2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷（附答案解析）

2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）

1.（3分）实数尸在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是（）

।T..................一

-3-2-10123

A.-3B.-1C.0D.A/2

2.（3分）积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养.某积木配件如图所示，则它

的左视图为（）

A.

C.

3.（3分）人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占

地面积约770000平方米.数据770000用科学记数法表示为（）

A.0.77X104B.7.7X105C.77X103D.7.7X106

4.（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要

从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰

好抽到一名男生和一名女生的概率是（)

A.AB.AC.AD.2

632,3

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.5〃-2"^3〃B.〃2・〃3=〃6

C.(6+1)2=房+1D.(-2〃)3=-8后

6.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。

的光线相交于点尸，点尸为焦点.若Nl=155°,N2=30°,则N3的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

7.（3分）樟卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾樟中,

樟槽的横截面ABC。是梯形，其中AO〃2C,AB=DC,燕尾角/B=a,外口宽A£）=a,

)

C.btma+aD.2btana+〃

8.（3分）明代《算法纂要》书中有一题:“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个

多十枚，四人八枚两个剩•问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏,

不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多10个杏.若4人一组,

每组8个杏，则多2个杏.有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童，则下列方程正

确的是（）

A.3X5x+10=4X8x+2B.-^-x5+10=-X8-2

34

c-卷x5+10=3x8+2D.1-X5-10=yX8-2

OTTJ3

9.（3分）如图，矩形48C。中，AB=4,BC=8,点E在3C边上，连接EA,EA=EC.将

线段EA绕点A逆的针旋转90°，点E的对应点为点尸，连接CR贝|cos/ACF的值为

）

A.2B.Mc.亚D,则亘

35213

10.（3分）己知二次函数/=以2-2水+1（aWO）经过点（-1,相）、（1,〃）和（3,p）,

若在相，”，〃这三个实数中，只有一个是正数，则a的取值范围为（）

--l<a<0D.-14<0

3

二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）

11.（3分）因式分解2a2-4a+2=

12.（3分）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男

生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,

11,9.则这组数据的中位数为.

13.（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均在小正方形的

顶点上，且点。在窟上，ZBCD=30°,则俞的长为.

的面积为2,则k的值为

15.（3分）如图，在正方形ABC。的对角线AC上取一点E,使得AE=2CE,连接BE,将

△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接。尸.若3c=4,则。尸的长

为.

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16.（5分）计算：（-1）-1-2COS45°W8-（K+2024）°-

17.（7分）先化简（i―?-2,再从不等式组-lWx<3中选择一个适当的整

x-2x-4x+4

数，代入求值.

18.（8分）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基

础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要

求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，

学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图

所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

调查结果条形统计图

调查结果扇形统计图

请你根据以上信息解决下列问题：

（1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；

（2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占%,所对应的圆心角度数

为;

（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？

19.（8分）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装

单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮

油套装的数量相同.

（1）求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？

（2）社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮

油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套

装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？

20.（8分）如图，在△ABC中，以为直径作交AC、BC于点、D、E,过点。作。G

于点G.交的延长线于点X.

（1）下列条件：

①。是AC边的中点；

②。是金的中点；

③BA=BC.

请从中选择一个能证明直线HG是。。的切线的条件，并写出证明过程；

（2）若直线"G是。。的切线，且H4=2,HD=4,求CG的长.

c

G

H

21.（9分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的

相关数据.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），科

研人员测量出小钢球离地面高度为（米）与其运动时间r（秒）的几组数据如表:

运动时间f（秒）0123456…

高地面高度（米）0356075807560・・・

（1）在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接;

科研人员发现，小钢球离地面高度/?（米）与其运动时间，（秒）成二次函数关系，请求

出场关于r的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.

（2）在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度灰米）

与小钢球运动时间r（秒）之间的函数关系式为Q=5r+30.

