高考冲刺《数学》考前中档保分专题冲刺练习（6+2+2+3）（7-8）教师版

第页高考考前最后冲刺系列中档保分（6+2+2+3）（本练习主要以模考题中的基础中档题为主，旨在为学生高考考前巩固基础，查缺补漏）（七）一、单选题1、（2024·山东枣庄·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A．1 B．2 C．8 D．16【答案】A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得，令，即的渐近线方程为，所以.故选：A2、（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当时，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A3、（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量，且，则，可得，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4、（2024·河南·二模）单调递增数列满足：.在的条件下，的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】缩小样本空间，从这6个数字中任取3个共有种不同的结果，列出满足的共有6种结果，求得相应概率.【详解】缩小样本空间，当时，从这6个数字中任取3个，并按照从小到大的顺序对应，共有种不同的结果.因为，所以构成等差数列，满足条件有，，共计6种，所以概率为，故选：B.5、（2024·江西宜春·模拟预测）从由数字0，1，2，3，4组成的五位数中任取一个，则取到数字2和3相邻的五位数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用排列组合知识求出五位数的个数，再求出2和3相邻的五位数的个数，结合古典概率可得答案.【详解】由数字0，1，2，3，4组成的五位数共有个，其中数字2和3相邻的五位数有个．所以取到数字2和3相邻的五位数的概率为．故选：C．6、（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.【详解】显然首先，，令，则，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有，即对于任意的恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为.故选：B.二、多选题7、（2024·山东枣庄·模拟预测）已知两个变量y与x对应关系如下表：x12345y5m8910.5若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（

）A．y与x正相关 B．C．样本数据y的第60百分位数为8 D．各组数据的残差和为0【答案】AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：，所以y与x正相关，即A正确；由表格数据及回归方程易知，即B错误；易知，所以样本数据y的第60百分位数为，即C错误；由回归直线方程知时对应的预测值分别为，对应残差分别为，显然残差之和为0，即D正确.故选：AD8、（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（

）A．的图象关于对称 B．在上单调递增C．的极小值点为 D．有两个零点【答案】AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；又，当时，，即在上单调递减，故B错误；当时，，即在上单调递增，根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；又，且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，故无零点，故D错误．故选：AC．三、填空题9、（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为．【答案】4【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解.【详解】，，当，时，；当，时，；当，时，.所以，所以集合中所有元素之和为.故答案为：410、（2024·河南·三模）在中，，的最大值为．若函数在区间上单调递增，则的最大值为．【答案】2【分析】由已知在中，，由利用不等式可得，然后利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可.【详解】因为，故为锐角，且，又，所以，所以的最大值为，即，当且仅当时，即，等号成立，函数，因为，所以，要使在区间上单调递增，则，所以，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题11、（2024·河南·三模）如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，.(1)证明：平面平面；(2)若四棱台的体积为．求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用余弦定理和勾股定理计算得，再利用线面垂直的性质定理及判定定理得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明.（2）根据四棱台的体积公式求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】（1）因为底面为平行四边形，，所以，因为在中，，由余弦定理可得，所以.所以，所以为直角三角形，即.又因为平面，平面，所以，因为平面，平面，且，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为四棱台的体积为，平面，而，所以，所以，解得.如图，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，而平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.12、（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差；(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计.记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数.另：；若，则，.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平均数为，利用方差的计算公式可得方差，利用所给数据，估算得标准差.（2）由题目提示可得，，利用正态分布的性质可得，又因为，所以，从而估算得到最终结果.【详解】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为.故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差.（2）由（1）知可用来估计，可用来估计.故..，故.又，所以.故这20000名考生中成绩在的人数服从二项分布，约为.13、（2024·河南·三模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有两个极值点，记过两点的直线的斜率为，是否存在实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程即可.（2）假设存在，使得，依题意有是方程的两个不等实数根，利用韦达定理得到且，不妨令，则，表示出，得到，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再说明理由即可.【详解】（1）由题意得，函数的导函数．当时，，即切点为，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）不存在这样的．假设存在，使得．则是方程的两个不等实数根，即且，不妨令，则，因为，所以由得，．构造函数，而恒成立，所以在上单调递增，即．所以当时，恒成立即无解．所以，不存在的值，使得．（八）一、单选题1、（2024·河南·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】由抛物线焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求解.【详解】设，由题设有，由抛物线的焦半径公式有：而.故选：B.2、（2024·江西宜春·模拟预测）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示：色差x21232527色度ym181920根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】首先由表示出样本中心点，再代入经验回归方程，计算可得.【详解】由题可得，，因为经验回归直线必过样本中心点，所以，解得.故选：B．3、（2024·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.【详解】.故选：D.4、（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由全概率公式即可求解.【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.故选：C.5、（2024·辽宁沈阳·二模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可.【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则，则故选：C6、（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数，若同时满足和，则为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再计算其模即可.【详解】设，则，，由和，所以且，即且，解得或，所以、（或、），则（或），所以.故选：C二、多选题7、（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知的部分图象如图所示，则（

）A．B．在区间单调递减C．在区间的值域为D．在区间有3个极值点【答案】AD【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断A，举反例判断BC，利用整体代换法判断D即可.【详解】由图像得，，解得，故，故此时有，将代入函数解析式，得，故，解得，而，故，此时，显然成立，故A正确，易知，，而，，又，故在区间上并非单调递减，故B错误，易知，，故在区间的值域不可能为，故C错误，当时，，，当时，取得极值，可得在区间有3个极值点，故D正确.故选：AD8、（2024·辽宁沈阳·二模）已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（

）A．平面平面B．侧面内存在无穷多个点，使得平面C．在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为D．动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是【答案】BD【分析】过作直线，则为平面与平面的交线，取中点中点F，连接，求得可判断A；取中点中点H，连接，可得，，可判断B；由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，可得，判断C；作垂直于，连接，则为二面角的平面角，求得二面角范围是，判断D.【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A：过S作直线，因为，所以，所以为平面与平面的交线，取中点中点F，连接，由正四棱锥，可得，所以，所以为二面角的平面角，连接，在中，所以平面与平面不垂直，故A错误；对于B：取中点中点H，连接，因为，又平面

，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以当时，平面，这样的点P有无穷多，故B正确；对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故C错误；对于D：作垂直于，连接，因为平面，又平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为则为二面角的平面角，当都无限向点B靠拢时，；当时，，所以二面角范围是，故D正确．故选：BD.三、填空题9、（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有个.【答案】4【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.故答案为：4.10、（2024·河南·二模）直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为.【答案】【分析】联立直线与抛物线方程，引入参数，结合韦达定理以及可得关于应该满足的条件式，结合基本不等式即可求解.【详解】联立方程得，令，而由题意，所以.设，由韦达定理得.设，则，，即，显然，否则，但这是不可能的，即，因为，所以（否则时，有，但这与已知矛盾），由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故答案为：.四、解答题11、（2024·江苏·二模）如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过作于，连接，由已知得出为二面角的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解．【详解】（1）直三棱柱的体积为：，则，四边形为正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，则，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，在正方形中，有，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以．（2）由（1）得，设，在中，过作于，连接，因为，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值为．法二：，，，，，，，设平面的法向量：，则，取，得，，，设面的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，则：，因为为锐角，所以二面角余弦值为．12、（2024·江苏·二模）某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性