B．32 C．16 D．〖答案〗B〖解析〗设，则，令，则，的展开式中一次项为，常数项为1，的展开式中一次项为，常数项为16，所以，所以，故选：B．6．对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（

）A．，，是空间中三个不同的平面B．，，是空间中三条不同的直线C．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面D．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面〖答案〗D〖解析〗对于A：若，，是空间中三个不同的平面，且，，则平面和平面的位置不确定，故A错误；对于B：若，，是空间中三条不同的直线，且，，则直线和直线的位置不确定，故B错误；对于C：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则直线和平面的关系为直线平面或直线平面，故C错误；对于D：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则，故D正确，故选：D．7．已知，且，则的最大值为（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，由得，∴存在使得，∴∴∴，∴，由于，的取值范围达到余弦函数的半个周期，的值必能取到1，因此这里能够取到等号，所以的最大值为，故选：B8．设，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为，，构造函数，则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）9．如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位；套）与成交量（单位，套）作出如下判断，则判断正确的是（

）A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过平均成交量的只有1天C．10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率D．认购量的方差大于成交量的方差〖答案〗BD〖解析〗对于A，日成交量从小到大排列为：8，13，16，26，32，38，166，所以中位数是26，选项A错误；对于B，日成交量的平均数为，所以日成交量超过平均值的只有10月7日1天，选项B正确；对于C，10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，计算认购量增长率为，成交量增长率为，所以选项C错误；对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，所以日认购量的方差大于日成交量的方差，选项D正确．故选：BD．10．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（

）A．面积的最大值为2 B．的最小值为4C． D．若，则〖答案〗ACD〖解析〗A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以，所以，当，即，时，面积的最大值为2，A正确；B项：设，则，，所以，因为，所以．所以，即，所以当时，取得最小值，B错误；C项：当直线MB斜率存在时，则直线．令，可得，故．直线，令，可得，所以．故；当直线斜率不存在时，，，则，综上所述，为定值，C正确；D项：当时，，设，联立消去y可得，则，，则，D正确．故选：ACD11．已知函数，则下列结论正确的有（

）．A．为奇函数B．为偶函数C．，当时，D．，〖答案〗ABD〖解析〗对于A、B：因为的定义域为R，且，，所以为奇函数，为偶函数，故A，B正确；对于B：构建，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，故即在上恒成立，则在上单调递增，不妨令，则，即，整理得，且，则，C不正确；对于D：构建，则，当且仅当，即时等号成立，故在上单调递增，则，D正确．故选：ABD.12．佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（

）A． B．数列是等比数列C． D．白银比为〖答案〗ACD〖解析〗对于A：因为，，，，，，，，故A正确；对于B：因为，，，故B错误；对于C：设数列是公比为是等比数列，则，所以，所以，所以或；当时，，当时，，解得，故C正确；对于D：因为，因为，所以当时，，，故D正确，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________〖答案〗〖解析〗由题设成等差数列，所以，则，所以.故〖答案〗为：14．某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．〖答案〗〖解析〗先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，则总分法有种，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．故〖答案〗为：.15．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．〖答案〗〖解析〗当，函数在上单调递增，且时，，时，，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，当时，由于，所以，令，，其定义域为，则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由、，当时，画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），过点的直线介于、之间时满足条件，直线过点时，的值为2；该直线过点时，的值为，由图知的取值范围是．故〖答案〗为：.16．已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为___________.〖答案〗〖解析〗由条件知平面与平面平行，且点到平面和平面的距离之比为.设为的中心，与平面交于点，则平，平面，故.设为正三棱锥外接球的球心，则点在上.则，，设正三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，又，所以.设截面圆的半径为，则.解得，从而截面圆的周长为.故〖答案〗为：.解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列满足，，且．（1）计算，，猜测的通项公式，并加以证明．（2）求证：．（1）解：因为，，所以，．猜测．证明如下：①当时，显然成立．②假设当时成立，即，则当时，，即当时，结论成立．综上所述，．（2）证明：由（1）知，所以，故得证．18．记锐角的内角的对边分别为，已知．（1）求证：；（2）若，求的最大值．（1）证明：由题知，所以，所以,所以因为为锐角，即，所以，所以，所以.（2）解：由（1）知：，所以，因为，所以，因为由正弦定理得：，所以,所以，因为，所以，所以因为是锐角三角形，且，所以，所以，所以，当时，取最大值为，所以最大值为：.19．如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面；（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以．则．因为，所以．所以，所以．设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，所以．设二面角的大小为，则，所以．所以二面角的正弦值为..20．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和