①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相

关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为秒；

②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线.当两枚小钢球处

于同一高度时，求此时无人机离地面的高度.

h/m八

100--------------------------------

80--------------------------------

60

401

20_____________________

01234567t/s

22.（10分）如图1,菱形ABCD中，ZB=a,BC=2,E是边上一动点（不与点8,C

重合），连接。E,点C关于直线DE的对称点为C',连结AC'并延长交直线。E于点

P,尸是AC的中点，连接。C’，DF.

（1）填空：。C'=，/APD=（用含a的代数式表示）；

（2）如图2,当a=90°,题干中其余条件均不变，连接求证：BP=®AF.

（3）在（2）的条件下，连接AC.

①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC'的面积为—

②在动点E的整个运动过程中，△ACC'面积的最大值为一

ADAD

BC

图1图2备用图

2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）

1.（3分）实数尸在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数尸小的是（）

।£..................一

-3-2-10123

A.-3B.-1C.0D.-v/2

【答案】A

【分析】观察数轴判断实数P的大小，然后根据正负数的性质判断-3,-2,-1,0和

加的大小关系，从而得到答案即可.

【解答】解：观察数轴可知：-2c-1,

:正数〉负数>0,

/.-3<-2<-1<0<^2>

•••这几个实数比P小的数是-3,

故选：A.

【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握利用数轴比较有理数的

大小.

2.（3分）积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养.某积木配件如图所示，则它

的左视图为（）

主视方向

A.

D.

【答案】C

【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可.

【解答】解：观察图形，从左面看到的图形.

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是解答的关键.

3.（3分）人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占

地面积约770000平方米.数据770000用科学记数法表示为（）

A.0.77X104B.7.7X105C.77X103D.7.7X106

【答案】B

【分析】将一个数表示成aX10〃的形式，其中〃为整数，这种记数方法叫做

科学记数法，据此即可求得答案.

【解答】解：770000=7.7X1（）5,

故选：B.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要

从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰

好抽到一名男生和一名女生的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

6323

【答案】D

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一

名女生的结果数，然后根据概率公式计算.

【解答】解：画树状图为：

台

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8,

所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=至=2.

123

故选：D.

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出〃,

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或8的概率.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.5a-2a—3a2B.cr'a'—c^

C.（6+1）2=lr+\D.（-2a）3=-8a3

【答案】D

【分析】利用合并同类项法则，同底数塞乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则逐项

判断即可.

【解答】解：5。-2a=3°,则A不符合题意；

则B不符合题意；

（fe+l）2=b2+2b+l,则C不符合题意；

（-2a）3=-8a3,贝l]£）符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

6.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。

的光线相交于点P，点厂为焦点.若Nl=155°,N2=30°,则N3的度数为（）

【答案】C

【分析】由平行线的性质求出/OEB=25°,由对顶角的性质得到/POP=/2=30°,

由三角形外角的性质即可求出N3的度数.

【解答】'JAB//OF,

.•.Z1+ZOFB=180°,

VZ1=155O,

：.ZOFB=25°,

:/尸。尸=/2=30°,

AZ3=ZPOF+ZOFB=3Q°+25°=55°.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线

的性质求出的度数，由对顶角的性质得到NPOF的度数，由三角形外角的性质即

可解决问题.

7.（3分）樟卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾樟中,

桦槽的横截面ABC。是梯形，其中AO〃BC,AB=DC,燕尾角/B=a,外口宽AD=a,

樟槽深度是b,则它的里口宽2。为（）

C./?tana+〃D.2Z7tana+〃

【答案】B

【分析】过点A,。分别作BC的垂线段,垂足分别为E、F,在RtAAEB中,BE=——学——

tanZABC

在RtzM）FC,CF=——史——，推出四边形AEFD是长方形，SlfuBC=BE+EF+FC,

tanZDCB

进而作答.

【解答】解：过点4。分别作的垂线段，垂足分别为E、F,如图,

在RtAA£B中,

BE==_—,

tan/ABCtanCI.

