2024年高考数学总复习高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳

2024年高考数学总复习高中数学二项式定理知识

梳理与题型归纳

二项式定理有关知识是常考内容之一。本文就二项式定理题

型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。

知识点梳理

一、定理内容

nnn22n

(Q+b)=+Ci10/+Cia-b+…+6那一「〃+…+Qb

二、基本概念

①二项式展开式：

等式右边的多项式叫作(a+b)11的二项展开式

②二项式系数：

展开式中各项的系数中的仁"=o，i，2，…,m

③项数：

展开式第r+l项，是关于a,b的齐次多项式.

④通项：

展开式的第r+l项，记作为+i=%a*W(r=0,1,2，…,n)

三、几个提醒

①项数：

展开式共有n+1项.

②顺序:

注意正确选择a与b,其顺序不能更改,

即：(a+b尸和(b+a)11是不同的.

③指数：

a的指数从n到0,降黑排列；

b的指数从0到n,升幕排列。

各项中a,b的指数之和始终为n.

④系数：

正确区分二项式系数与项的系数：

二项式系数指各项前面的组合数；

项的系数指各项中除去变量的部分(含二项式系数)。

⑤通项：

通项Tn=乙陵一是指展开式的第r+1项.

四、常用结论

令a=1,b=尢，有：

(1+—C：+C^x++…+C\xr+…+C^xn

=l,b=-x,有：

(1+%)n=C：——…+C\xr+…+(—

由此可得贝努力不等式。当X>J时，有：

n>l时，(l+x)n>l+nx;

0<n<l时，(l+x)%l+nx.

(贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩)

五、几个性质

①二项式系数对称性：

展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等

rr_z'n-r

②二项式系数最大值：

「061「2rrz'n

展开式的二项式系数Ln,Ln中，最中

间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。即：

n

n为偶数时，最大二项式系数为C：

n-1n+i

n为奇数时，最大二项式系数为C:，C『

③二项式系数和：

二项展开式中，所有二项式系数和等于2n，即：

以+端+喘+…+%=2门

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：

+髭++…=段+%+瑞+•

=2"-1

（注：凡系数和问题均用赋值法处理）

④杨辉三角中的二项式系数：

4-1+%=CM

题型归纳

一、求二项展开式

例1求（3〃+专『的展开式.

解一.（3々+专）4=C:（3a）4+C；（3V5）3G）i+

4（3⑸遍）2+W（3可㈤3+4阂，

=81f+i08x+54+U+」

xx-

--K），=¥

C：（3X）4+以（3%尸+《（3无产+或（3%）1+《已无产

=81xz+108x+—+f+54

xx£

二、求展开式的指定项

在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理

项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是

利用二项展开式的通项公式Tz,然后依据条件先确定r的

值，进而求出指定的项。

例2.求(3C-专丫展开式的常数项.

nrr

解：EBTr+1=C^a-b博：

Tr+1=图3向6-r(_为「=禺36-r(_i尸㈣6-21

知6—2r=0,则r=3,

政常数项为一支36-3=-540.

说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式

处理.

例3：在二项式@+疗y的展开式中倒数第3项的系蜀

为45,求/的项的系数.

解：由条件知。;2=45,即=45,—%—90=0

解得」=一9(舍去)或二=10,

_£210-r2

由=。;°(/“严"(炉丁+「，

y=q0M

10_r2

由题，意---------1—r=3,解得r=6,

43

则含有％3的项是第7项北+1=q；%3=210/,系数为210

说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中

项的顺序不得随意调整。

例4-求(X_1)—(九一1)一+(九-1)3_(九一1)4+(尤_

的展开式中尤2的系数.

解：由O-1尸潺逋项7；+i=CJ；xn-r(-l)r

购所求项的系数若：

+C|(-l)-*(—1)2+cl(—1)2=-20

例5.求(«+1)6(2%-1)5的展开式中“6项的系数

解：+1)6的逋项为(V%)6-r,

(2%-的逋项为G(2©5-S(-1)S,

J?d(V%+1)6(2X一1)5屐开天的通项为：

_16-F-2.

Q(V%)6-r1脸(2无)5-$(-1尸=(-1)SQ-C1(2f-sx~^~

由16-r-2s=6得厂+2S=4,

2

故一项的系数为V

c・CQ23-《•禺・24+废・啜・25=640.

