高考冲刺《数学》考前中档保分专题冲刺练习（6+2+2+3）（21-22）教师版

第页高考考前最后冲刺系列中档保分（6+2+2+3）（本练习主要以模考题中的基础中档题为主，旨在为学生高考考前巩固基础，查缺补漏）（二十一）一、单选题1、（2024·浙江绍兴·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由离心率得到的关系式，代入的值，即可求得短轴长.【详解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短轴长为故选：B.2、（2024·贵州毕节·三模）随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.16【答案】D【分析】根据正态分布对称性求解即可.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，所以.故选：D.3、（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解．【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．故选：D.4、（2024·辽宁抚顺·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．为偶函数 D．的最小值为【答案】C【分析】由积化和差公式化简，根据周期公式判断A，根据正弦函数的最值判断D，根据正弦型函数的单调性判断B，根据导数判断C.【详解】因为，此时最小正周期为，其最小值为，所以A错误，D错误；因为，所以，可知在上不单调，B错误；又，所以为偶函数，C正确．故选：C5、（2024·安徽·模拟预测）学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种【答案】B【分析】把5位老师按和分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解.【详解】把5位老师按和分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为，所以不同的安排方法有（种）.故选：B6、（2024·河南·模拟预测）已知点是圆C上的任意一点，则的最大值为（

）A．25 B．24 C．23 D．22【答案】A【分析】设代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.【详解】点是圆C上的任意一点，设则，当且仅当时，等号成立.的最大值为25.故选：A二、多选题7、（2024·辽宁抚顺·三模）年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数（）,如下图所示:下列说法正确的是（

）A．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的第百分位数为B．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的极差为C．从年月到年月制造业采购经理指数（）呈下降趋势D．大于表示经济处于扩张活跃的状态;小于表示经济处于低迷萎缩的状态,则年月到年月,经济处于扩张活跃的状态【答案】ABD【分析】根据折线图中的数据,结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可.【详解】由图知,从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）从小到大的顺序为,因为,所以第百分位数为第个数,即为,故A正确;从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的最大值为,最小值为,所以极差为,故B正确;由图易知制造业采购经理指数（）有升有降,故C错误;由图知年月到年月PMI均大于,所以经济处于扩张活跃的状态,故D正确.故选:ABD.8、（2024·安徽·模拟预测）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期【答案】BC【分析】对A，根据奇偶函数得定义判断；对B，计算可判断；对C，计算可判断；对D，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，，对于A，，，∴函数是奇函数，故A错误；对于B，，∴的图象关于点对称，故B正确；对于C，，∴的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，∴不是的周期，故D错误.故选：BC.三、填空题9、（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，，解得，∴实数的取值范围是.故答案为：.10、（2024·安徽·模拟预测）若关于的方程有解，则实数m的最大值为.【答案】/【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到，然后利用导数求得函数的值域即可得到结果.【详解】由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.所以的最大值为.故答案为：四、解答题11、（2024·安徽·模拟预测）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；(2)若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令，分离参数可得，由题意可得方程在上有2个根，构造函数，，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【详解】（1）由题意得，，故，解得，而，故所求切线方程为，即；（2）令，则，故，因为函数在上有2个极值点，所以方程在上有2个根，令，，则，令，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，，当，，故实数的取值范围为.12、（2024·安徽·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）先得到，，得到线面垂直，故，再得到，由三线合一得到，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值.【详解】（1）因为，故，又，所以，故侧面为矩形，故，又，，，所以平面，而平面，故，又，，故为等边三角形，所以，因为是线段的中点，故，且，平面，故平面，因为平面，故.（2）由（1）知，平面，又平面，故平面平面，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，过点C在平面内作垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，设，则，即，解得，故，易得平面的一个法向量为，设平面的法向量，则，令，则.记平面与平面夹角为，故，即平面与平面夹角的余弦值为.13、（2024·安徽·模拟预测）某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.(1)若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：(2)若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.【答案】(1)分布列见解析，；(2).【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【详解】（1）小明同学答每个问题，回答正确的概率，的所有可能取值为，显然，则，，，，则的分布列为0123数学期望.（2）记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，，其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，则，，，，所以小明同学获胜的概率为，解得，所以的最小值为.（二十二）一、单选题1、（2024·浙江绍兴·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解.【详解】由题意设等差数列的首项、公差分别为，因为，所以，从而.故选：D.2、（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，将点坐标代入抛物线方程，求得，求出，即可求得的面积.【详解】

将代入C的方程，得，故，所以，则的面积.故选：A.3、（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：为函数的对称轴，则，则，对于选项A：令，解得，不合题意；对于选项B：令，解得，符合题意；对于选项C：令，解得，不合题意；对于选项D：令，解得，不合题意；故选：B.4、（2024·全国·三模）若，则的值是（

）A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能【答案】A【分析】，则，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.【详解】令，则，由得，所以.故选：A.5、（2024·浙江绍兴·二模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得，进一步由有，结合二倍角公式、商数关系以及诱导公式即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，从而，，所以.故选：B.6、（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则下列结论错误的是（

）A． B．为偶函数C．是周期函数 D．【答案】C【分析】对于A，令，结合即可判断；对于B，令结合偶函数的性质即可判断；对于C，令即可判断；对于D，得出递推关系，由此即可验算.【详解】令，得，因为，所以，A正确;令，则，所以，则为偶函数，B正确；令，得，即，所以不是周期函数，C错误；当x取正整数n时，，则，D正确.故选：C.二、多选题7、（2024·安徽·模拟预测）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（

）A．平均数为9.6 B．众数为10C．第80百分位数为9.8 D．方差为【答案】ABD【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.【详解】对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.故选：ABD.8、（2024·贵州黔南·二模）已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．若，则的外接圆的半径为2D．若，则的面积的取值范围为【答案】ABD【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解.【详解】对A：由题意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正确；对B：则，，解得，故B正确；对C：由正弦定理可得，即，故C错误；对D：若，则，由正弦定理可得，即，即，由，则，故，故D正确.故选：ABD.三、填空题9、（2024·贵州毕节·三模）已知函数的周期为，则函数图象的一条对称轴方程为．【答案】（答案不唯一，符合均为正确答案）【分析】求出，求出即可求出对称轴方程.【详解】因为函数的周期为，所以，所以，所以，令，所以，所以.故答案为：.10、（2024·贵州黔南·二模）已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，为直角，且，则四面体的体积为，其外接球的表面积为.【答案】【分析】根据题意求，结合锥体的体积公式求四面体的体积；取的中点，分析可知四面体的外接球的球心即为点，进而可求外接球的表面积.【详解】因为，且，可得，，所以四面体的体积为；取的中点，因为四面体的四个面都为直角三角形，则，可知四面体的外接球的球心即为点，半径，所以其外接球的表面积为.故答案为：；.四、解答题11、（2024·贵州毕节·三模）2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表：学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计(1)完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；(2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中．【答案】(1)列联表见解析，(2)分布列见解析，【分析】（1）根据题意即可完成列联表，在由题意可得，即可求出；（2）由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解.【详解】（1）列联表如下：学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计，因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以，由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为；（2）由（1）可知，所以不关注的人数为，用频率估计概率，所以不关注的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，所以X的分布列为X0123P因为，所以.12、（2024·贵州毕节·三模）（1）证明：当时，；（2）已知函数在上有两个极值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）令，利用导数求出最大值，令，利用导数求出最小值即可证明；（2）由题意知原命题等价于导数在上有两个不等实根，据此即可求解.【详解】（1）证明：令，在上恒成立，在上单调递