2023年高考第-次模拟考数学试卷（新高考Ⅰ卷B卷）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考第—次模拟考试卷（新高考Ⅰ卷B卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（

）A．B．C．D．2．已知，且，则（

）A．B．C．D．3．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（

）A．2640 B．1440 C．2160 D．15604．已知中，，则的充要条件是（

）A．是等腰三角形B．C．D．5．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（

）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知R，复数，，则（

）A．，B．若，时，C．若，，，则D．若，则10．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（

）A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则AQ的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为11．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（

）A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列12．已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（

）A．点不是圆的“3倍分点”B．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.15．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________.16．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足：，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求的面积（2）试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．19．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.（1）证明：为定值；（2）若，，求的取值范围.22．（12分）已知函数，，.（1）若直线与在处的切线垂直，求的值；（2）若函数存在两个极值点，，且，求证：——★参考答案★——一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．〖答案〗B〖解析〗∵，，∴.故选：B.2．〖答案〗A〖解析〗∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故选：A.3．〖答案〗D〖解析〗6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为.故选：D.4．〖答案〗D〖解析〗由于，故当是等腰三角形时，或或；当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，故选：D．5．〖答案〗B〖解析〗根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项不正确.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：B6．〖答案〗B〖解析〗设函数，则为偶函数，且当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，又，，，所以.故选：B.7．〖答案〗B〖解析〗如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，根据可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.8．〖答案〗A〖解析〗不妨设，由可得出，即，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，则，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，则，令，其中，则，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，所以，，可得，且当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．〖答案〗BC〖解析〗，同理，对于A，，同理，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由，则，即，因，则，故C正确；对于D，由，则，即，，故D错误.故选：BC10．〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以面，又因为，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD.11．〖答案〗AC〖解析〗由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差数列，则为定值，只有能满足要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，，所以，若，则，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.故选：AC12．〖答案〗BCD〖解析〗若满足，设，，则有，，，.如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得.又，，即，解得，又与坐标轴得交点为与，则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，则有，设，，，，则有，，如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，即，综上，，所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正确；设，，.如下图：若点是圆的“1倍分点”则有，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，，由上面的结论可知，若点是圆的“2倍分点”，解得，，若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量的模为．故〖答案〗为：.14．〖答案〗〖解析〗解：当抛物线开口向右时，如图所示：因为，所以，由抛物线的定义得，所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是，同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，综上：抛物线的方程为：，故〖答案〗为：.15〖答案〗〖解析〗如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以.故〖答案〗为：16．〖答案〗36〖解析〗因为所以因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以,当时，令，则必有两个根，不妨令，且,即必有一解，-有两解，且，故.故〖答案〗为：36.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）证明：将两侧同除，可得，，（4分）又因为，即数列是首项为1，,公差为1的等差数列．（6分）（2）解：由（1）可知，，即，则，（8分）.（10分）18．解：（1）由，可得，所以，即，又因为，所以，（3分）因为，所以，所以；（6分）（2）假设能成立，所以，由余弦定理，得，所以，所以，故，解得或舍，（9分）此时，不满足，所以假设不成立，故不成立；综上，不成立.（12分）19．（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件，根据题意可得，（4分）（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，根据题意可知，，所以，，，，.（8分）则随机变量的分布列为：0123，若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，所以，又因为，所以，所以，的取值范围是.（12分）20．（1）证明：在翻折过程中总有平面平面PAG，证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴，又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴是等边三角形，∵G是MN的中点，∴，（2分）∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴，∴，∵，平面PAG，平面PAG，∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG．（4分）（2）解：由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，，所以等腰梯形MNDB的面积，（6分）要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，∴当平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为，此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为，连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，在中，，，由勾股定理得：．∴．（8分）（3）解：假设符合题意的点Q存在．以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，因为平面PMN，故平面PMN的一个法向量为，设，∵，，故，∴，，平面QMN的一个法向量为，则，，即，令，所以，即，（10分）则平面QMN的一个法向量，设二面角的平面角为，所以，解得：，故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．（12分）21．（1）证明：由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理.（3分）联立，得.，从而（定值）（6分）（2）解：结合图象，不妨设，，，，由得代入，有，则，解得（9分），，设，则，则，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则，且，则，则.（12分）22．（1）解：∵，∴在处的切线斜率，∵直线与切线垂直，∴，∴.（4分）（2）证明：由题意得，，由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，，∵，，，∴，则，且，，（6分）方法一：要证，即证，则，同理可得：，则，，令，，（9分）则，，由，则，，则，则，则在上单调递增，∴，∴，即，∴成立.（12分）方法二：要证，即证：，又，又，所以，又所以只需证明：，，（9分）令，，求导，，，由，则，，则，则，则在上单调递增，∴所以，即.（12分）2023年高考第—次模拟考试卷（新高考Ⅰ卷B卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（

）A．B．C．D．2．已知，且，则（

）A．B．C．D．3．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（

）A．2640 B．1440 C．2160 D．15604．已知中，，则的充要条件是（

）A．是等腰三角形B．C．D．5．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（

）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知R，复数，，则（

）A．，B．若，时，C．若，，，则D．若，则10．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（

）A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则AQ的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为11．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（

）A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列12．已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（

）A．点不是圆的“3倍分点”B．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.15．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________.16．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足：，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求的面积（2）试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．19．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.（1）证明：为定值；（2）若，，求的取值范围.22．（12分）已知函数，，.（1）若直线与在处的切线垂直，求的值；（2）若函数存在两个极值点，，且，求证：——★参考答案★——一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．〖答案〗B〖解析〗∵，，∴.故选：B.2．〖答案〗A〖解析〗∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故选：A.3．〖答案〗D〖解析〗6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为.故选：D.4．〖答案〗D〖解析〗由于，故当是等腰三角形时，或或；当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，故选：D．5．〖答案〗B〖解析〗根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项不正确.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：B6．〖答案〗B〖解析〗设函数，则为偶函数，且当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，又，，，所以.故选：B.7．〖答案〗B〖解析〗如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，根据可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.8．〖答案〗A〖解析〗不妨设，由可得出，即，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，则，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，则，令，其中，则，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，所以，，可得，且当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．〖答案〗BC〖解析〗，同理，对于A，，同理，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由，则，即，因，则，故C正确；对于D，由，则，即，，故D错误.故选：BC10．〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以面，又因为，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD.11．〖答案〗AC〖解析〗由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差数列，则为定值，只有能满足要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，，所以，若，则，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.故选：AC12．〖答案〗BCD〖解析〗若满足，设，，则有，，，.如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得.又，，即，解得，又与坐标轴得交点为与，则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，则有，设，，，，则有，，如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，即，综上，，所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正确；设，，.如下图：若点是圆的“1倍分点”则有，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，，由上面的结论可知，若点是圆的“2倍分点”，解得，，若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量的模为．故〖答案〗为：.14．〖答案〗〖解析〗解：当抛物线开口向右时，如图所示：因为，所以，由抛物线的定义得，所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是，同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，综上：抛物线的方程为：，故〖答案〗为：.15〖答案〗〖解析〗如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以.故〖答案〗为：16．〖答案〗36〖解析〗因为所以因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以,当时，令，则必有两个根，不妨令，且,即必有一解，-有两解，且，故.故〖答案〗为：36.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）证明：将两侧同除，可得，，（4分）又因为，即数列是首项为1，,公差为1的等差数列．（6分）（2）解：由（1）可知，