说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。

练习：

1.求常数项

1、已知‘I一菽）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为

3

-讶，其中J=T,则展开式中常数项是（）

A.—45i

B.45i

C.-45

D.45

解析：第三项、第五项的系数分别为C"f2、8（-1）4,由题意

有

3

Cl），R

整理得I?-5n-50=0

解得n=10

设常数项为Ri=C>x2X。•㈠尸

则有2

得r=8

故常数项为%（-y=*=45,选D。

2.求有理项

（火+」=尸，neN*

2、已知2板的展开式中，前三项系数成等差数

列，求展开式中所有的有理项。

解析：展开式的前三项的系数分别为叱

则由题意可得=&

gPn2-9n+8=0

解得n=8（n=l舍去）

于是小F（⑨r在）r=*）”T

4-二ru7

若心为有理项，贝IJ4,且0q48,所以r=O,4,8o

故展开式中所有的有理项为

3.求幕指数为整数的项

3、在（五+荻）”的展开式中，x的基指数是整数的项共有

（）

A.3项

4项

B

C项

5

D项

6

）2Z

（五

=%

T，

r+

：

解析

r

24-x

2

X3

X

=Cj

4

12-£r

X6

=C%

。

选C

，故

整数

数为

幕指

，x的

24时

18,

2,

6,1

r=0,

所以

的项

最大

系数

4.求

N,

"，ne

—I）

（点+

式

二项

项的

第五

只有

中，

开式

的展

诚

知

4、已

项。

大的

数最

中系

开式

该展

，求

最大

系数

有9

式共

展开

可知

大，

数最

式系

二项

项的

第五

只有

：由

解析

=8

故n

项，

急।

4所

又…

4

）叮年

=C吟

有

，则

最大

系数

项的

r+1

设第

严

华《

吟之

叫严

0（挤

3

2WrS

解得

3

或r=

r=2

所以

14,

又「€

项是

最大的

中系数

展开式

项式的

所以二

1

5

^

=7x

2,T

T=7X

4

3

数和

式中系

求展开

三、

项系

偶数

项、

奇数

或者

的和

系数

有项

中所

开式

求展

及到

在涉

值

择“赋

，选

特征

结构

目的

据题

以根

常可

，通

题时

的问

数和

。

解决

加以

法”来

例6.求(2/—1尸的展开式的各项系数和.

解：谀(2*2-l)n

2n2n2n

=a0(2x)-。1(2*2尸一1+a2(2x)~---+an+1(-l)

令式中化=1,

n2n

港系数和的(2尸-%(2尸-1+a2(2)-一…+an+i(-l)

=(2-l)n=1

说明：系数和的问题，一般用赋值法，将式中的字母均赋值

为1即可。

此种思路同样适用于底数为多项式的展开式。

例7.若(，|+落厂的展开式中，所有的奇数项的系数和

为1024,求它的中间项。

解：・.・《+《+屐…£「+••.=C+C；+…+C产+…=2附-、

2"-1=1024,解得〃=11

中间两个项分列为%=6,"=7,

4

则T5+1=C；(白甘(栏丫=462•x-，T6+1=462•『石

76

例8.已知(3%-1)7=a0x+a1xH-------1-a6x+a7

求①Qo+电++06

②%+%+

③1的1+1^11+1@1T----卜\a?\

776

解：令/(")=(3%—I)>=aox+a1xH-------1-a6x+a7

+a=7

效if⑴=%)+%+电+/+«45+«6+a72

f(—1)——(ZQ+Q]—0.2+仪3—(Z4+Q5—06+仪7=—4^

27_47

由/'(1)+/(—1)=di+CI3+05+如7=—2~—=—8128

7

27+4

f(1)—f1)—a。+电++06=~~2——8256

|@ol+|%|+|a2H---卜1^71

—(tig+U2+CI4+06)—31+如3+05+07)=16384

说明：分奇偶项求系数和时，一般分别对变量赋值为1和-

1,得方程组处理。

2x200422004

练习：若(I-)=a0+ajX+a2x+•••+a2004x(x€R),

贝ij(a。+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+•••+(a0+a2004)=(用数字作

答)。

解析：取X=0,得ao=l

2004

取x=l,得a。+ai+…+a2004=(1-2)=1

故

(a0+ai)+(a0+a2)+(a0+a3)+---+(a0+a2004)=2OO3ao+(a0+&!+--+a2004)

=2003+1=2004

四、求系数最大(最小)项

例9,若展开式前三项的二项式系蝴等于79，求(；+2x)

的展开式中系数最大的项?

解：由C；+C；+C；=79,解幽改=12,假役却1项最大,

・・・(；+2x)12=§)12(1+4x)12

.仆MJ。"。；*

14+]24+2一[。；24和。；广4用

化落得:9.4<r<10.4,

XV0<r<12,r=10,

即展开式中系数最大的项为北一

有北=(勺2。行41晨1°=16896/

说明：系数最大或最小问题，一般可先设出最值项的项数，

再利用不等式的恒成立性，求得系数最大或最小项。

也可将二项式看成数列，利用数列单调性的思路确定其单调

性后处理。

例10.在(2%+3)2。的展开式中，

求其项的最大系数与最大二项式系数之比。

解：不妨令丁「+1>丁什2,即QO22°T•3r>2""'

