专题1.5 平移中的几何问题（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题1.5平移中的几何问题【典例1】已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，试说明OB∥AC；（2）如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，在平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA的度数等于．【思路点拨】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP=12（∠BOF+∠FOA）=12∠BOA（3）由BC与AO平行，得到两对内错角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代换即可得证；（4）由（2）（3）的结论可得∠OCA度数．【解题过程】解：（1）证明：∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠A+∠O＝180°，∴OB∥AC；（2）解：∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，∴∠BOA＝80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF=12∠∵∠FOC＝∠AOC=12∠∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC=12∠BOF+12∠FOA=1故答案为：40°；（3）解：结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOA＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2；（4）解：由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由（2）知设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．故答案为：60°．1．（2021春•聊城期末）2022年，中国将举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据平移的性质进行判断．【解题过程】解：根据平移的性质，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是．故选：B．2．（2021春•河西区期末）如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路（小路曲线的上下垂直距离与原来路的宽度相等），则下列结论正确的有（）A．改造后小路的长度不变 B．改造后小路的长度变小 C．改造后草地部分的面积变小 D．改造后草地部分的面积不变【思路点拨】把第一个图形中的两块草坪上下平移，则为一个长方形；同理可将曲路两旁的部分进行整合，也可整合为一个长方形．【解题过程】解：根据平移的性质可知，改造后草地部分的面积不变．故选：D．3．（2021秋•张店区期末）如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不正确的是（）A．AA′∥BB′ B．AA'＝BB' C．∠ACB＝∠A'B'C' D．BC＝B'C'【思路点拨】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．【解题过程】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形A'B'C'，∴AA'∥BB'，故A正确；AA'＝BB'，故B正确；∠ACB＝∠A′C′B′，∠A′C′B′和∠A′B′C′大小关系不确定，故C错误；BC＝B'C'，故D正确，故选：C．4．（2021春•临西县月考）如图，将△ABE向右平移50px得到△DCF，如果△ABE的周长是400px（1px＝0.04cm），那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm【思路点拨】根据平移的性质可得DF＝AE，然后判断出四边形ABFD的周长＝△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．【解题过程】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，∴DF＝AE，∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+DF+AD+EF＝AB+BE+AE+AD+EF＝△ABE的周长+AD+EF．∵平移距离为50px＝50×0.04＝2（cm），∴AD＝EF＝2cm，∵△ABE的周长是400px＝400×0.04＝16（cm），∴四边形ABFD的周长＝16+2+2＝20（cm）．故选：C．5．（2021春•沧县期末）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（）①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④四边形DHCF的面积为32.5．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】首先由平移的性质可得：S△ABC＝S△DEF，AB＝DE＝8，继而可得S四边形DHCF＝S梯形ABEH，然后可求得四边形DHCF的面积．【解题过程】解：由平移的性质可得AC∥DF，AB＝DE＝8，∵DH＝3，∴HE＝DE﹣DH＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，S△ABC＝S△DEF，∴S四边形DHCF＝S梯形ABEH=12（EH+AB）•BE=12×（故①②③④都正确，故选：D．6．（2021春•安庆期末）如图，直线m∥n，点A在直线m上，BC在直线n上，构成△ABC，把△ABC向右平移BC长度的一半得到△A'B'C'（如图1），再把△A'B'C'向右平移BC长度的一半得到△A″B″C″（如图2），再继续上述的平移得到图3，…，通过观察可知图1中有4个三角形，图2中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是（）A．