在RtZXDFC,CF=---电——=—L_

tan/DCBtan。

'：AE//DF,AE=DF,

四边形AE乃D是长方形,

:・EF=AD=a,

2b

：.BC=BE+EF+FC=——+a+——=--+a,

tanCLtanatana

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出正确的辅助线.

8.（3分）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个

多十枚，四人八枚两个剩•问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，

不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多10个杏.若4人一组,

每组8个杏，则多2个杏.有多少个牧童，多少个杏？设共有尤个牧童，则下列方程正

确的是（）

A.3X5J;+10=4X8x+2B.—X5+10=—X8-2

34

c-^-x5+10=^-x8+2D-卷X5-10吟x8-2

J玲OT：

【答案】c

【分析】根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏.若4人一组，每组8个杏，则多

2个杏，可以列出方程工义5+10=三*8+2,本题得以解决.

34

【解答】解：由题意可得，

三X5+10=三*8+2,

34

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出

相应的一元一次方程.

9.(3分)如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,点E在8C边上，连接EA=EC.将

线段及1绕点A逆的针旋转90°,点E的对应点为点P,连接CH则cos/ACF的值为

()

F

A.2B.MC.亚D,则亘

35213

【答案】D

【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再过点F作BC的垂线，利用勾股定理可求出

FC的长，最后过E,尸两点作AC的垂线，求出垂线段的长即可解决问题.

【解答】解：在RtZ\ABE中，

AB2+BE2=AE2,

因为AB=4,8C=8,

则42+(8-AE)2=A£2,

解得AE=5,

所以BE=8-5=3.

过点尸作BC的垂线，垂足为N,与交于点M,

因为由AE绕点A逆时针旋转90°得到，

所以AE=AE,NfAE=90°,

所以N2AE+/EAM=/EAM+/R1M=9O°,

所以N8AE=NMAF.

在△朋M和△EAB中，

，ZBAE=ZMAF

<ZB=ZAMF，

AE=AF

所以△物Mg△EAB(44S),

所以AM=A8=4,FM=BE=3.

则EN=3+4=7,NC=8-4=4.

在R3NC中，

^=V72+42=V65-

分别过点E,尸作AC的垂线，垂足为Q,P,

^VXZFAP+ZQAE^ZFAP+ZAFP^9Q°,

所以NQAE=ZAFP.

在△R4P和△AE0中，

,ZFPA=ZAQE

"NQAE=/AFP，

AF=AE

所以△砌P名△AEQ(AAS),

所以PF=AQ.

因为EA=EC,EQLAC,

所以AQ=/AC=2泥，

所以PF=2/5.

在RtZXFPC中，

PC=d（倔）2-（2遥）2=3V5，

33a

所以cosZACF=^-=2^=^.

FCV6513

故选：D.

【点评】本题考查旋转的性质及矩形的性质，能利用图形的旋转得出全等三角形及过点F

作AC的垂线构造直角三角形是解题的关键.

10.（3分）已知二次函数y=a/-2办+1Q¥0）经过点（-1,机）、（1,〃）和（3,p）,

若在的w,p这三个实数中，只有一个是正数，则。的取值范围为（）

A-a4AB.a<-1C.-A<tz<0D.-』<0

o3

【答案】A

【分析】由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题.

【解答】解：因为抛物线的对称轴为直线x=-二四=1,

2a

又因为1-（-1）=3-1,

所以点（-1,m）和点（3,p）关于抛物线的对称轴对称，

则m=p.

又因为3%「这三个实数中，只有一个是正数，

所以相和p都是非正数，〃是正数，

则卜+2a+*0,

解得。之二.

%3

故选：A.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，熟知二次函数

的图象和性质是解题的关键.

二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）

11.（3分）因式分解2J-4a+2=2（4-1）2.

【答案】见试题解答内容

【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：2/-4。+2

=2（a2-2a+l）

—2（a-1）2,

故答案为：2（a-1）2.

【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的

关键.

12.（3分）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男

生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,

11,9.则这组数据的中位数为10.5.