解得：r>11.6

即当时「+当时「+

r>11.6T1>Tr+2；r<11.6Ti<Tr+2,

显然，r=0,1,2,…，19

所以TTT

<2<•••<T13>14>15>…>r21

即最大项为第73项712+1=clg(2x)8-312,

c1228312

20

最大项系数412+1

因为屣开式第21项，政最大二项式家数为第〃项,

1o

其二项式系数为C2o

政所家之比为"：31?=A.28,312

(20T1

五、多项展开式

有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题

加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”

解决，但要注意不重不漏。

例11:求(/+3%+2)5的展开式中x的一次项的系数

解一:（x2+3x+2）5=[（x2+2）+3x]5

+2尸（3村，

当且仅约r=l时，1+1的屣开大中才有区的一次项，

此时7；+1=4=。；（必+2）匕%,

所以x潺一次项为C：C：243X,

改一次项系数为。；。：243=240o

解二：

（%2+女+2）5=（尢+1）5（＞+2）5=（^^+4^+…+CXC/+C^2+…+或子）

改屐开式中含x的项为C；XC；25+C5X24=240x,

所以屣开式中一次项系数为240.

解三：由荽项式乘法法网，得一次项为己（3%）,24=240方.

政屐开式中一次项系数为240.

说明：对于底数为多项式的展开式问题，如果能将底数变形

为二项式，则直接用二项式定理；如果底数不能变形，可以

采用上述三种方式处理。

其中解法三利用了多项式的乘法原理，更侧重于对二项式定

理原理的理解和认识，应引起重视。

例12•求(2,+“—1)5展开式中％4项系数.

解：(2x2+x—1—1^)为五个%-1)相乘，

共宥5个2比2,5个％,5个一2和5个—1.

X

若谷次从谷因穴中取的一项「共5项J相乘且再为含汇4项，

有灰下种情况：

4个”和I个-1,结案为废“4.(—1)1=-5%4

I个2/、2个％和2个—1,结梁为底12x21C4X21(―I)2=60%

2个2炉和3个一1,结梁为牖(2/)2•(-1)3=-40比4

个炉和个一｝给梁为戏(()

32227)3.­12=80X4

见才含》4的项为_5%4_|_60%4-40x4+8Ox4=95x4.

政屣开式中X4项的系数为9£

练习1、6+《十点"的展开式中整理后的常数项为

x222510

X1不5z+^2x+25[(X+-72)](x+42)

(：+-+/)=(----------)-------7-------------------------

解析：2x2x(2x)5侬尸

对于二项式(x+拘1°的展开式中

\l=C'.(必工

要得到常数项需10-r=5,则r=5

5

Cio•(V2)=6372

所以常数项为F-

练习2、在(1-区)5+(1^)6+(1川7+(1—)8展开式中，含x?的项的

系数是()

A.74

B.121

C.-74

D.-121

解析：(-X)5+(1-X)6+(1-X)7+(1X)8的展开式中，含x3的项为

C|(-x)3+C|(-x)3+C|(-x)3+C|(-x)3--121x3,故选D。

六、整除性问题

例13:证明：3?冏+2—8〃一9(〃EN*)能被64整除.

证:32"+2-8/2-9=9"+1-8/7-9=(8+l)"+1-8^-9

=%8向+C38〃+…+°：：；82+CM81+C--8/7-9

=。；+]8用+。3济+…+。窜82+8(/?+1)+1—即一9

=。38用+仁阳+...+。窜82

由亍各项均能被64整除，

所以32n+2-8%一9(〃EN*)熊狼64整除.

练习：已知数列｛aj和｛bj的通项公式分别为

an=3\bn=4n+3,将两个数列的公共项按它们在原数列中的

先后顺序排成一个新数列&｝,求院｝的通项公式(neN)

分析：B被A整除可视B=(a+b)\利用二项式定理将(a+b)"

表达式为A(…)+C,若C可被A整数，则B可被A整除，可

见提取公因式A乃关键所在。

解析：由于数列｛1＞由数列履」和的公共项组成，那么必

有a.=',即3m=4n+3,整理得

"”一5T则J必能被4整除。

由二项式定理知：

(4-1广-3=。：铲Y.4m-1+...+C^-14x(-l)m-1+C^

(-1叶-3=4x[C：4mT-弋•铲-2+...+*1(-1严]+©(-1广-3],于

是当且仅当m为奇数即m=2k+l(keN+)时，n才是整数，故

2n+1

cn=3(neN*)o

例13.求80”被9除的余数.

涌不：80"=（81—1尸二C：81“一/81】。+…+。；：81—1二81左一1（左eZ）,

:氐€2,「.9生1€2,8产钗9除余&

练习1:今天是星期天，从今天起2加。。天后的第一天是星期

几？

分析：先考虑2项。除以7的余数是多少，利用7天为一个