4042 B．6063 C．8084 D．8088【思路点拨】根据题意探究规律，利用规律解决问题即可．【解题过程】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个，第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个，第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个，…依次可得第n个图形中大三角形有2n个，小三角形有2n个．故第2021个图形中三角形的个数是：2×2021+2×2021＝8084．故选：C．7．（2021春•长春期末）某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长140米，BC宽90米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽度忽略不计，则小路的总长约为米．【思路点拨】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于2，求出答案即可．【解题过程】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于AD+BC，∵四边形ABCD是矩形，长AB＝140米，宽BC＝90米，∴小路的总长约为140+90×2＝320（米），故答案是：320．8．（2021秋•亭湖区期末）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．【思路点拨】利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答．【解题过程】解：由题意得：2.7+5.3＝8（m），8×2.5×160＝3200（元），∴购买地毯至少需要3200元，故答案为：3200．9．（2021春•徐州期末）木匠有32m的木板，他想要在花圃周围做围栏．他考虑将花圃设计成以下的造型上述四个方案中，能用32m的木板来围成的是（写出所有可能的序号）．【思路点拨】根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．【解题过程】解：①周长＝2（10+6）＝32（m）；②∵垂线段最短，∴平行四边形的另一边一定大于6m，∵2（10+6）＝32（m），∴周长一定大于32m；③周长＝2（10+6）＝32（m）；④周长＝2（10+6）＝32（m）；故答案为：①③④．10．（2021春•江都区期中）如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠3＝120°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2﹣∠1＝．【思路点拨】作OC∥m，如图，利用平移的性质得到m∥n，则判断OC∥n，根据平行线的性质得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，从而得到∠2+∠3的度数．【解题过程】解：作OC∥m，如图，∵直线m向上平移直线m得到直线n，∴m∥n，∴OC∥n，∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．11．（2021秋•连云港期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（1）画出三角形ABC向右平移8个单位长度后三角形A′B′C′的位置；（2）过点A画BC的平行线，并标出平行线所过格点Q；（3）过点A画BC的垂线，并标出垂线所过格点P；（4）三角形A′B′C′的面积为．【思路点拨】（1）利用平移的性质可画出△A′B′C′；（2）根据平行线的性质作出直线AQ；（3）根据网格中画垂线的画法，可找出格点P；（4）利用△A'B'C'所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案．【解题过程】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）如上图所示；（3）如上图所示；（4）三角形A′B′C′的面积=5×4-1故答案为：19212．（2021春•新城区期中）如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形．A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°．（1）试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由．（2）求∠EBC的度数．【思路点拨】（1）利用平移的性质解决问题即可．（2）利用平移的性质与平行线的性质求解即可．【解题过程】解：（1）结论：AD＝2EC．理由：由平移的性质可知，AB＝EC，BD＝CE，∴AD＝2CE．（2）由平移的性质可知，BC∥DE，BE∥CF，∴∠EBC=∠BED，∠F＝∠BED，∴∠EBC＝∠F＝35°．13．（2021春•青县期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．（1）试说明AE∥BC．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：（1）∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，∴∠DPQ+∠QDP＝165°，∴∠Q＝180°﹣165°＝15°．14．（2020春•南安市期末）已知△A'B'C'是由△ABC沿射线BA方向平移得到的．