【答案】10.5.

【分析】根据中位数的定义即可得出答案.

【解答】解：把这组数据从小到大排列为：6,7,9,10,10,11,11,11,11,14,

则中位数是独立L=10.5；

2

故答案为：10.5.

【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，

最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念

掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中

位数.

13.（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均在小正方形的

顶点上，且点。在第上，ZBC£）=30°,则俞的长为12L.

6

【分析】如图，圆心为。，连接04,OB,OC,OD.利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，圆心为。，连接。4,OB,OC,OD.

：.ZBOD=60°,

ZAOD=90°-60°=30°,

则俞的长为3°兀X奉＞=近兀

_1806

故答案为：返2L.

6

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心。的位置，属于中考常考题型.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A

在反比例函数y=K（尤＞0）的图象上，延长A8交y轴于点。，若OC=4O8,ABOD

的面积为2,则k的值为5

【分析】过点A作于E,根据等腰三角形的性质得3E=CE=2BC,设。B=a,

2

。。=6,根据的面积为2得"=性，再根据OC=4OB=4a得BC=3a,

332

OE=_|a，证△B。。和△曲相似AE=|＞b，则点A（＞|a,方），将点A代入反比例

函数＞=区之中即可求出人的值.

X

【解答】解：过点A作于E如下图所示:

y

。7ECX

D\

:等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，

：.BE=CE=^BC,

2

设OB=a,OD=b,

「△B。。的面积为2,

3

.•102・0D=Z,

23

.•.0小。。=生

3

即ab=匡,

3

'：OC=4OB=4a,

:・BC=OC-0B=3a,

22a

0E=a-k1-a--^-a>

,：ZDOB=90°,AELBC,

J.OD//AE,

:.ABODsABEA,

：.OB；BE=OD：AE,

即a：4a=b：AE>

2

.,.AE——u,

2

.,.点A的坐标为A得a,—b）>

..•点A在反比例函数>=区（x>0）的图象上,

x

.,5315

••k^-a-ybK=-^-abK>

又；ab=4/3,

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的性质，相似三角形的判

定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，熟练掌握等腰三角形

的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.

15.（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使得AE=2CE,连接BE,将

△BCE沿2E翻折得到△2FE,连接。F.若BC=4,则。尸的长为生区.

5

【答案］生叵.

5

【分析】延长BE交C。于点G,连接EG、CF,易得△CEGs^AEB,根据相似三角形

的性质可得CG=*"杷,CD进而得到CG=OG,由折叠可知CG=FG,于

是/BFC=/BCF,CG=DG=FG,根据直角三角形斜边上的中线逆定理可得

90°,由同角的余角相等可得/8CF=/GD凡进而得到尸C=/GZ）F=/

GFD,则可证△BCrs^XGOE,由相似三角形的性质得到CF=2OF,再根据勾股定理即

可求解.

【解答】解：如图，延长BE交8于点G,连接FG、CF,

•..四边形ABC。为正方形,

J.AB//CD,

:.ACEGsAAEB,

•••C--G=---C-E-_---1，

ABAE2

即点6为CD的中点，

CG=DG,

根据折叠的性质可得，BC=BF,CG=FG,

：.ZBFC=ZBCF,CG=DG=FG,

：.FG=L(^,NGFD=/GDF,

AZCF£>=90°,

VZFCG+ZBCF^90°,

ZFCG+ZG£>F=90°,

ZBCF=ZBFC=ZGDF=ZGFD,

：.△BCFs^GDF,

.CF二BC二2

,•瓦而丁

CF=2DF,

在RtZXCDF中，DF2+CF2=CD2,

：.DF2+(2DF)2=42,

解得：£)£=±Z1.

5

故答案为：

5

【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三

角形斜边上的中线、勾股定理，正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键.

三、解答题(本题共7小题，共55分)

16.(5分)计算：g)-l-2cos45。W8-(n+2024)°-

【答案】1+V2.

