七级数学思维探究（6）一元一次方程（含答案）

秦九韶（-），字道古，南宋时期著名数学家，《数学九章》是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序”．美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一．”6．一元一次方程解读课标方程是刻画现实世界的有效数学模型．一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础．其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤．在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程．代解是处理方程的解的基本方法．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为的形式．方程的解由、的取值范围确定，具体情形如下：1．当时，原方程有唯一解；2．当且时，原方程有无数个解；3．当且时，原方程无解．问题解决例1若以为未知数的方程与的解相同，则_______．试一试由“解相同”建立关于的方程．例2若为整数，则使得方程的解也是整数的值有（）．A．个B．个C．个D．个试一试把用含的式子表示，结合整除的知识确定值的个数．例3解下列方程．（1）；（2）；（3）．试一试解方程的目的是通过变形把方程化为的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程．仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程．例4（1）解下列关于的方程：①；②③（2）为何值时，方程有无数多个解？无解？试一试对于（1），把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2），化简原方程，利用方程各种解的情形所应满足的条件建立的关系式．例5（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_____________．（2）现将连续自然数至按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出个数（如图）．①图中框出的这个数的和是___________；②在右图中，要使一个正方形框出的个数之和分别等于，，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的个数中的最小数和最大数．试一试对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解．丢番图的墓志铭例6丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元世纪，被誉为“代数学的鼻祖”．他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的：过路的人！这儿埋葬着丢番图．请计算下列数目，便可知他一生度过了多少个寒暑，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭，五年后儿子出生，不幸儿子竞先于父亲四年而终，年龄不过父亲享年的一半，晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年，请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？解法一代数解法设丢番图活了岁，由题意得，解得．解法二算术解法从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄是和的倍数，也是和的倍数（因为年龄总是整数）．故他的年龄是、、、的公倍数，而、、、的公倍数，即是与的公倍数．我们可以先求与的最小公倍数．因为与互质，所以它们的最小公倍数应为，其他大于的公倍数是不合乎常理的，如，而的是，岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为岁．数学冲浪1．算筹方程“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名“方程”．在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排．如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如：表示方程，表示方程，表示方程______________，表示方程_____________．2．（1）对于任意有理数、、、，规定了一种运算，如，那么当时，_______________（2）当______，________时，方程有唯一解；当_______，______时，方程无解；当________，_______时，方程有无穷多个解．3．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_________．4．已知关于的方程与方程的解相同，则方程的解为_________．5．已知关于的方程的解满足，则的值为（）A．B．C．或D．或6．若关于的一元一次方程的解是，则的值是（）A．B．C．D．7．已知关于的方程无解，则是（）A．正数B．非正数C．负数D．非负数8．关于的方程的解为正整数，则的值为（）A．B．C．或D．或9．解下列关于的方程（1）（2）（3）（4）10．已知关于的方程，问当取何值时（1）方程无解；（2）方程有无穷多解．11．已知关于的方程的解是，其中且，求代数式的值．思维方法天地12．如果，那么______________．13．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第个格子中的数为_______________．…14．已知，，其中，那么_________．15．若，则方程的解是（）A．B．C．D．16．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长的木条上钻有个圆孔，每个圆孔的直径均为．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为，则为（）A．B．C．D．17．若方程无解，则（）A．B．C．D．18．甲队原有人，现调出人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的（是不等于的正整数）倍还多人．问乙队原有多少人？19．将自然数至按图中的方式排列：如图，用一个长方形框出个数（行列），已知这个数的和为，求这个数中最小的数．应用探究乐园20．解方程（1）；（2）．21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有颗黑色棋子？请说明理由．6．一元一次方程问题解决例1例2D为整数，又，可取，,,,,,，共个值，相应的值也有个．例3（1）视为整体，先去括号得；（2）运用分数性质将小数化为整数，得；（3）先去括号得．例4（1）①；②当时，方程有唯一解；当时，原方程无解；③原方程化为，当时，原方程有唯一解；当，时，原方程有无数个解；当，时，原方程无解．（2）原方程化为①当，即时，原方程有无数个解；②当，即时，原方程无解．例5（1），，．（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于，如与，与，与都是成中心对称的，于是易算出这个数之和为．②设框出的个数中最小的一个数为，则这个数组成的正方形方框如下图所示．因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于，所以这个数之和为．当时，．当时，．为自然数，不合题意．即框出的个数之和不可能等于．由长方形阵列的排法可知，只可能在，，，列，即被除的余数只可能是，，，．因为，所以，这个数之和等于是可能的，这时，方框中最小的数是，最大的数是．数学冲浪1．；2．（1）（2）略3．、、、，，或4．5．D6．B7．B8．D9．（1）；（2）；（3）当时，方程有唯一解；当时，方程无解；（4）当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数个解；当且时，方程