（1）如图，当B'在线段BA上时，①如果BC＝2cm，那么B'C'＝cm；②直线BC与直线B'C'的位置关系为；（2）连接AC′，设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）①根据平移的性质即可得到结论；②根据平移的性质即可得到结论；（2）①当B'在线段BA上时，如图1，过点A作AD∥BC，交CC'延长线于点D，根据平移性质可知B'C'∥BC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACB＝y，∠C'AD＝∠AC'B'＝x，于是得到∠CAC'＝∠CAD﹣∠C'AD＝∠ACB﹣∠AC'B'＝y﹣x，②当B'在线段BA延长线上时，如图2，过点A作AD∥BC，交CC'于点D，根据平移性质可知B'C'∥BC，根据平行线的性质得到∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∠DAC＝∠ACB＝y，于是得到结论．【解题过程】解：（1）①∵△A'B'C'是由△ABC沿射线BA方向平移得到的，∴B'C'＝BC＝2（cm）；②∵△A'B'C'是由△ABC沿射线BA方向平移得到的，∴B'C'∥BC，故答案为：2，平行；（2）结论：当B'在线段BA上时∠CAC'＝y﹣x，当B'在线段BA延长线上时∠CAC'＝x+y，理由如下：①当B'在线段BA上时，如图1，过点A作AD∥BC，交CC'延长线于点D，根据平移性质可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝y，∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∴∠CAC'＝∠CAD﹣∠C'AD＝∠ACB﹣∠AC'B'＝y﹣x，②当B'在线段BA延长线上时，如图2，过点A作AD∥BC，交CC'于点D，根据平移性质可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC，∴∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∠DAC＝∠ACB＝y，∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，综上所述，当B'在线段BA上时∠CAC'＝y﹣x，当B'在线段BA延长线上时∠CAC'＝x+y．15．（2021春•西湖区期末）已知点C在射线OA上．（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．【思路点拨】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．【解题过程】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE＝∠OCD＝120°，∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．证明：如图②，过O点作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；（3）∠AOB＝∠BO′E′．证明：∵∠CPO′＝90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB＝180°，∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，∴∠AOB＝∠BO′E′．16．（2020秋•温江区校级期末）已知AB＝13，CD＝8，M和N分别为线段AB，CD的中点．（1）若BC重合，D在线段AB上，如图1，求MN的长度．（2）①如果将图1的线段CD沿着AB向右平移n个单位，求MN的长度与n的数量关系．②当n为多少的时，MN的长度为9．（3）如果AB保持长度和位置不变，点D保持图1的位置不变，改变DC的长度，将点C沿着直线AB向右移动m个单位，其余条件不变，①BN+12BC；②MN-【思路点拨】（1）由MN＝BM﹣CN=12AB-12CD，代入（2）①由已知可得BC＝n，再由MN=12AB-12②由已知可得52+n＝9，求（3）分两种情况讨论：当0＜m≤8时，BN+12BC＝4，MN-12BC12AB﹣BN-12BC=52，可得BN+12BC是定值4，MN-12BC是定值52；当m＞8时，N点在B点右侧，BN+12BC＝m﹣4【解题过程】解：（1）∵M和N分别为线段AB，CD的中点，∴AM＝BM=12AB，CN＝DN=∵MN＝BM﹣CN=12AB-∵AB＝13，CD＝8，∴MN=13（2）①∵线段CD沿着AB向右平移n个单位，∴BC＝n，∵MN＝BM﹣BN=12AB﹣（CN﹣BC）=12AB-∵AB＝13，CD＝8，∴MN=52②∵MN＝9，∴52+n＝∴n=13（3）∵点C沿着直线AB向右移动m个单位，∴BC＝m，∵点D保持位置不变，∴CD＝8+m，∵N是CD的中点，∴CN＝DN=12CD=12（8+m）＝∴BN＝CN﹣BC＝4+12m﹣m＝4-当0＜m≤8时，∴BN+12BC＝4-12m+MN-12BC＝（BM﹣BN）-12BC=12AB﹣BN-12BC=13∴BN+12BC是定值4，MN-12当m＞8时，N点在B点右侧，∵BN＝BC﹣CN＝m﹣4-12m=12MN＝BM+BN=132+12m﹣∴BN+12BC=12m﹣4+12MN-12BC=12m∴BN+12BC不是定值，MN-12综上所述：无论m取何值，MN-12BC的值都是定值17．（2021春•依安县期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【思路点拨】（1）过E作EF∥AB，可得∠A＝∠AEF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解题过程】解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAH+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH＝∠EAH＝45°﹣x，如图2，过点H作l∥AB，易证∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝45°﹣x+x＝45°；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如图3，过点H作l∥AB，易证∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠AEC．（或2∠AHF﹣∠AEC＝18．（2021春•和平区校级月考）已知：AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．（1）则∠EDC＝（度）；（2）若∠ABC＝n°，求∠BED