【分析】可知cos45。=迎，按照实数的运算顺序计算即可.

2

【解答】解：原式=2-2X耳~+2>/^T

=1+V2.

【点评】本题考查的是实数的运算，负整数指数幕和特殊角的三角函数值，熟练掌握上

述知识点是解题的关键.

17.（7分）先化简2X-2再从不等式组-iWx<3中选择一个适当的整

'工支-2'.2

数，代入求值.

【答案】二2,当x=o时，原式=-1,当尤=7时，原式=-1-2=-3.

【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定无的

值，分别代入计算即可.

【解答】解：原式=（4+，）.一（炉）、

x-2x-22(x-1)

=xT.(x-2)2

7^22(x-l)

=x-2

~2~)

由题意得：x-l#O,尤-2W0,

：.x^l和2,

在-lWx<3中，尤的整数解为-1,0,1,2,

当x=0时，原式=-L

当x=-i时，原式=-b2=-3.

【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，熟记分式的混合运算法则

是解题的关键.

18.（8分）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基

础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要

求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，

学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图

所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

调查结果条形统计图

调查结果扇形统计图

A人数

人工智能

航/\

人机30%

无人机创客人工智能航模课程

请你根据以上信息解决下列问题：

（1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；

（2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占40%,所对应的圆心角度数为

144°；

（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？

【答案】（1）条形统计图见解析过程；

（2）40,144°；

（3）估计选择“航模”课程的学生有100名.

【分析】（1）根据参加问卷调查的人数为50名即可解决问题.

（2）根据（1）中求得的结果即可解决问题.

（3）求出样本中选择“航模”课程的百分比即可解决问题.

【解答】解：（1）由题知，

因为参加问卷调查的学生人数为50名，

所以50-（15+10+5）=20（名），

即参加人工智能的学生人数为20名.

条形统计图，如图所示，

调查结果条形统计图

（2）因为20+50=40%,

所以选择“创客”课程的学生占40%.

因为40%X360°=144°,

所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为144°.

故答案为：40,144°.

⑶Mx1000=100（名）

答：估计选择“航模”课程的学生有100名.

【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形

统计图的特征是解题的关键.

19.（8分）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装

单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮

油套装的数量相同.

（1）求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？

（2）社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮

油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套

装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？

【答案】（1）甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；

（2）购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元.

【分析】（1）设甲种粮油套装的单价为尤元，则乙种粮油套装的单价为（x-30）元，根

据“用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同”列出方程，

解方程即可；

（2）设购买甲种粮油套装机件，购买乙种粮油套装（40-%）件，购买总花费•元，先

根据购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，求出机的取值范围，再根据总费用

=甲、乙两种粮油套装费用之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值.

【解答】解：（1）设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为（x-30）元,

根据题直：1200=900,

xx-30

解得：x=120,

经检验，x=120是原方程的根，

Ax-30=90,

答：甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；

（2）设购买甲种粮油套装机件，购买乙种粮油套装（40-加）件，购买总花费w元，

由题意得：40-mW3m,

解得：mN10,

W=120X0.8/T?+90X0.8（40-机）=24m+2880,

V24>0,

.♦.卬随m的减小而减小.

当机=10时，w取得最小值3120,

40-机=30,

答：购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元.

【点评】本题考查了一次函数应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题

的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一次

函数解析式.

20.（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作OO交AC、8c于点。、E,过点。作。G

于点G.交54的延长线于点H.

（1）下列条件：

①。是AC边的中点；

②。是窟的中点；

③BA=BC.

请从中选择一个能证明直线HG是。。的切线的条件，并写出证明过程；

（2）若直线"G是OO的切线，且"A=2,HD=4,求CG的长.

【答案】（1）详解见解答；

（2）CG=2.

5

【分析】（1）连接根据三角形中位线定理得到根据平行线的性质得到

OOLHG,根据切线的判定定理证明结论；

（2）设。4=OD=r,则。8=什2,在中由勾股定理得求出r,再利用相似三

角形的性质求解即可.

【解答】解:（1）选择条件为：①。是AC边的中点；

证明：连接QD,

•.•。是AC边的中点，

J.AD^DC,

'：AO=OB,

.♦.O。是△ABC的中位线，

：.OD//BC,OD=^BC,

2

'：DG±BC,

：.OD±HG,

是。。的半径，

，直线HG是。。的切线；

(2)解：设。4=。。=r，则。"=什2,

在RtZ\"。。中，ZODH=90°,由勾股定理得。。2+。序=。),

.-.A42=(r+2)2,

解得：r=3,

：.OA=OD=3,OH=5,

：.BH=S,

\'OD^OA,

：.ZODA=ZOAD,

'：OD//BC,

：.ZODA=ZC=ZOAD,

：.BC^BA^6,

,JOD//BC,

•OD=HO

"BG函’

.J_=_5

"BG京’

.•.8G=N,

5

；.CG=6-21=2

55

c

【点评】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定,

等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造中位线和相似三角形是解题的关键.

21.（9分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的

相关数据.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），科

研人员测量出小钢球离地面高度（米）与其运动时间r（秒）的几组数据如表：

运动时间/（秒）0123456…

高地面高度/?（米）0356075807560…

（1）在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接;

科研人员发现，小钢球离地面高度/?（米）与其运动时间f（秒）成二次函数关系，请求

出/I关于f的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.

（2）在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度灰米）

与小钢球运动时间r（秒）之间的函数关系式为勿=5r+30.

①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相

关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为5秒;

②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线.当两枚小钢球处

于同一高度时，求此时无人机离地面的高度.

h/m八

100--------------------------------

80--------------------------------

60

40

20_____________________

01234567"S

【答案】（1）函数图象略，h=-5r+40r；

(2)①5；

②57.5米.

【分析】(1)先画函数图象，故设h=a?+b,将(1,35)、(2,60)即可；

(2)①由题意得：5f+30W-5尸+40/,解得1W/W6,故所求时长为6-1=5秒；

②由弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h=-5?+40/=-5(r-4)2+80,得第二枚

小钢球的函数表达式为：-5(「4-3)2+80,当两枚小钢球处于同一高度时，即-5

G-4)2+80=-5(Z-4-3)2+80,解得+工，将+』代入历=5什30中，即可

122

得加=57.5米.

【解答】解：(1)

由函数图象可知,设h—ar+b,

将(1,35)、(2,60)分别代入h—a^+b中,

：.h关于t的函数关系式为：h=-5r+40/；

(2)①由题意得：5/+30W-5p+40t,

解得1W/W6,

故所求时长为6-1=5秒,

故答案为：5.

②：弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线丸=-5理+40/=-5G-4)2+80,

,第二枚小钢球的函数表达式为:h=-5(r-4-3)2+80,

当两枚小钢球处于同一高度时，即-5(f-4)2+80=-5G-4-3)2+80,

解得t』，

2

将+=-A^i代入/?i=5r+30中，得历=57.5米.

2

故此时无人机离地面的高度为57.5米.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是正确求函数表达式.

22.(10分)如图1,菱形ABC。中，NB=oc,BC=2,E是边上一动点(不与点8,C

重合），连接DE,点C关于直线。E的对称点为C',连结AC'并延长交直线。E于点

P,尸是AC的中点，连接QC',DF.

（1）填空：DC'=2,/APD=90°-巴（用含a的代数式表示）；

2

（2）如图2,当a=90°,题干中其余条件均不变，连接8P.求证：BP=-^AF.

（3）在（2）的条件下，连接AC.

①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC'的面积为A.

5

②在动点E的整个运动过程中，△ACC'面积的最大值为2折-2.

图1备用图

【答案】⑴2,30°；

（2）结论：BP+DP=AP.证明见解析;

（3）①生②2a-2.

5

【分析】（1）由菱形的性质得出A